高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.3 直线与圆的位置关系课件 新人教B版必修2.ppt

第二章 平面解析几何初步 学习目标 1 理解直线和圆的三种位置关系 2 会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系 2 3 3直线与圆的位置关系 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 直线的点斜式方程为y y0 k x x0 直线恒过定点 2 圆的标准方程为 圆的一般方程为 其中d2 e2 4f 0 3 点 x0 y0 到直线ax by c 0的距离d x0 y0 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 dx ey f 0 预习导引 1 直线与圆的位置关系及判断 2 1 0 2 圆的切线方程 1 经过圆x2 y2 r2上的点p x0 y0 的切线方程为 2 经过圆 x a 2 y b 2 r2上的点p x0 y0 的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 x0 x y0y r2 要点一直线与圆的位置关系的判断例1已知直线方程mx y m 1 0 圆的方程x2 y2 4x 2y 1 0 当m为何值时 圆与直线 1 有两个公共点 2 只有一个公共点 3 没有公共点 解方法一将直线mx y m 1 0代入圆的方程化简整理得 1 m2 x2 2 m2 2m 2 x m2 4m 4 0 4m 3m 4 直线与圆相交 即直线与圆有两个公共点 直线与圆相离 即直线与圆没有公共点 方法二已知圆的方程可化为 x 2 2 y 1 2 4 即圆心为c 2 1 半径r 2 规律方法直线与圆位置关系判断的三种方法 1 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断 2 代数法 根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 3 直线系法 若直线恒过定点 可通过判断点与圆的位置关系判断 但有一定的局限性 必须是过定点的直线系 跟踪演练1已知圆c x2 y2 4x 0 l是过点p 3 0 的直线 则 a l与c相交b l与c相切c l与c相离d 以上三个选项均有可能解析将点p 3 0 的坐标代入圆的方程 得32 02 4 3 9 12 3 0 点p 3 0 在圆内 过点p的直线l必与圆c相交 答案a 要点二圆的切线问题例2过点a 4 3 作圆 x 3 2 y 1 2 1的切线 求此切线的方程 解因为 4 3 2 3 1 2 17 1 所以点a在圆外 1 若所求直线的斜率存在 设切线斜率为k 则切线方程为y 3 k x 4 即kx y 3 4k 0 因为圆心c 3 1 到切线的距离等于半径1 所以k2 8k 16 k2 1 即15x 8y 36 0 2 若直线斜率不存在 圆心c 3 1 到直线x 4的距离也为1 这时直线与圆也相切 所以另一条切线方程是x 4 综上 所求切线方程为15x 8y 36 0或x 4 规律方法1 过一点p x0 y0 求圆的切线方程问题 首先要判断该点与圆的位置关系 若点在圆外 切线有两条 一般设点斜式y y0 k x x0 用待定系数法求解 但要注意斜率不存在的情况 若点在圆上 则切线有一条 用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率 再由点斜式可直接得切线方程 2 一般地圆的切线问题 若已知切点则用k1 k2 1 k1 k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率 列式 若不已知切点则用d r d为圆心到切线的距离 r为半径 列式 跟踪演练2求过点 1 7 且与圆x2 y2 25相切的直线方程 解由题意知切线斜率存在 设切线的斜率为k 则切线方程为y 7 k x 1 即kx y k 7 0 即4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 要点三圆的弦长问题例3求直线l 3x y 6 0被圆c x2 y2 2y 4 0截得的弦长 设两交点a b的坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则由根与系数的关系得x1 x2 3 x1 x2 2 规律方法求直线与圆相交时弦长的两种方法 1 几何法 如图1 直线l与圆c交于a b两点 设弦心距为d 圆的半径为r 弦长为 ab 则有 2 代数法 如图2所示 将直线方程与圆的方程联立 设直线与圆的两交点分别是a x1 y1 b x2 y2 其中k为直线l的斜率 如图所示 取弦ab的中点p 连接cp 则cp ab 故直线被圆截得的弦长 ab 4 答案c 1 直线3x 4y 12 0与圆 x 1 2 y 1 2 9的位置关系是 a 过圆心b 相切c 相离d 相交但不过圆心 1 2 3 4 5 d 1 2 3 4 5 2 直线x y m 0与圆x2 y2 m m 0 相切 则m的值为 解得m 2 b 3 设a b为直线y x与圆x2 y2 1的两个交点 则 ab 等于 1 2 3 4 5 解析直线y x过圆x2 y2 1的圆心c 0 0 则 ab 2 d 4 由点p 1 3 引圆x2 y2 9的切线 则切线长为 1 2 3 4 5 r 3 1 1 2 3 4 5 5 过原点的直线与圆x2 y2 2x 4y 4 0相交所得弦的长为2 则该直线的方程为 解析设所求直线方程为y kx 即kx y 0 由于直线kx y 0被圆截得的弦长等于2 圆的半径是1 1 2 3 4 5 即圆心位于直线kx y 0上 于是有k 2 0 即k 2 因此所求直线方程是2x y 0 答案2x y 0 课堂小结 1 判断直线和圆的位置关系的两种方法中 几何法要结合圆的几何性质进行判断 一般计算较简单 而代数法则是通过解方程组进行消元 计算量大 不如几何法简捷 2 一般