4.5-隐函数微分法

高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室 1 第五节第五节 隐函数微分法隐函数微分法 教学目的 教学目的 1 了解隐函数存在定理的条件与结论 2 会求隐函数的导数和偏导数 教学重点 教学重点 方程 方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算 教学难点 教学难点 方程 方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算 教学方法 教学方法 讲练结合 教学时数 教学时数 2 课时 一 一个方程的情形一 一个方程的情形 1 0F x y 定理定理 5 15 1 隐函数存在定理 隐函数存在定理 1 1 设函数在点的某一邻域内满足 F x y 00 P xy 具有连续的偏导数 xy F x y Fx y 00 0F xy 00 0 y Fxy 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函 0F x y 00 P xy 数 它满足条件 并有 yf x 00 yf x 1 y x F F dx dy 说明 说明 1 定理的条件是充分的 如方程在原点不满足条件 但它仍能确 33 0yx 0 0 定唯一单值连续且可导函数yx 2 若 换成 则确定隐函数在点可导 且 00 0 x F xy xx y 00 xy y x F dx dyF 定理的证明从略 仅对公式 1 作如下推导 设方程在点的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数 0F x y 00 P xy 则有恒等式 yf x 0 F x f x 两边对 x 求导 得 由 得 0 xy dy FF dx 00 0 y Fxy y x F F dx dy 例 例 验证方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导且01 22 yx 0 1 0 x 隐函数的求导公式 高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室 2 时的隐函数 并求这函数的一阶和二阶导数在的值 1 y yf x 0 x 解 解 令 则 1 22 yxyxF 2xFx 2yFy 0 1 0 F 02 1 0 y F 依定理知方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导 且时01 22 yx 1 0 0 x 的函数 函数的一阶和二阶导数为1 y xfy y x F F dx dy y x 0 0 x dx dy 22 2 y yxy dx yd 2 y y x xy 1 3 y 1 0 2 2 x dx yd 例例 2 2 已知 求 x y yxarctanln 22 dx dy 解 解 令 则 arctanln 22 x y yxyxF 22 yx yx yxFx 22 yx xy yxFy 所以 y x F F dx dy xy yx 2 0F x y z 定理定理 5 25 2 隐函数存在定理 隐函数存在定理 2 2 设函数在点的某一邻域内满足 F x y z 000 P xyz 具有连续的偏导数 000 0F xyz 000 0 z F xyz 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有 0F x y z 000 P xyz 连续偏导数的函数 它满足条件 并有 zf x y 000 zf xy z x F F x z z y F F y z 定理的证明从略 偏导公式与一元隐函数类似 请自己推导 例例 3 3 设 求 04 222 zzyx 2 2 x z 高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室 3 解 解 令则 4 222 zzyxzyxF 2xFx 42 zFz 2z x F F x z z x 2 2 x z 2 2 2 z x z xz 2 2 2 2 z z x xz 2 2 3 22 z xz 例例 4 设 求 xyzzyxfz x z y x z y 思路 思路 把看成的函数对求偏导数得 把看成的函数对求偏导数得zyx x x z zyx x 把看成的函数对求偏导数得 x z yzx z z y 解 解 令 则 zyxu xyzv vufz 把看成的函数对求偏导数得 zyx x x z 1 x z fu x z xyyzfv 整理得 把看成的函数对求偏导数得 x z 1 vu vu xyff yzff xyz y 1 0 y x fu y x yzxzfv 整理得 y x vu vu yzff xzff 把看成的函数对求偏导数得 yzx z 1 1 z y fu z y xzxyfv 整理得 z y 1 vu vu xzff xyff 二 方程组的情形二 方程组的情形 0 1 0 F x y z G x y z 为了叙述方便 引入雅可比 雅可比 JacobiJacobi 行列式 行列式 xy xy FF F G GGx y xyz xyz xyz FFF F G H GGG x y z HHH 定理定理 5 35 3 隐函数存在定理 隐函数存在定理 3 3 设 在点的某一邻域 F x y z G x y z 000 P xyz 内满足 具有对各个变量的一阶连续偏导数 高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室 4 000 0F xyz 000 0G xyz 000 0 xyz F G x y 则方程组 在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有 0 0 F x y z G x y z 000 P xyz 连续偏导数的函数 它们满足条件 并有 yy x zz x 00 yy x 00 zz x xz xz yz yz FF F G GG dyx z F GFFdx y z GG yx yx yz yz FF F G GG y xdz F GFFdx y z GG 2 0 0 F x y u v G x y u v 定理定理 5 45 4 隐函数存在定理 隐函数存在定理 4 4 设 在点的 F x y u v G x y u v 0000 P xy uv 某一邻域内满足 具有对各个变量的一阶连续偏导数 0000 0F xy uv 0000 0G xy uv 0000 0 xyuv F G u v 则方程组在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且 0 0 F x y u v G x y u v 0000 P xy uv 具有连续偏导数的函数 它们满足条件 并有 uu x y vv x y 000 uu xy vv 000 xy 1 F Gu xJx v 1 F Gv xJu x 1 F Gu yJy v 1 F Gv yJu y 定理的证明从略 仅推导偏导数公式如下 同时也提供了一种比较实用的方法 设方程组有隐函数组则 0 0 F x y u v G x y u v uu x y vv x y 高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室 5 0 0 F x y u x y v x y G x y u x y v x y 两边对 x 求偏导得 这是关于 的线性方程组 0 0 xuv xuv uv FFF xx uv GGG xx u x v x 在点 P 的某邻域内 系数行列式故得0 uv uv FF J GG 1 uF G xJx v 1 vF G xJu x 同理可得 1 uF G yJy v 1 vF G yJu y 例例 5 5 设 求 222 50 234 xyz xyz dydz dxdx 解解 1 1 直接代入公式 解解 2 2 方程两边对求导 x 即 2220 1230 dydz xyz dxdx dydz dxdx 231 dydz yzx dxdx dydz dxdx 在的条件下 23 yz J 32 yz 0 J 13 23 xz u yzx 3 32 zx yz 21 23 yx v yzx 2 32 xy yz 例例 6 6 设 求 和 0 yvxu1 xvyu x u y u x v y v 解解 1 1 直接代入公式 解解 2 2 运用公式推导的方法 将所给方程的两边对求导并移项得x 在的条件下 v x v x x u y u x v y x u x xy yx J 22 yx 0 J 高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室 6 xy yx xv yu x u 22 yx yvxu xy yx vy ux x v 22 yx xvyu 将所给方程的两边对求导 用同样的方法可得y 22 yx yuxv y u 22 yx yvxu y v 解解 3 3 用全微分法 用全微分法 方程组两边求全微分 得 即 0 0 udxxduvdyydv udyyduvdxxdv xduydvudxvdy yduxdvvdxudy 解得 22 22 1 1 duxuyv dxxvyu dy xy dvyuxv dxxuyv dy xy 所以 有 22 xuyvu xxy 22 yx yuxv y u v