高中数学 第一章 数列本章整合课件 北师大版必修5.ppt

本章整合 第一章数列 数列 专题一 专题二 专题一数列的通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式 其本质就是函数的解析式 围绕数列的通项公式 不仅可以判断数列的类型 研究数列的项的变化趋势与规律 而且有利于求数列的前n项和 求数列的通项公式是数列的核心问题之一 下面介绍几种常用的求法 1 辅助数列法利用数列的递推公式 构造一个新的数列 等差或等比数列 由新数列的通项公式求得通项公式 专题一 专题二 提示 已知递推关系an 1 kan b求通项 用辅助数列求解的步骤 设an 1 k an 与已知式比较 求出 由辅助数列 an 是等比数列即可得解 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 2 迭代法对于形如an f an 1 的递推公式 采取逐次降低 下标 数值的反复迭代方式 最终使an与初始值a1 或a2 建立联系的方法就是迭代法 专题一 专题二 应用3已知数列 an a1 2 an 2an 1 1 n 2 求通项公式an 解 an 2an 1 1 2 2an 2 1 1 22an 2 2 1 22 2an 3 1 2 1 23an 3 22 2 1 2n 1a1 2n 2 2n 3 22 2 1 2n 2n 2 2n 3 22 2 1 2n 2n 1 1 2n 1 1 专题一 专题二 应用4已知数列 an a1 5 a2 2 an 2an 1 3an 2 n 3 求数列 an 的通项公式 提示 本数列的递推公式形如 an 1 pan qan 1 故可转化为 an 1 xan y an xan 1 专题一 专题二 专题一 专题二 3 叠加法对于形如an 1 an f n 的递推公式求通项公式 1 当f n d为常数时 an 为等差数列 则an a1 n 1 d 2 当f n 为关于n的函数时 用叠加法 方法如下 由an 1 an f n 得当n 2时 an an 1 f n 1 an 1 an 2 f n 2 a3 a2 f 2 a2 a1 f 1 将以上n 1个等式叠加 得an a1 f n 1 f n 2 f 2 f 1 所以an f n 1 f n 2 f 2 f 1 a1 为了书写方便 也可以用横式来写 因为当n 2时 an an 1 f n 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 f n 1 f n 2 f 2 f 1 a1 专题一 专题二 应用5已知数列 an a1 1 且an 1 an 3n n 求数列 an 的通项公式 提示 因为本题给出了数列 an 中连续两项的差 所以可考虑用叠加法求解 解 由an 1 an 3n n 得an an 1 3n 1 n 1 an 1 an 2 3n 2 n 2 a3 a2 32 2 a2 a1 3 1 当n 2时 将以上n 1个等式两端分别相加 得 an an 1 an 1 an 2 a2 a1 3n 1 3n 2 3 n 1 n 2 1 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 应用6已知数列 an 满足an 1 2nan 且a1 1 求an 专题一 专题二 提示 由sn与an的关系消去sn 或an 转化为an 或sn 的递推关系求解 专题一 专题二 专题一 专题二 应用8已知数列 an 的首项a1 1 前n项和为sn 且sn 1 4an 2 n n 求 an 的通项公式 解 当n 2时 sn 1 4an 2 sn 4an 1 2 将两式相减 得an 1 sn 1 sn 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 可见数列 an 1 2an 是公比为2的等比数列 又a1 a2 s2 4a1 2 a1 1 得a2 5 则a2 2a1 3 因此an 1 2an 3 2n 1 专题一 专题二 专题二数列求和的常用方法数列求和是数列部分的重要内容 也是高考的重要考点之一 对于数列求和问题 一般是先观察数列的特点和规律 如果通项公式能够求出 可先求出通项公式再决定使用哪种求和方法 下面介绍几种常用的求和方法 专题一 专题二 1 公式法公式法是数列求和的最常用方法之一 可直接利用等差数列 等比数列的求和公式 也可利用常见的求前n项和的公式 如 专题一 专题二 提示 首先分析数列的项的结构 把这个数列的每一项分成两项 使其转化为几个等差数列 等比数列 然后用公式法求和 专题一 专题二 专题一 专题二 应用2求数列 n n 1 的前n项和sn 解 设an n n 1 n2 n 则sn a1 a2 an 12 1 22 2 n2 n 12 22 n2 1 2 n 专题一 专题二 2 裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列 在求和时常用 裂项法 对于分式的求和多利用此法 解题时可用待定系数法对通项公式进行拆项 相消时应注意消去的项的规律 即消去哪些项 保留哪些项 常见的裂项公式有 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 3 错位相减法若在数列 an bn 中 an 是等差数列 bn 是等比数列 则可采用错位相减法求和 应用5数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 1 2sn n n 1 求数列 an 的通项公式an 2 求数列 nan 的前n项和tn 提示 本题考查了求数列的通项公式及错位相减法求和 1 an 1 sn 1 sn 先求出sn 再求an 2 利用错位相减法求通项公式 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 4 倒序相加法如果求和的结构中 每两项 的和为同一常数 那么可以用倒序相加法求解 应用6已知lg xy a s lgxn lg xn 1y lg xn 2y2 lgyn 求s 提示 当数列 an 满足ak an k 常数时 可用倒序相加法求数列的前n项和 解 将和式中各项倒序排列 得s lgyn lg xyn 1 lg x2yn 2 lgxn 将此式与原式两边对应相加 得 专题一 专题二 5 分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成 那么可考虑利用分段求和 应用7已知数列 an 的前n项和为sn 且an sn 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn 3 log4an 设tn b1 b2 bn 求tn 提示 1 利用已知的递推公式证明数列 an 是等比数列 2 讨论bn的符号后 分段求和 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 6 奇偶分析法对于正负项间隔的数列或含有 1 n的运算结构的数列求和 通常要进行奇偶性分类讨论求解 应用8在等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前n项和sn 专题一 专题二 提示 本题考查了等比数列的通项公式 前n项和的求法以及分类讨论的数学思想 在 1 小题中 分别讨论a1为3 2 10时a2 a3的取值 来确定数列 an 的通项公式 在 2 小题中 根据 an 的通项公式来确定 bn 的通项公式 再求和 要注意对bn通项公式的化简 使之易于求和 解 1 当a1 3时 不符合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不符合题意 故a1 2 a2 6 a3 18 公比q 3 故an 2 3n 1 专题一 专题二 2 bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 n n ln3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2015课标全国 高考 已知 an 是公差为1的等差数列 sn为 an 的前n项和 若s8 4s4 则a10 答案 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2015课标全国 高考 已知等比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7 a 21b 42c 63d 84 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2015课标全国 高考 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5 a 5b 7c 9d 11解析 由a1 a3 a5 3 得3a3 3 解得a3 1 答案 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析 a3a5 4 a4 1 答案 c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016北京高考 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则s6 解析 an 是等差数列 a3 a5 2a4 0 a4 0 a4 a1 3d 6 d 2 s6 6a1 15d 6 6 15 2 6 答案 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016浙江高考 设数列 an 的前n项和为sn 若s2 4 an 1 2sn 1 n n 则a1 s5 解析 由题意 可得a1 a2 4 a2 2a1 1 所以a1 1 a2 3 再由an 1 2sn 1 an 2sn 1 1 n 2 得an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 又因为a2 3a1 所以数列 an 是以1为首项 3为公比的等比数列 答案 1121 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016江苏高考 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若a1 3 s5 10 则a9的值是 解析 由s5 10得a3 2 因此2 2d 2 d 2 3 d 3 a9 2 3 6 20 答案 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016上海高考 无穷数列 an 由k个不同的数组成 sn为 an 的前n项和 若对任意n n sn 2 3 则k的最大值为 解析 由于对任意n n sn 2 3 所以当n 1时 a1 s1 2或a1 s1 3 即数列 an 的首项是2或3 当n 2时 由an sn sn 1及题意知有下列几种情况 an 2 2 0 an 3 3 0 an 3 2 1 an 2 3 1 综上可知组成这个数列 an 的数为 1 1 0 2 3这5个数或只有这5个数中的一部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 下面说明2和3不能同时出现在 an 中 当a1 2时 假设an 3 n 2 则sn an sn 1 3 sn 1 由于sn 1 2 3 所以sn 2 3 不符合题意 同理 a1 3时 an 中也不会出现2 所以 an 中只可能出现 1 1 0 2或 1 1 0 3 故k的最大值为4 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2015课标全国 高考 在数列 an 中 a1 2 an 1 2an sn为 an 的前n项和 若sn 126 则n 解析 an 1 2an 答案 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016全国甲高考 sn为等差数列 an 的前n项和 且a1 1 s7 28 记bn lgan 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 2 求数列 bn 的前1000项和 解 1 设 an 的公差为d 据已知有7 21d 28 解得d 1 所以 an 的通项公式为an n b1 lg1 0 b11 lg11 1 b101 lg101 2 所以数列 bn 的前1000项和为1 90 2 900 3 1 1893 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016全国丙高考 已知数列 an 的前n项和sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 1