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课堂教学要体现知识的力量武清区杨村一中 梁 栋注重提高学生的数学思维能力是普通高中数学课程标准的基本理念之一.一直以来，人们对培养学生的数学思维能力倾注了极大的热情，也积累了很多行之有效的方法但是，数学思维能力的形成一般要经过感知、感受、体验的过程，在这个过程中，能够吸引学生、打动学生、进而激发学生对数学产生浓厚兴趣的是教师对数学内容的理解和演绎，是学生能感受到的知识的力量。因此，深入挖掘知识的内涵是提高课堂教学效率的关键.本文将通过一个案例，谈谈笔者对课堂中体现知识力量的理解和尝试.已知集合A=x|x=1n,nN+.探究1从集合A中选9个元素，使这9个元素之和恰好等于1，写出满足条件的9个元素.这是学完裂项法后我们设置的一个问题，目的是使学生对裂项法有一个深层的理解.从表面上看题目涉及的知识不多，难度也不大，即使用“凑”的方法似乎也能解决，但深入下去发现问题并非想象的那么简单，找出满足条件的9个数并不是一件容易的事.本题是以一个常见的等式112+123+1n(n+1)=1-1n+1(nN+)为背景，这个等式的证明方法就是学生熟悉的裂项法.在这个等式中当取n=8时，得112+123+189=1-19，整理得112+123+189+19=1.满足条件的9个数就这样找到了！等式一经写出，很多问题不言自明，这种以数学方法为依托，寻求解题途径的思维方式，体现了数学方法的价值和魅力，会对学生产生强烈的震撼.问题虽然普通，却具有一定的思维含量.裂项法是一种独特的数学方法，初次接触时，学生会被它的精妙折服，但随着学习的深入，学生总结并掌握了应用这种方法的规律，遇到数列求和的问题，他们从形式上就能判断能否使用裂项法，渐渐地裂项法失去了昔日的辉煌，仅仅作为一种解题工具而存在.探究1的解决，使昙花一现的裂项法又焕发了新的活力，这个活力不仅仅是方法的应用，更主要的是这种方法的呈现形式，它对学生从更高的层次认识数学、理解数学，会产生积极的影响.探究2请你把集合A中每一个元素表示成A中9个元素之和的形式.这个问题设问的形式比较新颖，感觉有一定难度，一时难以找到解题的切入点.设置这个问题的意图是使学生养成主动探索的意识，学会思考问题的方法.事实上探究2是探究1的一般形式，仿照探究1的方法就可以解决探究2.对集合A中的任意一个元素1k(kN+)，应用裂项法可得1k(k+1)+1(k+1)(k+2)+1(k+7)(k+8)=(1k-1k+1)+(1(k+1-1k+2)+(1k+7-1k+8)=1k-1k+8，所以1k=1k(k+1)+1(k+1)(k+2)+1(k+7)(k+8)+1k+8.当答案摆在面前时，一切都显得那么自然合理，那么顺理成章，但对于上面的解法，如果没有一定的数学素养，没有探究1做铺垫和对探究2的本质性认识，一般很难联想到“近在咫尺”的裂项法，从这个意义上说，探究2的作用是教师单纯介绍解题方法所无法替代的.需要说明的是上面的解法并非无懈可击，等式的右边虽然是9个数，但这9个数中是否有相等的呢？如果其中两个数相等，就意味着并没有真正解决这个问题，前8个数的分母依次增大，任何两个数不可能相等，但不能排除最后一个数1k+8与前8个数有相等的可能.质疑又引发了新的探究.9个数的分子都是1，只需考虑分母即可，前8个数中第一个数的分母k(k+1)=k2+k最小，它含有k2，感觉上要比k+8大，于是下面的探索方法便应运而生.k(k+1)-(k+8)=k2-8，当k3时，k2-80，即k(k+1)k+8，此时k+8不可能和任何一个数的分母相等；当k=1和k=2时，容易检验9个元素同样没有相同的，至此问题得到了彻底解决.沿着裂项法的思路继续下去，发现解题的途径并不唯一.由11(k+1)+1(k+1)(2k+1)+1(7k+1)(8k+1)=1k(1-18k+1)，得1k=1k(k+1)+1(k+1)(2k+1)+1(7k+1)(8k+1)+1k(8k+1).同样的疑问，等式的最后一个数和其它8个数是否有相等的可能？这里无法套用刚才的方法论证了，因为k(8k+1)明显大于k+1，甚至大于(k+1)(2k+1)，但又比(7k+1)(8k+1)小，只能另辟蹊径.前8个数的分母都是(mk+1)(m+1)k+1形式的数，其中kN+，mN，且0m7，如果k(8k+1)等于其中一个数的分母，则存在mN，使k(8k+1)=(mk+1)(m+1)k+1，整理得8-m(m+1)k2=2km+1.注意到m(m+1)是偶数，故8-m(m+1)k2是偶数，而2km+1是奇数，可见m不存在，9个元素是彼此相异的.整数问题学生普遍感到困难，主要是接触比较少，这里涉及的奇数偶数的判断会使学生对这类问题的解决方法有进一步了解.探究2是思维深化的过程，只有亲身体验了提出问题、解决问题的整个过程，才能逐渐体会数学的思维方式，在探究中形成批判性的思维习惯，在反思中实现对数学理性精神的崇尚.探究3从集合A中选3个元素，使这3个元素恰好成等差数列.由于只涉及三个元素，采用具体尝试的方法也不失为一种选择，但显然是低层次的，有了上面两个问题的探究，引导学生借助裂项法得到答案，可谓瓜熟蒂落，水到渠成.我们知道，x,y,z成等差数列的充要条件是2y=x+z，由123=12-13，即16=12-13，得12=13+16，从而24=13+16，可见13,14,16成等差数列.同样，由156=15-16，可得16,110,130成等差数列.用这种方法，可以迅速写出一组等差数列，这是理解数学方法并应用数学方法解决问题的又一次深化.司空见惯的裂项法竟有如此意想不到的作用，这无疑是知识力量的一种体现.当按照某种套路运用数学方法解题时，数学方法就是一种程式化的工具，如果把自己的理解融进数学方法，并加以灵活运用，就会发现数学方法也有它生动的一面，其中的内涵也会随之慢慢展现出来.仔细品味，这种基于裂项法寻找等差数列的方法，确实精彩绝妙，回味无穷，它将有助于学生数学思维方式的形成.探究4从集合A中选4个元素，使这4个元素恰好成等差数列.从3个元素到4个元素，虽然只是数量上的增加，但解题思路变化很大，在没有直接结论支持的情况下，最自然的想法是在探究3的基础上进一步探索.等差数列13,14,16的公差等于16-14=-112，再添一个数x，使13,14,16,x成等差数列，可求出x=112，也就是说13,14,16,112这4个数成等差数列.然而在等差数列16,110,130的基础上却无法得到探究4中含有4项的等差数列.进一步思考：能否写出所有含有A中4个元素的等差数列？是否存在含有A中5个元素、6个元素，甚至更多元素的等差数列？这时教师可引导学生观察已经得到的两个等差数列13,14,16,112和16,110,130，不难发现每一项的分母都是最后一项分母的因数，或者说最后一项的分母是其他各项分母的公倍数，另外，求公差时要用到分数的减法运算，这就需要分数通分，通分后两个等差数列分别是412,312,212,112和530,330,130.第一个数列的特点让我们豁然开朗，考虑正整数n的阶乘，当n3时，数列nn!,n-1n!,n-2n!,1n!是项数为n的等差数列，且数列中的每一项都是集合A中的元素，这里n!=123n.从形式上看，这个等差数列让人赏心悦目，这是数学的形式之美、和谐之美；简简单单的一列数，透出无穷的智慧和丰富的内涵，这又是数学的简洁之美、