高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率 3.1.2 瞬时变化率课件 北师大版选修11.ppt

3 1 2瞬时变化率 1 理解函数瞬时变化率的概念 2 会求函数在某定点的瞬时变化率 并能根据瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢 名师点拨1 对于瞬时变化率的定义应注意 x是趋于0 而不是等于0 即 x 0 当 x 很小时 平均变化率就是瞬时变化率的近似值 瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢 2 求瞬时变化率的步骤 求函数值的改变量 y f x0 x f x0 求平均变化率 求瞬时变化率l 当 x趋于0时 趋于l 求瞬时变化率的步骤可以简记为 一差 二商 三趋于 做一做 如果质点a按规律s 2t3运动 其中s表示路程 t表示时间 则在t 3时的瞬时速度为 a 6b 18c 54d 81 答案 c 题型一 题型二 题型三 求运动物体的瞬时速度 例1 以初速度v0 v0 0 竖直上抛的物体 ts时的高度h与t的函数关系为 求物体在时刻t0处的瞬时速度 反思瞬时速度是平均速度在 t趋于0时的极限值 因此 要求瞬时速度 应先求平均速度 求瞬时速度的步骤 1 求路程的改变量 s 2 求平均速度 3 求瞬时速度 当 t趋于0时 趋于v 常数 题型一 题型二 题型三 变式训练1 质点m按规律s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点m在t 2s时的瞬时速度为8m s 则常数a 解析 s s 2 t s 2 a 2 t 2 1 a 22 1 4a t a t 2 4a a t 在t 2时的瞬时速度为4a 即4a 8 a 2 答案 2 题型一 题型二 题型三 求函数的瞬时变化率 例2 通过平均变化率估计函数y 2x2 x 2在下列各点的瞬时变化率 1 x 2 2 x 0 3 x 1 分析 求解函数在x0附近的平均变化率时 可让 x趋于0 进而求出瞬时变化率 解 1 y 2 2 x 2 2 x 2 2 22 2 2 2 x 2 8 x 8 x 2 2 8 2 x 2 9 x 题型一 题型二 题型三 2 y 2 0 x 2 0 x 2 2 02 0 2 2 x 2 x 2 2 2 x 2 x 故当x 0时 函数y 2x2 x 2的瞬时变化率为1 3 y 2 1 x 2 1 x 2 2 1 2 1 2 2 x 2 4 x 2 x 1 2 2 3 2 x 2 3 x 故当x 1时 函数y 2x2 x 2的瞬时变化率为 3 题型一 题型二 题型三 反思函数的瞬时变化率就是在某点处 当自变量x的变化量趋于0时的平均变化率的取值 体现了一种极限思维 题型一 题型二 题型三 变式训练2 通过平均变化率估计函数在x 5处的瞬时变化率 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点对概念理解不透彻而致误 a 9 8m s是物体从0s到1s这段时间内的速率b 9 8m s是1s到 1 t s这段时间内的速率c 9 8m s是物体在t 1s这一时刻的速率d 9 8m s是物体从1s到 1 t s这段时间内的平均速率错解 b错因分析 对平均变化率和瞬时变化率的理解不透彻 导致出现错误 题型一 题型二 题型三 正解 平均变化率是函数值的变化量 y与自变量的变化量的比值 而瞬时变化率是当 t趋于0时 趋于固定常数值 故选c 答案 c 1 2 3 4 5 6 1 若一质点按照规律s 3t2运动 则t 3时的瞬时速度为 a 6b 18c 54d 81 答案 b 1 2 3 4 5 6 2 已知一质点运动的方程为s 5 3t2 且在一段时间 1 1 t 内的平均速度为 3 t 6 则估计质点在t 1处的瞬时速度是 a 3b 3c 6d 6解析 取 t 0 001 3 t 6 3 0 001 6 6 003 因此估计质点在t 1处的瞬时速度是 6 答案 d 1 2 3 4 5 6 3 已知函数y 5x2 则x 3处的瞬时变化率为 a 15b 5c 30d 0解析 y 5 3 x 2 5 32 5 32 30 x 5 x 2 5 32答案 c 1 2 3 4 5 6 4 若一物体的运动方程为s 7t2 8 则其在t 时的瞬时速度为1 1 2 3 4 5 6 5 加热一物体 若其温度h 与时间t min 的关系为h 2t2 t 则物体的初始温度为 解析 h 2 t t 2 t t 2t2 t 2t2 4