培优优选题目

1 20122012 年高考压轴卷数学文年高考压轴卷数学文 本试题卷包括选择题 填空题和解答题三部分 共 6 页 时量 120 分钟 满分 150 分 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 答在试题卷 草稿纸 上无效 3 填空题和解答题的作答 用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 答在试题卷 草稿纸上无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 一 选择题 本大题共 9 小题 每小题 5 分 共 45 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 请将所选答案填在答题卡中对应位置 1 设函数 1xy 的定义域为 A 集合 RxB xy y 2 则 BA A B 0 C 1 D 1 2 已知 为虚数单位 则在复平面内对应的点位于 i 1i i z A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 在等差数列则此数列前 13 项的和为 24 2 3 1210862 aaaaaan中 A 13 B 26C 52D 156 4 下列说法正确的是 A 函数图象的一条对称轴是直线 2sin 2 6 f xx 6 x B 若命题 则命题 2 210 pxR xx 2 210 pxR xx C a 1 是 直线与直线互相垂直 的充要条件0 xay 0 xay D 若 1 0 2xx x 则 5 已知圆x2 y2 9 与圆x2 y2 4x 4y 1 0 关于直线l对称 则直线l的方程为 A 4x 4y 1 0B x y 0 C x y 0D x y 2 0 2 6 执行如下图所示的程序框图 输出的值是 k A 5 B 6 C 7 D 8 7 已知直角坐标平面内的两个向量 使得平面内任何一个向量都 3 1 a 32 mmbc 可以唯一表示成 则的取值范围是 bac m A B C D 网 3 3 3 3 3 0 8 从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分 得到一个几何体 其三视图如 右 图 则该几何体的体积为 A B C D 8 7 8 5 6 5 4 3 9 函数 f x 的图象如下图所示 已知函数 F x 满足 f x 则 F x 的函数图象 F x 可能是 2 n n 开始 n 5 k 0 n 为偶 数 n 1 输出 k 结束 k k 1 是否 是 否 3 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填写在题中的 横线上 一 选做题 请在第 10 11 两题中任选一题作答 如果全做 则按前一题记分 10 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 cos2 则曲线 C 上的点到直线 t ty tx 2 1 为参数 的距离的最大值为 11 优选法与试验设计初步 用 0 618 法寻找实验的最优加入量时 若当前存优范围是 628 774 好点是 718 则此时要做试验的加入点值是 二 必做题 12 16 题 12 定义在 R 上的奇函数 f x满足 0 2xxf xb 时则 2 f 13 有一个底面圆半径为 1 高为 2 的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随 机取一点P 则点P到点O的距离大于 1 的概率为 14 已知满足 则的最大值为 yx 1 1 073 y x yx xyz 15 设斜率为 2 的直线 过抛物线的焦点 F 且和 y 轴交于点 A 若l 2 0 yax a O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 OAF 16 函数ykxb 其中 k b是常数 其图像是一条直线 称这个函数为线性函数 而对 于非线性可导函数 f x 在已知点 0 x附近一点x的函数值 f x可以用下面方法求其近似代 替值 000 f xf xfxxx 利用这一方法 对于实数4 002m 取 0 x的值 为 4 则 m 的近似代替值是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知函数 sinsin 3 f xxx 求的单调递增区间 f x 在中 角 的对边分别为 已知 ABC ABC a b c 3 2 f A 试判断的形状 3ab ABC 4 18 本小题满分 12 分 现对某市工薪阶层关于 楼市限购政策 的态度进行调查 随机抽查了 50 人 他们月收 入 单位 百元 的频数分布及对 楼市限购政策 赞成人数如下表 月收入 单位百元 15 25 25 35 35 45 45 55 55 65 65 75 频数 510151055 赞成人数 4812521 根据以上统计数据填写下面 2 2 列联表 并回答是否有 99 的把握认为月收入以 5500 元为分界点对 楼市限购政策 的态度有差异 月收入不低于 55 百元的人数月收入低于 55 百元的人数合计 赞成a b 不赞成c d 合计 若从月收入在 55 65 的被调查对象中随机选取两人进行调查 求至少有一人不 赞成 楼市限购政策 的概率 参考公式 2 2 n adbc K ab cd ac bd 其中nabcd 参考值表 P 2 0 Kk 0 500 400 250 150 100 050 0250 0100 0050 001 0 k 0 4550 7081 3232 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 5 19 本小题满分 13 分 如图 矩形中 分别在线段和上 ABCD3AB 4 BCEFBCADEF 将矩形沿折起 记折起后的矩形为 且平面平面ABABEFEFMNEF MNEF ECDF 求证 平面 NCMFD 若 求证 3EC FCND 求四面体体积的最大值 NFEC 20 本小题满分 13 分 长沙市 两会 召开前 某政协委员针对自己 提出的 环保提案 对某处的环境状况进行了实地调研 据测定 该处的污染指数与附近污 染源的强度成正比 与到污染源的距离成反比 比例常数为k k 0 现已知相距 36 km 的 A B 两家化工厂 污染源 的污染强度分别为正数a b 它们连线上任意一点C处的污染指数 y等于两化工厂对该处的污染指数之和 设AC x km 试将y表示为x的函数 若a 1 时 y在x 6 处取得最小值 试求b的值 A B C D E F 6 21 本小题满分 13 分 已知椭圆的离心率为 其左 右焦点分别为 点 22 22 1 0 xy Cab ab 2 2 12 FF 是椭圆上一点 且 为坐标原点 P 12 0PF PF 1OP O 求椭圆的方程 C 过点且斜率为的动直线 交椭圆于两点 在轴上是否存在定点 1 0 3 S klAB y 使以为直径的圆恒过这个点 若存在 求出的坐标 若不存在 说明理由 MABM 22 本小题满分 13 分 已知在数列 an 中 t 0 且 t 1 是函数 2 12 at at xt 的一个极值点 3 11 3 1 1 2 nnn f xaxtaaxn 1 证明数列是等比数列 并求数列的通项公式 1 nn aa n a 2 记 当t 2 时 数列的前n项和为Sn 求使Sn 2012 的n的最小 1 2 1 n n b a n b 值 3 当t 2 时 是否存在指数函数g x 使得对于任意的正整数n有 成立 若存在 求出满足条件的一个g x 若不存在 k k kk aa kg 1 1 3 1 1 1 请说明理由 7 数学 文 试题参考答案及评分标准数学 文 试题参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共 9 小题 每小题 5 分 共 45 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 请将所选答案填在答题卡中对应位置 1 9 BDBAD AACB 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填写在题中的 横线上 10 4 55 5 11 684 12 3 4 13 14 3 15 2 3 2 8yx 16 2 0005 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 sinsin 3 f xxx 2 分 13 sinsincos 22 xxx 33 sincos 22 xx 31 3sincos 22 xx 4 分3sin 6 x 由 22 262 kxkk Z 得 2 22 33 kxkk Z 所以 的单调递增区间为 f x 2 2 2 33 kk k Z 6 分 因为 3 2 f A 8 所以 所以 3 3sin 62 A 1 sin 62 A 7 分 因为 所以 0A 5 666 A 3 A 6 B 2 C 18 解 根据题目得 2 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数月收入低于 55 百元人数合计 赞成 3a 29b 32 不赞成 7c 11d 18 合计 104050 4 分 假设月收入以 5500 为分界点对 楼市限购政策 的态度没有差异 根据列联表中 的数据 得到 2 2 50 3 11 729 6 276 635 37 29 11 329 711 K 6 分 假设不成立 所以没有 99 的把握认为月收入以 5500 元为分界点对 楼市限购政策 的态度有差 异 8 分 设此组五人为 A B a b c 其中 A B 表示赞同者 a b c 表示不赞同者 从中选取两人的所有情形为 AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc 其中至少一人赞同的有 7 种 故所求概率 为 7 10 P 12 分 19 证明 因为四边形 都是矩形 MNEFEFDC 所以 MNEFCDMNEFCD 9 所以 四边形是平行四边形 2 分MNCD 所以 3 分NCMD 因为 平面 NC MFD 所以 平面 4 分NCMFD 证明 连接 设 EDEDFCO 因为平面平面 且 MNEFECDFEFNE 所以 平面 5 分 NEECDF 所以 6FCNE 分 又 所以四边形为正方形 所以 7ECCD ECDFFCED 分 所以 平面 8 FCNED 分 所以 9FCND 分 解 设 则 其中 xNE xEC 404x 由 得平面 NEFEC 所以四面体的体积为 11NFEC 11 4 32 NFECEFC VSNExx 分 所以 13 2 1 4 2 22 NFEC xx V 分 当且仅当 即时 四面体的体积最大 xx 42 xNFEC 20 解 设点C受A污染源污染指数为 点C受B污染源污染指数为 其 ka x36 kb x 中k为比例系数 且k 0 2 分 从而点C处污染指数 4 分 036 36 kakb yx xx 因为a 1 所以 5分 36 kkb y xx 10 y F1F2 x S O A B y 7 分 22 1 36 b k xx 令y 0 得 9 36 1 x b 分 当x 时 函数单调递减 当x 时 函数单调递增 36 0 1b 36 1b 当时 函数取得最小值 11 分 36 1 x b 又此时x 6 解得b 25 经验证符合题意 所以 污染源B的污染强度b的值为 25 12 分 21 解 因为 所以 2 分 2 2 e 2 2 2 c ac a 即 12 0PF PF 1 PF 2 PF 12 1 2 OPFFc 又 1OP 1c b 1 因此所求椭圆的方程为 2a 1 2 2 2 y x 4 分 动直线 的方程为 l 3 1 kxy 由得 1 2 3 1 2 2 y x kxy 22 416 21 0 39 kxkx 设 2211 yxByxA 则 12 9 16 12 3 4 2 21 2 21 k xx k k xx 8 分 假设在 y 轴上存在定点M 0 m 满足题设 则 11 1122 2 1212121212 2 121212 22 1212 2 22 1111 3333 121 1 339 16 1 14 9 21 33 21 MAx ym MBxym MA MBx xym ymx xy ym yym x xkxkxm kxkxm kx xkm xxmm kk km kk 2 21 39 mm 12 分 222 2 18 1 9615 9 21 mkmm k 由假设得对于任意的恒成立 0kMA MB R 即 解得m 1 2 2 10 96150 m mm 因此 在y轴上存在定点M 使得以AB为直径的圆恒过这个点 点M的坐标为 0 1 14 分 22 1 2 11 33 1 2 nnn fxaxtaan 由题意 即 1 分0 tf 2 11 3 3 1 2 nnn attaan 11 2 nnnn aat aan 且 数列是以为首项 t为公比的等比数列 0t 1t 1 nn aa 2 tt 2 分 1 1 2 23 12 12 1 1 1 1 1 n nn nn nn ttaa ttaa ttaa tttttaa 以上各式两边分别相加得 21 1 1 n n aatttt 2 n n atn 当时 上式也成立 5 分1n n n at 2 当 t 2 时 1 2 21 1 2 22 n n nn b 12 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 12 n n n nnS 7 分 2 1 222 2 1 1 22