高中数学 第三章 变化率与导数 3.2导数的概念及其几何意义 3.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选修11.ppt

3 2 2导数的几何意义 1 理解函数在某点处的导数的几何意义 2 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义 理解导数的概念及其表示法 体会导数思想及其内涵 导数的几何意义函数y f x 在x0处的导数 是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 这就是导数的几何意义 即函数y f x 在x0处切线的斜率 名师点拨利用导数求切线方程是求切线方程的另一种更简便的方法 以前的方法仍可使用 但值得注意的是曲线的切线是割线的一个极限位置 是曲线局部的性质 而切线与曲线未必只有一个公共点 并且与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线 故以前的方法应谨慎使用 做一做1 函数y f x 在x x0处的导数f x0 的几何意义是 a 在点x0处的斜率b 在点 x0 f x0 处的切线与x轴所夹的锐角的正切值c 曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线的斜率d 点 x0 f x0 与点 0 0 连线的斜率答案 c 答案 135 题型一 题型二 题型三 题型四 求曲线的切线方程 例1 已知曲线c 求曲线c在横坐标为2的点处的切线方程 解 将x 2代入曲线c的方程得y 4 切点p 2 4 切线的斜率k f 2 4 曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 题型一 题型二 题型三 题型四 反思利用导数的几何意义求切线方程的方法 1 若题中所给的点 x0 y0 在已知曲线上 则先求出函数y f x 在点x0处的导数 然后根据直线的点斜式方程 得切线方程y y0 f x0 x x0 2 若题中所给的点 x0 y0 不在曲线上 首先应设出切点坐标 然后根据导数的几何意义列出等式 求出切点坐标 进而求出切线方程 题型一 题型二 题型三 题型四 1 点p处的切线的斜率 2 点p处的切线方程 题型一 题型二 题型三 题型四 求切点坐标 例2 已知抛物线y 2x2 1 求 1 抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45 2 抛物线上哪一点的切线平行于直线4x y 2 0 3 抛物线上哪一点的切线垂直于直线x 8y 3 0 题型一 题型二 题型三 题型四 1 抛物线的切线的倾斜角为45 斜率为tan45 1 2 抛物线的切线平行于直线4x y 2 0 斜率为4 即f x0 4x0 4得x0 1 该点为 1 3 3 抛物线的切线与直线x 8y 3 0垂直 斜率为8 即f x0 4x0 8 得x0 2 该点为 2 9 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决此类问题的步骤为 1 先设切点坐标 x0 y0 2 求导数f x 3 求切线的斜率f x0 4 由斜率间的关系列出关于x0的方程 求出x0 5 由于点 x0 y0 在曲线f x 上 将 x0 y0 代入求得y0的值 得切点坐标 x0 y0 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 已知曲线f x 2x2 a在点p处的切线方程为8x y 15 0 求切点p的坐标和实数a的值 题型一 题型二 题型三 题型四 导数的几何意义的应用 例3 已知曲线y 3x2 分别求出过点a 1 3 和点b 1 9 的曲线的切线方程 分析 可以先求切线的斜率 再求切线方程 点a在曲线上 因此过点a的曲线的切线的斜率就是该函数在点a处的导数 点b不在曲线上 应先求切点 再求切线方程 解 由题意 知点a 1 3 在曲线y 3x2上 曲线在点a 1 3 处的切线的斜率为6 过点a的切线方程为6x y 3 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思利用导数的几何意义 求曲线过已知点的切线 一定要注意检验已知点是否在曲线上 若不在曲线上 就要先设出切点坐标 再求解 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 抛物线y x2在点p处的切线与直线2x y 4 0平行 求点p的坐标及过点p的切线方程 解 设p x0 y0 在自变量x0附近的改变量为 x 又切线与直线2x y 4 0平行 y 2x0 2 x0 1 p 1 y0 在y x2上 y0 1 点p的坐标为 1 1 切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点因忽视切点位置而致误 例4 试求过点m 1 1 且与曲线y x3 1相切的直线方程 因此y 3x2 所以切线在x 1处的斜率k 3 故切线方程为y 1 3 x 1 即3x y 2 0 错因分析 上述解法错在将点m 1 1 当成了曲线y x3 1上的点 因此在求过某点的切线时 一定要先判断点是否在曲线上 再根据不同情况求解 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 设p0为曲线f x x3 x 2上的点 且曲线在p0处的切线平行于直线y 4x 1 则点p0的坐标为 a 1 0 b 2 8 c 1 0 或 1 4 d 2 8 或 1 4 答案 c 1 2 3 4 5 答案 135 1 2 3 4 5 4 曲线y x2 2x 2在点 2 2