高三数学理科函数的奇偶性、单调性、周期性例题解析人教

高三数学理科函数的奇偶性、单调性、周期性例题解析一. 本周教学内容：函数的奇偶性、单调性、周期性二. 本周教学重、难点：了解函数奇偶性、单调性、周期性的概念，了解周期函数最小正周期的意义，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，能利用函数的单调性解决函数的有关问题。【典型例题】例1 定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。（1）求和的值；（2）试判断的奇偶性，并加以证明；（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。解析：（1）令，得 令，得 （2）令，由，得又 又 不恒为0 为偶函数（3）由知 又由（2）知 又 在上为增函数 故的取值集合为例2 设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。解析：（1）由，得函数的对称轴为 而，即不是偶函数又 在0，7上只有 从而知函数不是奇函数故函数是非奇非偶函数（2）从而知函数的周期为T=10又 故在0，10和上均有2个根，从而可知函数在0，2000上有400个根，在2000，2005上有2个根，在上有400个根，在上没有根。 函数在上有802个根。例3 函数是以4为周期的周期函数，且当时，则当时，试求的解析式。解析：因为是以4为周期的函数，所以，（1）当为奇数时，为4的倍数。当时，所以，于是有。（2）当为偶数时，可以知道为4的倍数，当时，有，于是从而有当时，有于是有，所以综合（1）（2）可以得到：当为奇数时，当为偶数时，例4 定义在R上的函数，当时，且对任意的，有。（1）证明；（2）证明对任意的，恒有；（3）证明是R上的增函数；（4）若，求的取值范围。解析：（1）证明：令，则又 （2）证明：当时， 又时 时恒有（3）证明：设，则 又 是R上的增函数（4）由，得又是R上的增函数 例5 已知函数，其中，为自然对数的底数。（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在区间0，1上的最大值。解析：（1） 当时，令，得若，则，从而在（0，+）上单调递增若，则，从而在（）上单调递减 当时，令，得，故或若，则，从而在（）上单调递减若，则，从而在（0，）上单调递增若，则，从而在（）上单调递减（2） 当时，在区间上的最大值是1 当时，在区间0，1上的最大值是 当时，在区间0，1上的最大值是例6 是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数？解：方法一：设，则原函数转化为那么问题就等价于是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数，根据二次函数的性质，知只需，即。方法二：由题意知为函数的一个极值点 由，得，此时，故当时，为减函数；当时，为增函数 适合题意方法三：任取，则由在上是减函数可知，对任意的，恒成立 有恒成立，即恒成立 因此，当时，恒成立，即当时，函数在上是减函数仿上可得当时，函数在上是增函数故存在常数，使函数在上是减函数，且在上是增函数例7 设函数的图象上一点P（）处切线的斜率为。（1）若方程有两个实根分别为，且，求证：（2）若在区间上是单调递减函数，求的最小值。分析：根据导数的几何意义知（1）证明：由已知得是方程的两个实根根据韦达定理得又 （2）解：在区间上是单调递减函数 在上恒有，即恒成立从而当时，的最小值为13一. 选择题：1. 已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则等于（ ） A. 0 B. C. 4 D. 不能确定2. 设函数是定义在R上，周期为3的奇函数，若，则（ ）A. 且B. C. 或D. 3. 设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义在R上以6为周期的函数，在（0，3）内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）A. B. C. D. 5. 对任意实数，定义为不大于的最大整数（例如等），设函数，给出下列四个结论： ； ； 是周期函数； 是偶函数，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 若，定义：，例如。则函数的奇偶性是（ ） A. 是偶函数不是奇函数B. 是奇函数不是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数7. 函数（ ）A. 在上递增，在上递减B. 在上递增，在上递减C. 在，上递增，在上递减D. 在上递增，在上递减8. 若函数在区间内恒有，则的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 二. 解答题：1. 函数对任意的，都有，并且当时，。（1）求证：是R上的增函数；（2）若，解不等式2. 设函数是定义在R上的偶函数，并在区间上单调递增，当取何值时，函数是单调递减函数？3. 设函数是奇函数，（，都是整数），且，在上单调递增。（1）求的值；（2）当时，的单调性如何？证明你的结论。参考答案一.1. A 解析：由题意知，又周期为4，因此，综上，可知2. C 解析：由题意分析知，又函数的周期为3，所以，则由，求得或。故选C。3. D解析：令 分别是奇函数、偶函数 为奇函数又，即在上为增函数又 又在上也是增函数故的解集为4. B解析：在R上以6为周期，对称轴为，且在（0，3）内单调递减， 即5. C解析：由题意有 ，且 正确 为周期函数 不是偶函数，故选C。6. A解析： ，即为偶函数7. A解析：是分段函数在一、二象限，单调递增；在三、四象限，递减 8. D 解析：设，当时，而此时恒成立 ，则减区间为而必然有，即或 的单调增区间为二.1. 解析：（1）设，且，则 ，即是R上的增函数（2） 不等式即为 是增函数于是有，解之，得2. 解析： 是偶函数且在上单调递增 在上单调递减又 即若使是单调递减函数，据复合函数的单调性知需求的单调区间，而当时，单调递增 3. 解析：（1）由，得 由，得 为奇函数，故的定义