数学人教版九年级上册二次函数与一次函数综合选讲.doc

同学们,我们在前面已经学过了一次函数和二次函数的知识,知道他们与方程可以互相转化,今天,我们进一步来探讨函数与方程的关系请大家先做复习巩固的两道题请同学们说说答案和思路第一题,*同学1:说答案和思路第二题:*同学2:说答案和思路在解决这两个问题的过程当中,你们有什么发现?同学3:我发现这两道题都与直线和抛物线的交点坐标有关,解决的方式,都是先联立两个解析式,得到二元二次方程组,通过代入消元转化为一元二次方程让我们带着这种发现一起探究下面的例题.题目的条件是给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1从这两个解析式的表达中,大家可以知道什么,不能确定的又是什么?同学4:不能确定的是直线解析式中的k是否为0,抛物线中的开口方向和对称轴也不能确定,能确定的是无论k是否为0直线都经过原点,抛物线与y轴的交点是定点(0,1)几何画板显示图象在直线和抛物线都待定的情况下我们看第一问给我们带来了什么新的条件,(教师读题)因为a还没有确定,不知道抛物线开口方向,当a0时,显然对称轴在轴左侧,这时图象的大概位置有两种几何画板显示显然这两种情况下直线和抛物线的交点不关于原点对称当a0时,对称轴在轴右侧(显示图象),我们从图象中可以看到直线与抛物线的其中一个交点是抛物线顶点时另一个交点可以与顶点关于原点对称,因此,在题目所给条件下,我们应该能确定抛物线和直线的解析式.题目要求的值,我们必须建立关于的方程.请大家分组讨论,如何利用条件,在未知和已知之间搭建桥梁.讨论2分钟左右请大家说说你们的想法同学5:我认为从图象中可以看到A为抛物线顶点,我们可以表示出A的坐标,B与A关于原点对称,B的坐标为,因为B点也在抛物线上,可以将B点坐标代入到,从而建立一个关于的方程这种方法是从两个点关于原点对称的坐标特征出发,由一个已知点的坐标表示出另一个点的坐标,再将这个点代入抛物线解析式建立关于的方程.要注意的是这个方程是个分式方程,需要检验.还在不同的思路吗同学6:我认为A,B是两个图象的交点,它们的坐标同时满足两个解析式,可以联立两个解析式得到二元二次方程组,通过代入消元化为一元二次方程,一元二次方程的两根之和为0,这样也可以建立一个方程学生说时教师在黑板上演板.解出方程后提问从这个方程中我们得到的是的值,需要的是关于的方程,该如何建立新的方程?可以给我们提供什么帮助?同学7:因为A是直线和抛物线的交点,又是抛物线的顶点,可以将A的坐标用顶点公式表示出来代入直线解析式就建立了关于的方程我们来试试(继续板书)这种方法是从交点的意义出发,联立解析式后化为一元二次方程,从而将函数问题化为方程问题,用韦达定理去理解决两交点关于原点对称这个条件,求出直线解析式后将点坐标代入就能确定关于的方程第二问,(读题)首先这一问没有说在一的条件下,因此与第一问是独立的两问,与第一问的结论无关.将直线向上平移个单位长度得到直线(画板演示),则无论非零实数为何值,直线与抛物线C都只有一个交点(演示),这种情况下我们也称作直线与抛物线相切.求此抛物线的解析式.从图象上看,我们有没有办法确定函数的位置呢?显然很困难,那么我们倒过来思考,什么情况下可以确定二次抛物线与直线只有一个交点?同学8:联立解析式化为一元二次方程后根的判别式为0教师演板至=0我们要求出的值,需要建立两个关于的方程.想一想,还剩无论非零实数为何值这个条件,这个条件该如何理解?同学9:我认为既然无论非零实数为何值,说明=0与无关,我们可以将任取两个不为0的数,就得到两个关于的方程,可以求出的值请你上黑板完成这道题我们得到了两个解析式 ,从图象上看,与时直线均与这两个抛物线相切其它同学做的都是这两种结果吗?同学10:我取的是1和-1这两个数,算出来的结果只有一个,是_同学11:我取的是1和3,算出来的结果是_为什么会出现这种情况?思考同学12:是因为特殊值不能代表所有情形特殊的值得到的抛物线必然会包含满足任意值的抛物线,也就是刚才得到的两个函数解析式必然包含我们要求的那一个,是哪个呢?我们回到根的判别式画板当涉及到”无论某个字母为何值时”这种条件,特殊值法是我们经常用的一种方法,这种方法虽然方便,但毕竟是特殊情况,是否满足一般情况还需验证,在本题中我们是代回到根的判式,发现被消去时,与无关,无关.既然如此,我们能不能不用特殊值法,直接让消失呢?同学13:可以将展开得到令解得由此可见,直线与抛物线只有一个交点对应的数量关系是联立解析式后消元得到的一元二次方程根的判别式为0,遇无论某字母为何值这个条件时我们除了用特殊值法还可以将字母合并同类项后令每一项系数都为0第三问:教师读题后问此抛物线是哪条抛物线?教师展示画板从图象上观察,当P为抛物线上任一点时OP与PQ似乎总在相等,如何证明呢?从条件来看我们可以做什么?同学14:可以设P的坐标为(,则可以用Q的纵坐标减去P的纵坐标表示PQ的长,用勾股定理求出OP的长,看它们是否相等对着画板讲解在这一问中证明线段恒相等的方法是先表示出P的坐标,证明OP与PQ的长是同一个表达式,这个表达式与P的坐标的具体值无关探究完了这道题后,大家有什么收获吗?同学15:我认为凡是遇直线和抛物线的交点问题最后都可以转化为一元二次方程的问题,要求解析式中的某个系数值就要通过条件建立关于这个系数的方程同学16:遇到无论字母为何值时可以用特殊值法或系数为0法,如果用特殊值法需检验同学17:在坐标系中证两条线段相等可以通过计算线段的长度证明教师总结: 本节课通过探究二次函数与一次函数的综合问题，希望同学们感受到函数与方程之间的紧密联系，学会将二次函数与一次函数的综合问题转化为一元二次方程的问题,在方程与函数的互相转化中体会数形结合的数学思想.也希望大家在今后的学习中能够用到今天所学的知识去解决更多的问题同学1:说答案和思路同学2:说答案和思路同学3:我发现这两道题都与直线和抛物线的交点坐标有关,解决的方式,都是先联立两个解析式,得到二元二次方程组,通过代入消元转化为一元二次方程同学4:不能确定的是直线解析式中的k是否为0,抛物线中的开口方向和对称轴也不能确定,能确定的是无论k是否为0直线都经过原点,抛物线与y轴的交点是定点(0,1)同学5:我认为从图象中可以看到A为抛物线顶点,我们可以表示出A的坐标,B与A关于原点对称,B的坐标为,因为B点也在抛物线上,可以将B点坐标代入到,从而建立一个关于的方程同学6:我认为A,B是两个图象的交点,它们的坐标同时满足两个解析式,可以联立两个解析式得到二元二次方程组,通过代入消元化为一元二次方程,一元二次方程的两根之和为0,这样也可以建立一个方程同学7:因为A是直线和抛物线的交点,又是抛物线的顶点,可以将A的坐标用顶点公式表示出来代入直线解析式就建立了关于的方程同学8:联立解析式化为一元二次方程后根的判别式为0同学9:我认为既然无论非零实数为何值,说明=0与无关,我们可以将任取两个不为0的数,就得到两个关于的方程,可以求出的值同学10:我取的是1和-1这两个数,算出来的结果只有一个,是_同学11:我取的是1和3,算出来的结果是_同学12:是因为特殊值不能代表所有情形同学13:可以将展开得到令解得同学14:可以设P的坐标为(,则可以用Q的纵坐标减去P的纵坐标表示PQ的长