高三数学第二轮函数的应用学案

2006届高三数学第二轮复习函数的应用学案一、考试要求：1能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。二、教学要求1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力4树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高二 考点扫描1解应用题的一般思路2.解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确建“模”是关键的一关。(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。3常见函数模型(1)应用二次函数模型解决有关最值问题(2)应用分式函数模型，结合单调性解决有关最值问题(3)应用的模型解决有关增长率及利息等问题。三小题热身1设集合，则方程的解集是（ ）(A) (B) (C) M、N中的一个 （D） 不确定2.设函数则关于x的方程解的个数为（ ） A1 B2C3 D43. 已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为_。4。已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式5已知函数，给出下列四个命题为偶函数的充要条件是 的图像关于点对称；当，方程=0的解集一定是非空；方程=0的解的个数一定不超过两个。其中正确的命题个数为（ ）A 1 B 2 C 3 D 4四典型例题例1设, 的导数为.设, 的导数为. 若.(1) 求的解析式; (2) 对于任意的, 且, 求证: ; .例2.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元，（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？例3。某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126cm2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？例4某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等（1）将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润收入生产成本促销费）例5（理科）对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，（1）当时，求函数的不动点；（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值五强化训练1(2005年高考全国卷理7)设，二次函数的图象下列之一：则a的值为（ ）A1B1CD2 (2005年高考湖南卷文10)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）A45.606B45.6C45.56D45.513在区间上，函数与在同一点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为（ ）（A） （B） 4 （C） 8 （D） 42002天津卷函数是单调函数的充要条件是（ ）。 A. B. C.b0 D. 5若二次函数在区间内至少存在一点C（使，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 或6设满足下列条件的函数f (x)的集合为M，当|x1|1， |x2|1时，|f (x1)f (x2)|4|x1x2|, 若有函数g(x)x22x1，则函数g(x)与集合M的关系是（ ）。 （A）g(x)M （B）g(x)M （C）g(x)M （D）不能确定7。方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点，若函数有唯一不动点，且，则 。8已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围江苏省赣马高级中学高三数学函数作业1二次函数的二次项系数为正数，且对任意项都有成立，若，则的取值范围是 或 或2对任意，函数的值总大于0，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 3若方程 只有一解，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 4从盛满升纯酒精的容器里倒出升，然后用水填满，再倒出升混合溶液又用水填满，这样继续下去，如果倒第次时共倒出纯酒精升，倒第次时共倒出纯酒精升，则的表达式是 5已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）. （1）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求a的取值范围.6（2006上海春季）设函数f(x)= x2-4x-5在区间-2,6上画出函数f(x)的图像;(1) 设集合A=xf(x)5,B=(-, -2)0,46, +),试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;(2) 当k2时,求证:在区间-1,5上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方.7假设国家收购某种农产品的价格是元/，其中征税标准为每元征元（叫做税率为个百分点，即），计划可收购为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购可增加个百分点（1）写出税收（元）与的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的，确定的取值范围8某航天有限公司试制一种仅由金属和金属合成的合金，现已试制出这种合金克，它的体积立方厘米，已知金属的比重小于每立方厘米克，大于每立方厘米克；金属的比重约为每立方厘米克（1）试用分别表示出此合金中金属、金属克数的函数关系式；（2）求已试制的合金中金属、金属克数的取值范围9已知定义在区间上, 且, 设且.(1)求证: (2)若, 求证: .9（2004年春季高考北京卷，19）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）湖北省黄冈中学2006届高三第二轮复习数学第15讲答案例2解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为租出100-12=88辆。（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为整理： 答：每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大307050元。例3。解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一面边长为（1）利用旧墙的一段x m(x14)为矩形的一面长，则修旧墙的费用为，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为，其余的建新墙的费用为故总费用当且仅当x=12时，y最小=7a(6-1)=35a(2)若利用旧墙的一面矩形边长x14,则修旧墙的费用为，建新墙的费用为，故总费用设上为增函数，当x=14时，所以，采用第一种方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长，使建墙费用最省。例4解：（1）由题设知：，且时，即，年生产成本为万元，年收入为年利润，（2）由（1）得，当且仅当，即时，有最大值当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润例5解：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和（2）函数恒有两个相异的不动点，恒有两个不等的实根，对恒成立，得的取值范围为（3）由得，由题知，设中点为，则的横坐标为，当且仅当，即时等号成立，的最小值为9（2004年春季高考北京卷，19）解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。（II）当时， 当时， 当时， 所以（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则 当时，；当时， 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元。湖北省黄冈中学2006届高三第二轮复习数学第函数的应用学案015一、考试要求：1能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。二、教学要求1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力4树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高二 考点扫描1解应用题的一般思路2.解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确建“模”是关键的一关。(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。3常见函数模型(1)应用二次函数模型解决有关最值问题(2)应用分式函数模型，结合单调性解决有关最值问题(3)应用的模型解决有关增长率及利息等问题。4函数综合问题1函数的概念、性质及几种基本初等函数的综合问题2函数与方程、不等式的综合问题3函数与数列、三角的综合问题4函数与几何的综合问题5函数与其他学科的综合问题三小题热身1(2005年高考上海卷理16)设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ C ）A且B且C且D且2设集合，则方程的解集是（ ）(A) (B) (C) M、N中的一个 （D） 不确定解析：本题容易误认为，反过来成立。因为忽视了方程中的两个函数的定义域的存在性。答案：D3.设函数则关于x的方程解的个数为（ ） A1 B2C3 D44. 已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为_。依题意可知，从而可知，所以有，又为正整数，取，则，所以，从而，所以，又，所以，因此有最小值为。下面可证时，从而，所以, 又,所以,所以,综上可得:的最小值为11。5。已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为，设所求函数为，又截轴上的弦长为，过点，又过点， ， 6已知函数，给出下列四个命题为偶函数的充要条件是 的图像关于点对称；当，方程=0的解集一定是非空；方程=0的解的个数一定不超过两个。其中正确的命题个数为（C）A 1 B 2 C 3 D 4四典型例题例1设, 的导数为.设, 的导数为. 若.(1) 求的解析式; (2) 对于任意的, 且, 求证: ; .证明: (1)由得(2分)由已知, 得解得或(4分)又, (5分)(2) , (7分)由得 (10分) , 由, , 得(11分).(12分)例2.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元，（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？思维分析：应用问题的数学建模，识模建模解模验模解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为租出100-12=88辆。（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为整理： 答：每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大307050元。例3。某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126cm2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一面边长为（1）利用旧墙的一段x m(x0 D. 分析：对称轴，函数是单调函数，对称轴在区间的左边，即，得5若二次函数在区间内至少存在一点C（使，则实数的取值范围是（ B ）（A） （B） （C） （D） 或6设满足下列条件的函数f (x)的集合为M，当|x1|1， |x2|1时，|f (x1)f (x2)|4|x1x2|, 若有函数g(x)x22x1，则函数g(x)与集合M的关系是（ ）。 （A）g(x)M （B）g(x)M （C）g(x)M （D）不能确定 提示：当|x1|1，|x2|1时，|g(x1)-g(x2)| 4|x1x2|， g(x)是元素。7。方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点，若函数有唯一不动点，且，则 。8已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得9（2004年春季高考北京卷，19）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）分析：本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。（II）当时， 当时， 当时， 所以（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则 当时，；当时， 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元。江苏省赣马高级中学高三数学函数作业0151二次函数的二次项系数为正数，且对任意项都有成立，若，则的取值范围是 或 或2对任意，函数的值总大于0，则的取值范围是（ B ）（A） （B） （C） （D） 3若方程 只有一解，则实数的取值范围是（ C ）（A） （B） （C） （D） 4从盛满升纯酒精的容器里倒出升，然后用水填满，再倒出升混合溶液又用水填满，这样继续下去，如果倒第次时共倒出纯酒精升，倒第次时共倒出纯酒精升，则的表达式是5已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）. （1）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求a的取值范围.本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：（）由方程 因为方程有两个相等的根，所以，即 由于代入得的解析式 （）由及由 解得 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是6（2006上海春季）设函数f(x)= x2-4x-5在区间-2,6上画出函数f(x)的图像;(3) 设集合A=xf(x)5,B=(-, -2)0,46, +),试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;(4) 当k2时,求证:在区间-1,5上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方. (2)方程f(x)=5的解分别是2-,0, 2+,由于f(x)在(-, -1和2,5上单调递减,在-1,2和5,+ )上单调递增,因此A=(-, 2-0,42+ ). 8分由于2+-2, BA 10分 (3) 解法一当x-2,5时,f(x)=-x2+4x+5, G(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x+(k-4)x+(3k-5) =(x-)2- 12分k2, 1,又-1x5, 当-11,即2x6时,取x=.g(x)mix=-(k-10)2-64.16(k-10)264 (k-10)2-640 14分当6时,取x=-1,g(x)mix=2k0. 由可知,当k2时,g(x)0, x-1,5. 因此,在区间-1,5上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方. 16分解法二当x-1,5时, f(x)=-x2+4x+5.由 y=k(x+3) f(x)=-x2+4x+5 得x+(k-4)x+(3k-5)=0.令=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得 k=2或k=18, 12分在区间-1,5上,当k=2时, y=2(x+3) 的图像与函数f(x) 的图像只交于一点(1,8);当k=18时, y=1