高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十一节 导数在研究函数中的应用课件 理.pptVIP

第十一节导数在研究函数中的应用 1 函数的单调性与导数 1 设函数y f x 在某个区间内可导若f x 0 则f x 在这个区间内是增函数 若f x 0或f x 0时 f x 在相应区间上是增函数 当f x 0时 f x 在相应区间上是减函数 2 函数的极值与导数 1 函数的极小值与极小值点若函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧f x 0 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 2 函数的极大值与极大值点若函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 3 函数的最值与导数 1 函数最值的概念设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 函数f x 在 a b 上一切函数值中的最大 最小 值 叫做函数y f x 的最大 最小 值 2 求函数最值的步骤设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最值 可分两步进行 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 4 常用的数学方法与思想分类讨论思想 数形结合思想 转化化归思想 1 2016 郑州一中调研 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数在 a b 内的图象如下图所示 则函数f x 在开区间 a b 内的极大值点有 a 1个b 2个c 3个d 4个1 b 解析 对导函数的图象研究发现其函数值正负构成是 所以可画出原函数的大致图象 数形结合 易知其在开区间 a b 内有两个极大值点 变式训练 2015 广东高考 设a 1 函数f x 1 x2 ex a 1 求f x 的单调区间 2 证明 f x 在 上仅有一个零点 解析 1 f x 1 x2 ex a f x 2xex 1 x2 ex 2x 1 x2 ex 1 x 2ex 0 故函数f x 的单调递增区间为 2 由题意可得 f 0 1 02 e0 a 1 aa e0 a 0 根据零点存在定理 由于f 0 f a 0 故f x 在 0 a 内存在零点 结合 1 中所得f x 在 上单调递增 由此可得 f x 在 上仅有一个零点 2015 南通三模 设函数f x x2 bln x 1 1 若x 1时 函数f x 取最小值 求实数b的值 2 若函数f x 在定义域上是单调函数 求实数b的取值范围 解题思路 注意定义域优先 利用单调性确定最值对应的自变量的取值 分单调递增与递减讨论 参考答案 1 由x 1 0得x 1 f x 的定义域为 1 对x 1 都有f x f 1 f 1 是函数f x 的最小值 故有f 1 0 变式训练 2015 张掖诊断 已知函数f x ax2 x 1 ex 其中e是自然对数的底数 a r 1 若曲线f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率为4e 求切线方程 2 试求f x 的单调区间并求出当a 0时f x 的极小值 解析 1 f x 2ax 1 ex ax2 x 1 ex ax2 2a 1 x ex f 1 3a 1 e 4e 解得a 1 f 1 e 切点坐标为 1 e 切线方程为y e 4e x 1 即所求切线方程为4ex y 3e 0 与导数有关的不等式恒成立与存在性两大问题的求解策略由不等式恒成立或存在性求参数范围是每年高考的命题热点 难点 综合性强 难度高 通常以两种情况体现 1 不等式恒成立问题求参数范围 2 不等式存在性问题求参数范围 1 不等式恒成立问题求参数范围典例1 2015 北京通州区模拟 已知函数f x ae x x 1 a r 1 若对任意x 0 f x 0恒成立 求a的取值范围 参考答案 1 由f x 0 所以g x 在 0 上单调递增 所以 1 g x 所以a 1 2 不等式存在性问题求参数范围典例2 2015 新课标全国卷 设函数f x ex 2x 1 ax a 其中a 1 若存在唯一的整数x0使得f x0 0 则a的取值范围是 1 2014 新课标全国卷 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 a 2 b 2 c 1 d 1 1 b 解析 当a 0时 显然不满足条件 故a 0 由f x ax3 3x2 1可得f x 3ax2 6