几何基本图形及结论八年级(上)

八年级 上 几何基本图形及结论八年级 上 几何基本图形及结论 基本图形一 蝶形 对顶三角形 基本图形一 蝶形 对顶三角形 如图 1 AB CD 交于 O 则 A C B D 若 A D 则 C B 基本图形二 基本图形二 如图 2 ABC 中 AD 为高 AE 为角平分线 则 DAE B C 1 2 基本图形三 基本图形三 1 如图 在 ABC 中 B C 的平分线相交于 P 点 则 P 2 如图 在 ABC 中 B ACB 的外角平分线相交于 P 点 则 P 3 如图 在 ABC 中 B C 的外角平分线相交于 P 点 则 P 基本图形四 基本图形四 垂直且相等垂直且相等 1 如图 AC BC 且 AC BC AD MN 于 D BE MN 于 E 则 或 图 1 图 2 2 如图 AC BC 且 AC BC BP MN 于 P CQ MN 于 Q 过 C 点向 BP 作 CD BP 于 D 则 AP BP 2PQ 或 AP BP 2PQ 图 3 图 4 1 O B D C A E D C B A P C B A 2 DC P B A 1 P CB A D E M N C B A D E M N C B A Q P D M N C B A N M P Q D C B A 基本图形五 角平分线 垂直平分线基本图形五 角平分线 垂直平分线 1 AD 平分 BAC OE AB 于 E DF AC 于 F 则 AD 垂直平分 EF 2 AE 平分 BAC BF 平分 ABC 则 CO 平分 ACB 3 三角形的三边的垂直平分线交于一点 外心 这点到三角形三个顶点的距离相等 4 如图 CD 垂直平分 AB 则 AC BC 进一步 A B 即 垂直平分线 得 等 腰三角形 得 等边对等角 5 如图 AC BC CD A 则 AD BD CD 平分 ACB 三线合一 6 如图 AC BC AC BC CD AB 则 AD CD BD G F E D CB A O F D E C B A O CB A D B C A D B C A D B C A 基本图形六 中点问题基本图形六 中点问题 1 如图 AC BC ACB 90 O 为斜边 AB 的中点 D 为 AC 上任一点 DO OE 则 OD OE AD BE AC DOE 为等腰直角三角形 S四边形 CDEO S ACB 1 2 2 如图 AC BC ACB 90 CD AB 于 D AG CE 于 G 则 DF DE 若 E 为 AB 延 长线上一点 结论仍成立 基本图形七 垂线段 距离 面积 基本图形七 垂线段 距离 面积 1 如图 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于腰上的高 面积法 2 底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高 面积法 基本图形八 基本图形八 Rt 斜三角形中的特殊边角关系 斜三角形中的特殊边角关系 1 如图 ACB 90 B 30 CD AB 于 D 则 AB 4AD BD 3AD 2 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 则底角为 E D O B C A F G E D B C A G F E D CB A G F E D C B A 30 B D C A B D C A D C B A 基本图形九 等边三角形基本图形九 等边三角形 1 ABC 为等边三角形 AD CE BF AE 于 F 则 OF OB 若 OC BD 则 OB 2OA 1 2 2 如图 B C D 三点共线 ABC ECD 均为等边三角形 连 AD BE 则 AD BE EOD 60 MN BD MCN 为等边三角形 OC 平分 BOD OA OC OB OE OC OD 基本图形十 平行线基本图形十 平行线 角平分线构等腰三角形 角平分线构等腰三角形 1 如图 OB 平分 ABC OC 平分 ACB 过 O 作 DE BC 交 AB 于 D 交 AC 于 E 则 DE BD CE ADE 的周长 如图 OB 平分 ABC OC 平分 AC DE BC 将其中两个作为条件 可以推出第三个论断 O F D E C B A N M O E D C B A E D O C B A E D O F C A B 3 如图 AD E 在 CD 上 AE 平分 BAD BE 平分 ABC AE BE E 为 CD 中点 AD BC AB 以上任意两个作为条件可以推出其它三个结论 4 四边形 AOBC 中 CM OA 于 M 现有 1 2 CA CB 3 4 180 OA OB 2OM OA OB 2AM 其中任意两个作为条件 都可以得出另两个结论 基本图形十一 平行线构造线段的倍分关系 基本图形十一 平行线构造线段的倍分关系 1 如图 AB AC BD CE DH BC 于 H 则 DF EF HF BC 1 2 2 如图 AD 平分 BAC M 为 BC 中点 FM AD 则 CE BF AB AC 2CE 倍长 中线 基本图形十二 平面直角坐标系中点基本图形十二 平面直角坐标系中点 P a a 的几何意义 的几何意义 如图 在坐标系中 P a a PB PA 则 OA OB OA OB E C B D A 3 4 2 1 A N M C B O GH F E D C B A E F C DM N B A P a a O A B P a a A B O 基本图形十三 三条线段间的和 差关系 截长补短 以基本图形十三 三条线段间的和 差关系 截长补短 以 45 60 60 角构等腰角构等腰 Rt 或等或等 边三角形 边三角形 1 正方形 ABGE 中 DAC 45 则 CD DE BC 反之 若 CD DE BC 则 DAC 45 2 如图 正方形 ABGE 中 DAC 45 则 CD DE BC 间的关系为 3 如图等边 ABC 中 AD CE 则 BD DE 平行 等腰 得等腰 构全等 4 D 为等边 ABC 中 BC 边上一点 ADE 60 CE 平分 ACB 的外角 则 AD DE 5 等边 ABD BCD 120 则 AC 平分 BCD BC CD 6 如图 ABC 中 ACB 90 AC BC 为 BC 中点 CE AD 交 AB 于 E 则 E D G C B A E D G C B A F E D C B A EF D C B A 60 N M D C B A ADC EDB DE CE AD 基本图形十四 轴对称的应用 基本图形十四 轴对称的应用 泵站问题 AC BC 最短 放马问题 最短路径 基本图形十五 与中点 中线有关的问题 基本图形十五 与中点 中线有关的问题 1 如图 直角 ABC 中 ACB 90 CD 为中线 则 CD AD BD 倍长中线 直角 三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 2 如图 Rt ABC 中 ACB 90 AE 是 ABC 平分线 CD 是高 FG AB 交 BC 于 G 则 CE CF BG 基本图形十六 角平分线基本图形十六 角平分线 垂线 垂线 1 已知 AC BC AC BC BD 为 B 的平分线 AE BD 垂足 为 E 点 求证 BD 2AE E D B A C C B A A P P N B A M P O PP P 周 周 周 周 周 周 B A B A E D C B A H G F E D B C A D E C B A 2 如图 ACB 为等腰直角三角形 ACB 90 AC BC AE 平分 BAC BD AE 垂足为 D 点 1 求证 CD BD 2 求 CDA 的大小 3 如图 ACB 为等腰直角三角形 ACB 90 AC BC AE 平分 BAC CDA 45 求证 AD BD 基本图形十七 基本图形十七 45 45 角构等腰直角三角形的方法 角构等腰直角三角形的方法 1 如图 ACB 为等腰直角三角形 AC BC AE BC AF AC AM 平分 EAF 1 求证 AMC 45 2 求证 AM MB 2 用一副三角板拼成如图所示的图形 其中 BAD 90 AB AD DBE 30 DEB 90 1 连接 AE 求 AEB 的度数 2 如图 2 若将另一等腰直角三角板的 45 角的顶点放在 A 处 并绕 A 点旋转 两边分别交 BE 于 M BD 于 N 若 BD 8 BE 4 求 EMN 的周长 3 45 A B C D E M F E BC A D E B A N M D E B A E D C B A 图 1 图 2 基本图形十九 基本图形十九 角平分线角平分线 线段垂直平分线线段垂直平分线 如图 点