高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（一）课件 新人教B版必修5.pptVIP

第一章 解三角形 1 1正弦定理和余弦定理1 1 1正弦定理 一 学习目标 1 通过对任意三角形边角关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明方法 2 能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 下列说法中 正确的有 1 在直角三角形中 若c为直角 则sina 2 在 abc中 若a b 则a b 3 在 abc中 c a b 4 利用aas ssa都可以证明三角形全等 5 在 abc中 若sinb 则b 解析根据三角函数的定义 1 正确 在三角形中 大边对大角 大角对大边 2 正确 三角形的内角和为 3 正确 aas可以证明三角形全等 ssa不能证明 4 不正确 若sinb 则b 或 5 不正确 故 1 2 3 正确 答案 1 2 3 预习导引 1 在rt abc中的有关定理在rt abc中 c 90 则有 1 a b 0 a 90 0 b 90 2 a2 b2 c2 勾股定理 3 c c c 90 2 正弦定理在一个三角形中 各边的长和它所对角的正弦的比相等 即 这个比值是其外接圆的 3 解三角形一般地 我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 直径2r 元素 要点一正弦定理的推导与证明例1在锐角 abc中 证明 证明如图 在锐角 abc中 过点c作cd ab于点d 有 sina sinb cd bsina asinb 同理 成立 规律方法从正弦定理可以推出它的常用变形有 1 2 3 asinb bsina asinc csina bsinc csinb 4 a b c sina sinb sinc 跟踪演练1在钝角 abc中 如何证明仍然成立 证明如图 过点c作cd ab 交ab的延长线于点d 则 sina 即cd bsina sin 180 b sinb 即cd asinb 因此bsina asinb 即 同理可证 因此 要点二已知两角及一边解三角形例2已知 abc 根据下列条件 解三角形 1 a 20 a 30 c 45 解 a 30 c 45 b 180 a c 105 由正弦定理得b40sin 45 60 10 b 105 b 10 c 20 解a 180 b c 180 60 75 45 由正弦定理 2 a 8 b 60 c 75 a 45 b 4 c 4 1 规律方法已知三角形的两角和任一边解三角形 基本思路是 1 若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一角所对边 再由三角形内角和定理求出第三个角 2 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定理求出第三个角 再由正弦定理求另外两边 跟踪演练2在 abc中 a 5 b 45 c 105 求边c 解由三角形内角和定理知a b c 180 所以a 180 b c 180 45 105 30 要点三已知两边及一边的对角解三角形例3在 abc中 分别根据下列条件解三角形 1 a 1 b a 30 解根据正弦定理 sinb b a b a 30 b 60 或120 当b 60 时 c 180 a b 180 30 60 90 当b 120 时 c 180 a b 180 30 120 30 a c a 1 因为sina 1 所以a不存在 即无解 2 a b 1 b 120 规律方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 1 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 2 如果已知的角为大边所对的角时 由三角形中大边对大角 大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角 由正弦值可求锐角唯一 3 如果已知的角为小边所对的角时 则不能判断另一边所对的角为锐角 这时由正弦值可求两个角 要分类讨论 跟踪演练3已知 abc 根据下列条件 解三角形 1 a 2 c c c a c a a 2 a 2 c a 1 在 abc中 若sina sinb 则角a与角b的大小关系为 a a bb asinb 2rsina 2rsinb r为 abc外接圆的半径 a b a b a 1 2 3 4 5 2 在 abc中 一定成立的等式是 a asina bsinbb acosa bcosbc asinb bsinad acosb bsina解析由正弦定理 得asinb bsina 故选c c 1 2 3 4 5 3 在 abc中 已知a 150 a 3 则其外接圆的半径r的值为 a 3b c 2d 不确定解析在 abc中 由正弦定理得 6 2r r 3 a 1 2 3 4 5 4 在 abc中 sina sinc 则 abc是 a 直角三角形b 等腰三角形c 锐角三角形d 钝角三角形解析由sina sinc知a c abc为等腰三角形 b 1 2 3 4 5 5 在 abc中 已知a sinc 2sina 则c 解析由正弦定理 得c 2a 1 2 3 4 5 课堂小结1 正弦定理的表示形式 2r 或a ksina b ksinb c ksinc k 0 2 正弦定理的应用范围 1 已