福建地区高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示教案.docx

1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念第一课时 函数的概念三维目标定向知识与技能理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三要素。过程与方法1、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。情感、态度、价值观通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象思维能力。教学重、难点重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。难点函数概念及符号的理解。教学过程设计一、知识回顾1、初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。2、思考：（1）y = 1是函数吗？（2）y = x与是同一个函数吗？显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。二、问题情境设疑引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：（*）。炮弹飞行时间t的变化范围是数集A = t |0 t 26，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B = h | 0 h 845。从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有惟一的高度h和它对应。引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 2001年的变化情况：根据可图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A = t | 1979 t 2001，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B = S |0 S 26。并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有惟一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。引例3、（恩格尔系数变化表）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五计划”以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。请仿照（1）、（2）描述恩格尔系数和时间（年）的关系。问题：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点？不同点：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；共同点：（1）都有两个非空数集；（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系。三、核心内容整合1、函数的概念归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有惟一确定的y和它对应，记作f : AB。定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：。2、函数的三要素（1）定义域A：自变量x的取值范围。（2）对应法则f 变化规律；（3）值域：函数值y的集合。如：（1）一次函数，定义域为R，值域为R；（2）正比例函数，定义域为R，值域为R；（3）反比例函数，定义域为，值域为；（4）二次函数定义域为R，a 0时，值域为；a 0时，求的值。注意： 研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提 函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合。结论：（1）如果是整式，则定义域是实数集R；（2）如果是分式，则定义域是使分母不等于0的实数的集合；（3）如果是二次根式，则定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；（4）如果是由几个部分的式子构成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合（即各集合的交集）；（5）如果是实际问题，则定义域是使实际问题有意义的实数的集合。练习4：P19练习1、2。四、三维体系构建1、函数的概念： 2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。3、会求简单函数的定义域和函数值。五、课后作业： P24，习题1.2，A组，1，3，4。教学反思：第二课时 函数的定义域与值域三维目标构建知识与技能1、掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域，并会求一些简单函数的定义域和值域。2、了解区间的意义，并进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。过程与方法进一步体会集合与对应关系在刻画函数概念中的作用，明确函数定义域在三要素中的地位与作用。情感、态度、价值观培养学生分析、解决问题的能力，养成良好的学习习惯。教学重、难点重点熟练掌握一次、二次函数与反比例函数的定义域和值域。难点含字母参数与抽象函数的定义域的求解。教学过程设计一、复习引入1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：。练习1：已知，求。2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域。二、核心内容整合1、区间的概念：设a，b是两个实数，而且a b，我们规定：（1）满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b；（2）满足不等式a x b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；（3）满足不等式a x b或a a，x b， x b的实数的集合分别表示为a，+)、(a，+)、(-，b、(-，b)。注意： 区间是一种表示连续性的数集； 定义域、值域经常用区间表示； 用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。练习2、试用区间表示下列实数集：（1）x |5 x 6； （2）x | x 9 ；（3）x | x -1 x | -5 x 2； （4）x | x -9x | 9 x 20。2、典型例题分析：例2、下列函数中哪个与函数y = x相等？（1）； （2）； （3）； （4）。知识提炼两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。练习3：P19练习3。例3、已知。（1）求和的值；（2）求和的值。分析：比较与，知当x = 1时，得。类似地，令，则，所以。用x替换a，得。练习4：（1）已知，求；学生求解。（2）已知，求。分析：令，所以，此时要用x表示t，式子非常复杂，考虑原式中右边的特点，可知把t平方即可：，所以，得。例4、（1）已知的定义域为1，4，求的定义域。分析：令，因为的定义域为1。4，所以，所以的定义域为 1，2。（2）已知的定义域为0，3，求的定义域。分析：令，因为，所以，所以的定义域为1，2，从而的定义域的定义域为 1，2。三、归纳小结：1、区间的概念：能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。2、判断两个函数相等：两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。3、求函数的解析式：换元法或整体代入（配凑法）。4、已知的定义域，求复合函数的定义域。四、布置作业：课本P24，习题1.2，A组第2、3题。补充：已知，（1）求的值；（2）求的值。教学反思1.2.2 函数的表示法第一课时 函数的表示法三维目标构建知识与技能理解并掌握函数的三种表示方法，并能进行简单应用。过程与方法通过现实生活中丰富实例的探究过程，感受不同方法在具体问题中的应用，渗透数形结合思想方法。情感、态度与价值观提高利用函数观点分析和解决问题的能力，通过数学活动，体验数学的应用意识，体会数学的价值。重、难点重点函数的三种表示方法。难点利用列表、图象认识函数的意义，以及根据条件，利用恰当方法表示函数及相互转化。教学过程设计一、核心内容整合函数的表示法：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如实例1（炮弹发射）。（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，如实例2（南极臭氧空洞）。（3）列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系，如实例3（恩格尔系数）。二、例题分析示例例1、某种笔记本的单价是5元，买x（x 1 , 2 , 3 , 4 , 5）个笔记本需要y元，试用函数的三种表示方法表示函数。分析：解析法：1，2，3，4，5；笔记本数x12345钱数y510152025列表法：图象法：三种表示方法的特点：解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值。列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。图像法的特点：直观形象地表示出函数的变化情况 ，有利于通过图形研究函数的某些性质。三种表示方法举例：解析法：；列表法：国内生产总值（单位：亿元）年份1990199119921993生产总值18598.421662.526651.934560.5图象法：我国人口出生变化率曲线：例2、下表是某校高一（1）班的三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分数，设测试序号为X，成绩为Y，（1）每位同学的成绩Y与测试序号X之间的函数关系能用解析法表示吗？（2）若要对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析，选用那种方法比较恰当？例3、北京市昌平区政府预想在2008年九龙游乐园建造一个直径为20m 的圆形喷水池，如图所示，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心4m处达到最高，高度为6m。另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合。这个装饰物的高度应当如何设计？解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示。由物理学知识可知，喷出的水柱轨迹是抛物线型。建立如图所示的直角坐标系，由已知条件易知，水柱上任意一个点距中心的水平距离x（m）与此点的高度y（m）之间的函数关系是由x = 10，y = 0，得；由x = 10，y = 0，得，于是，所求函数解析式是，当x = 0时，所以装饰物的高度为m。ABCD2x三、学习水平反馈练习：1、周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示），若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y关于x的函数，并求出定义域。（拓展：求y的最大值。）AxOP6 79y2、在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其方程为，D =（6，7）为x轴上给定的区间。（1）为使物体落在D内，求a的取值范围；（2）若物体运动时，又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内？并说明理由。3、课本P23练习1，2。四、三维体系构建（1）理解函数的三种表示方法；（2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数。五、课后作业：P24，习题1.2，A组，8，9；B组，4。教学反思第二课时 分段函数三维目标定向知识与技能1、会利用图象的对称性画出含有绝对值符号的函数的图象。2、通过实例体会分段函数的概念并了解分段函数在解决实际问题中的应用。过程与方法通过丰富实例的探究过程，体会分段函数在具体问题中的应用。情感、态度与价值观体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的运用。教学重难点分段函数的理解以及分段函数在实际问题中的运用。教学过程设计-2-30123xy12345-1一、含有绝对值符号的函数的图象例1、画出函数的图象。解：由绝对值的概念，我们有，所以函数的图象为：xOy22练习1、画出函数的图象。练习2、画出函数的图象。练习3、画出函数的图象。xOy22xOy22结论：函数的图象：把函数图象中x轴下方的图象对称到x轴上方；函数的图象：先画出函数在y轴右方的图象，再关于y轴对称到左边。二、分段函数例2、（公交车票价）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量的取值范围是。由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：0510152012345xy，其图象为：分段函数：所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。510152025303551015202530Ot/sv(cm/s)例3、某质点30秒内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图，用解析式法表示出这个函数，并求出9秒时质点的速度。分析：函数的解析式为：，当t = 9时，。练习4、中华人民共和国个人所得税规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（%）不超过500元的部分5超过500元至2000元的部分10超过2000元至5000元的部分15某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？练习5、如图，在边长为1的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，求：ABCDPx（1）y关于x的函数关系式；（2）画出y = f (x) 的图象。三、归纳小结（1）图象与解析式是函数最重要的两种表示方法，两者相辅相成，互为补充，要能够顺利地进行两者的互相转化。（2）分段函数是一种特殊的函数，自变量在不同范围内取值时，对应的解析式不同，但无论分段函数共有几段，它始终是一个函数，而不是多个函数。四、布置作业1、画出下列函数的图象：（1）； （2）。2、课本P25，习题1.2，B组，3。3、练习5。教学反思：第三课时 映射三维目标定向知识与技能1、了解映射的概念。2、能解决一些简单的函数解析式问题。过程与方法1、结合函数的概念理解映射的概念，明白函数是一种特殊的映射。2、通过丰富实例的探究过程，体会函数解析式在具体问题中的应用。情感、态度与价值观体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的运用。教学重难点映射概念的理解以及函数在实际问题中的运用。教学过程设计一、映射问题1：函数是两个非空数集间是一种确定的对应关系。若将数集扩展到任意的集合时，会得到什么结论？阅读课本P22 23。映射的定义：设A、B是非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。问题2：函数概念与映射概念之间有怎样的关系？有什么异同？函数是从非空数集A到非空数集B的映射。映射是从集合A到集合B的一种对应关系，这里的集合A、B可以是数集，也可以是其他集合。函数是一种特殊的映射。问题3：如何判断一个对应关系是不是映射？（举例说明）说明：（1）映射有三要素：两个集合，一个对应法则，三者缺一不可；（2）A中每个元素在B中必有唯一元素和它对应；（3）A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能是一对多。例1、以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集