高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.3 互斥事件课件 北师大版必修3.ppt

3 2 3互斥事件 1 理解互斥事件和对立事件的定义 能根据定义辨别一些事件是否互斥 是否对立 2 掌握两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用 1 互斥事件 1 定义 在一个随机试验中 我们把一次试验下不能同时发生的两个事件a与b称作互斥事件 2 规定 事件a b发生是指事件a和事件b至少有一个发生 3 归纳 a b互斥是指事件a与事件b在一次试验中不会同时发生 如果事件a与事件b是互斥事件 那么a与b两个事件同时发生的概率为0 与集合类比 可用图表示 如图所示 4 公式 在一个随机试验中 如果随机事件a和事件b是互斥事件 那么有p a b p a p b 做一做1 1 某射手射击一次 命中的环数可能为0 1 2 10 共11种情况 设事件a 命中的环数大于8 事件b 命中的环数大于5 事件c 命中的环数小于4 事件d 命中的环数小于6 则事件a b c d中 互斥事件有 a 1对b 2对c 3对d 4对解析 由于 命中的环数大于8 与 命中的环数小于4 不可能同时发生 故a与c是互斥事件 同理 事件a与d是互斥事件 事件b与c是互斥事件 事件b与d是互斥事件 这表明a b c d中有4对互斥事件 故选d 答案 d 3 归纳 对立事件的特征 在每一次试验中 互为对立的两个事件不会同时发生 且必有一个事件发生 若a与b是对立事件 则a与b互斥 且a b为必然事件 故a b发生的概率为1 即p a b p a p b 1 从集合的角度来看 事件a与b互斥 是指事件a所含的结果组成的集合与事件b所含的结果组成的集合的交集为空集 事件a与b对立 指事件b所含的结果组成的集合是全集i中事件a所含的结果组成的集合的补集 即a b 且a b i 做一做2 1 从1 2 3 9中任取两数 其中 恰有一个偶数和恰有一个奇数 至少有一个奇数和两个都是奇数 至少有一个奇数和两个都是偶数 至少有一个奇数和至少有一个偶数 在上述事件中 是对立事件的是 a b c d 解析 从1 2 3 9中任取两数 有以下三种情况 1 两个数均为奇数 2 两个数均为偶数 3 一个奇数和一个偶数 由对立事件的性质知只有 为对立事件 答案 c 做一做2 2 若事件a与事件b是对立事件 且p a 0 6 则p b 等于 a 0 4b 0 5c 0 6d 1解析 p b 1 p a 0 4 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型四 互斥事件与对立事件的判断 例1 从40张扑克牌 红桃 黑桃 方块 梅花 点数从1到10各10张 中 任抽一张 判断下列给出的每对事件 是否为互斥事件 若是互斥事件 是否为对立事件 并说明理由 1 抽出红桃 与 抽出黑桃 2 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 3 抽出的牌的点数为5的倍数 与 抽出的牌的点数大于9 分析 互斥事件不能同时发生 对立事件既不能同时发生 又必有一个发生 定义是判断事件是否是互斥事件 对立事件的一种最有效 最简便的基本方法 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 是互斥事件 不是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出红桃 和 抽出黑桃 是不可能同时发生的 所以是互斥事件 但是 不能保证其中必有一个发生 这是由于还可能抽出 方块 或者 梅花 因此 两者不是对立事件 2 既是互斥事件 也是对立事件 理由是 从40张扑克牌中 任意抽取1张 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 两个事件不可能同时发生 且其中必有一个发生 所以它们既是互斥事件 也是对立事件 3 既不是互斥事件 也不是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出的牌的点数为5的倍数 与 抽出的牌的点数大于9 这两个事件可能同时发生 如抽出的牌的点数为10 因此 两者既不是互斥事件 也不是对立事件 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 互斥事件不一定是对立事件 对立事件一定是互斥事件 2 要紧扣互斥事件的概念 判断两个事件是否能同时发生是关键 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 某县城有甲 乙两种报纸供居民订阅 记事件a为 只订甲报 事件b为 至少订一种报 事件c为 至多订一种报 事件d为 不订甲报 事件e为 一种报也不订 判断下列事件是不是互斥事件 如果是 判断它们是不是对立事件 1 a与c 2 b与e 3 b与d 4 b与c 5 c与e 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 由于事件c 至多订一种报 中可能只订甲报 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 2 事件b 至少订一种报 与事件e 一种报也不订 是不可能同时发生的 故事件b与e是互斥事件 由于事件b和事件e必有一个发生 故b与e也是对立事件 3 事件b 至少订一种报 中有可能只订乙报 即有可能不订甲报 也就是说事件b发生 事件d也可能发生 故b与d不是互斥事件 4 事件b 至少订一种报 中有3种可能 只订甲报 只订乙报 订甲 乙两种报 事件c 至多订一种报 中有3种可能 一种报也不订 只订甲报 只订乙报 即事件b与事件c可能同时发生 故b与c不是互斥事件 5 由 4 的分析可知 事件e 一种报也不订 仅仅是事件c的一种可能 事件c与事件e可能同时发生 故c与e不是互斥事件 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示 1 求年降水量在 100 200 mm 范围内的概率 2 求年降水量在 150 300 mm 范围内的概率 分析 先将复杂事件进行分解 分成n个互斥事件的和 再应用公式求解 题型一 题型二 题型三 题型四 解 记这个地区的年降水量在 100 150 150 200 200 250 250 300 mm 范围内分别为事件a b c d 这4个事件彼此互斥 根据互斥事件的概率加法公式 1 年降水量在 100 200 mm 范围内的概率是p a b p a p b 0 12 0 25 0 37 2 年降水量在 150 300 mm 范围内的概率是p b c d p b p c p d 0 25 0 16 0 14 0 55 反思1 当一个事件比较复杂时 可转化为几个互斥事件的和来求解 2 公式p a b p a p b 的使用条件是事件a b互斥 否则不成立 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 由经验可知 每天在学校食堂某窗口排队等候就餐的人数及其概率如下表 1 求等候就餐的人数为 4 16 的概率 2 若等候就餐的人数大于或等于16 则应增加一个新窗口 请问增加一个新窗口的概率是多少 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 记 等候就餐的人数为 4 16 为事件a 等候就餐的人数为 4 8 为事件a1 等候就餐的人数为 8 12 为事件a2 等候就餐的人数为 12 16 为事件a3 则a a1 a2 a3 且a1 a2 a3彼此互斥 所以p a p a1 p a2 p a3 0 16 0 30 0 30 0 76 2 要增加新窗口 则等候就餐的人数大于或等于16 包含两种情况 等候就餐的人数为 16 20 和 20 记 等候就餐的人数大于或等于16 为事件b 等候就餐的人数为 16 20 为事件b1 等候就餐的人数为 20 为事件b2 则b b1 b2 且b1 b2互斥 则p b p b1 p b2 0 10 0 04 0 14 因此应增加一个新窗口的概率是0 14 题型一 题型二 题型三 题型四 互斥事件 对立事件的综合应用 例3 一盒中装有各色球12个 其中5个红球 4个黑球 2个白球 1个绿球 从中随机取出1个球 求 1 取出的球是红球或黑球的概率 2 取出的球是红球或黑球或白球的概率 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 解决此类问题 首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出事件是不是互斥事件和对立事件 再决定使用哪一个公式 不要由于乱套公式而导致出错 2 要注意分类讨论和等价转化思想的运用 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 在数学考试中 假设考试成绩为整数 小明的成绩在90分及以上的概率是0 18 在80分 含80分 89分 含89分 的概率是0 51 在70分 含70分 79分 含79分 的概率是0 15 在60分 含60分 69分 含69分 的概率是0 09 在60分以下的概率是0 07 计算 1 小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率 2 小明考试及格的概率 不低于60分为及格 题型一 题型二 题型三 题型四 解 记小明的成绩 在90分及以上 在80分 含80分 89分 含89分 在70分 含70分 79分 含79分 在60分 含60分 69分 含69分 分别为事件b c d e 这四个事件彼此互斥 1 小明成绩在80分及以上的概率是p b c p b p c 0 18 0 51 0 69 2 方法一 小明考试及格的概率是p b c d e p b p c p d p e 0 18 0 51 0 15 0 09 0 93 方法二 小明不及格的概率为0 07 则小明及格的概率为1 0 07 0 93 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 忽视p a b p a p b 的适用范围致错 例4 抛掷一个质地均匀的正方体玩具 各面分别标有数字1 2 3 4 5 6 事件a表示 朝上一面的数是奇数 事件b表示 朝上一面的数不超过3 求p a b 错因分析 错误的原因在于忽视了互斥事件的概率加法公式应用的前提条件 由于 朝上一面的数是奇数 与 朝上一面的数不超过3 二者不是互斥事件 即出现1或3时 事件a b同时发生 所以不能应用p a b p a p b 求解 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 将a b分成出现 1 2 3 与 5 这两个事件 记出现 1 2 3 为事件c 出现 5 为事件d 则事件c与d互斥 所以p a b p c d 1 2 3 4 5 1 从一批产品中取出三件 设a表示 三件产品全不是次品 b表示 三件产品全是次品 c表示 三件产品不全是次品 则下列结论正确的是 a a与c互斥b b与c互斥c 任两个均互斥d 任两个均不互斥答案 b 1 2 3 4 5 2 某产品分一 二 三级 其中只有一级是正品 若生产中出现二级品的概率是0 03 出现三级品的概率是0 01 则出现正品的概率为 a 0 99b 0 98c 0 97d 0 96答案 d 1 2 3 4 5 3 某人在打靶时 连续射击2次 事件 至少有1次中靶 的互斥事件是 a 至多有1次中靶b 2次都中靶c 2次都不中靶d 只有1次中靶解析 由于 至少有1次中靶 与 2次都不中靶 不能同时发生 因而是互斥事件 答案 c 1 2 3 4 5 4 抛掷一粒均匀的正方体骰子 记a为事件 落地时向上的点数是奇数 b为事件 落地时向上的点数是偶数 c为事件 落地时向上的点数是3的倍数 其中的互斥事件是 对立事件是 答案 a与ba与b 1 2 3 4 5 5 某人在如图所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点 指纵 横直线的交叉点以及三角形的顶点 处都种了一株相同品种的作物 根据历年的种植经验 一株该种作物的年