求二面角平面角的方法

第 1 页 共 14 页 O A B l 寻找二面角的平面角的方法寻找二面角的平面角的方法 二面角是高中立体几何中的一个重要内容 也是一个难点 对于二面角方面的问题 学生往往无从下手 他 们并不是不会构造三角形或解三角形 而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型 1 11 1 二面角的相关概念二面角的相关概念 新教材在二面角中给出的定义如下 1 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 定义只给出二面角的定性描述 关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的 平面角中去研究 教材如下给出了二面角的平面角的概念 二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点 O 分别在两个半平 l 面内作射线 则为二面角的平面角 lBOlAO AOB l 2 2 二面角的求解方法二面角的求解方法 对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角 从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三 角形的边角问题加以解决 定位出二面角为解题的关键环节 下面就二面角求解的步骤做初步介绍 一 找 找出图形中二面角 若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二 证 证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三 算 计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大 对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节 通过一些等价的 结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小 本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一 介绍 2 12 1 定位二面角的平面角 求解二面角定位二面角的平面角 求解二面角 二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类 有棱二面角 无棱二面角 对于前者的二面角的定 位通常采用找点 连线或平移等手段来定位出二面角的平面角 而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延 展平面或找公垂面等方法使其有 无棱 而 现棱 再进一步定位二面角的平面角 一 根据平面角的定义找出二面角的平面角一 根据平面角的定义找出二面角的平面角 例例 1 1 在的二面角的两个面内 分别有和两点 已知和到棱的距离分别为 2 和 4 60 a ABAB 且线段 试求 10 AB 1 直线与棱所构成的角的正弦值 ABa 2 直线与平面所构成的角的正弦值 AB 分析分析 求解这道题 首先得找出二面角的平面角 也就 是找出角在哪儿 如果解决了这个问题 这道题也就解决了一半 60 根据题意 在平面内作 在平面内作 连结 aAD BE EBCD BC 可以证明 则由二面角的平面角的定义 可知为二面角 ACaCD ADC 的平面角 以下求解略 a 例 1 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 求二面角 A BD C1 的大小为 例 2 2006 年江苏试题 如图 2 1 在正三角形 ABC 中 E F P 分别是 AB AC BC 上的点 满足 AE EB CF FA CP BP 1 2 如图 2 2 将 AEF 折起 到 A1EF 的位置 使二面角 A1 EF B 成直二面角 连 接 A1B A1P M A F A1 QP BC E C B P E F 图 2 2 图 2 1 Q 图 1 第 2 页 共 14 页 与 略 求二面角 B A1P F 的余弦值 tan COC1 2 分析与略解分析与略解 在例 1 中 图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用 在这里更离不开图形的这种对 称和谐性 若取 BP 的中点 Q 连接 EQ 则在正三角形 ABC 中 很容易证得 BEQ PEQ PEF AEF 那么在图 2 2 中 有 A1Q A1F 作 FM A1P 于 M 连接 QH QF 则易得 A1QP A1FP QMP FMP 所以 PMQ PMF 90o QMF 为二面角 B A1P F 的平面角 使题解取得了突破性的进 展 设正三角形的边长为 3 依次可求得 A1P QM FM 在 QMF 中 由余弦定理得5 5 52 cos QMF 8 7 2011 广东高考理 18 本小题满分 13 分 如图 5 在锥体 P ABCD 中 ABCD 是边长为 1 的菱形 且 DAB 60 2PAPD PB 2 E F 分别是 BC PC 的中点 1 证明 AD 平面 DEF 2 求二面角 P AD B 的余弦值 解 2 由 1 知为二面角的平面角 PGB PADB 在中 在中 Rt PGA 2 22 17 2 24 PG Rt BGA 222 13 1 24 BG 在中 PGB 222 21 cos 27 PGBGPB PGB PG BG 例例 2 2 在如图 3 所示的三棱锥 P ABC 中 AB AC PB PC 2 BC PA 求二面角 P BC A 的大小 222 解 解 作 BC 中点 D 连接 PD AD 因 PB PC AB AC 知 PD BC AD BC 又有面 PBC 与面 ABC 共棱可得 PDA 为二面角 P BC A 的平面角 而 AB 2 BC 易知 AD PD 在 RT PAD 中 222 2 1 2 cos 222 ADPD PAADPD PDA 所以二面角 P BC A 的大小为 60 二 根据三垂线定理找出二面角的平面角二 根据三垂线定理找出二面角的平面角 此法最基本的一个模型为 如图 3 设锐二面角 过面 l 内一点 P 作 PA 于 A 作 AB l 于 B 连接 PB 由三垂线定理得 PB l 则 PBA 为二面角的平面角 故称此法为三垂线法 l 例例 2 2 如图 在平面内有一条直线与平面成 与棱成 求平面与平面的二 AC 30ACBD 45 面角的大小 A 图 3 P B l P A B C D F G P A B C D F E P B A D C 图3 第 3 页 共 14 页 图 4 B1 A A1 B l E F 分析分析 找二面角的平面角 可过作 平面 连结 由三垂线定理可证 ABDAF AE FEEFBD 则为二面角的平面角 AFE 总结总结 1 如果两个平面相交 有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线 可过这一点向棱作垂线 连结两个垂足 应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直 那么就可以找到二面角的平面角 2 在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时 注意 作 连 证 即 作 连结 BDAF EF 证明 BDEF 例 3 2006 年陕西试题 如图 4 平面 平面 l A B 点 A 在 直线 l 上的射影为 A1 点 B 在 l 的射影为 B1 已知 AB 2 AA1 1 BB1 求 2 略 二面角 A1 AB B1的大小 分析与略解 所求二面角的棱为 AB 不像图 3 的那样一看就明白的状态 但本质却 是一样的 对本质的观察能力反映的是思维的深刻性 作 A1E AB1于 AB1于 E 则可证 A1E 平面 AB1B 过 E 作 EF AB 交 AB 于 F 连接 A1F 则得 A1F AB A1FE 就是所求二面角的平面角 依次可求得 AB1 B1B A1B A1E A1F 则在 Rt A1EF 中 sin A1FE 2 3 2 2 2 3 A1E A1F 6 3 例 2 2009 山东卷理 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F 分别是棱 AD AA1 AB 的中点 1 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 求二面角 B FC1 C 的余弦值 证 1 略 解 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的中点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 CC1 平面 ABCD 所以 CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC1 C 的一个平面角 在 BCF 为正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP 在 Rt OPF 中 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所以二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 练习 2 2008 天津 如图 在四棱锥中 底面是矩形 ABCDP ABCD E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 第 4 页 共 14 页 已知 60 22 2 2 3 PABPDPAADAB 证明平面 ADPAB 求异面直线与所成的角的大小 PCAD 求二面角的大小 ABDP 分析分析 本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题 在证明 AD 平面 PAB 后 容易发现平面 PAB 平面 ABCD 点 P 就是二面角 P BD A 的半平面上的一个点 于是可过点 P 作棱 BD 的垂线 再作平面 ABCD 的垂线 于是 可形成三垂线定理中的斜线与射影内容 从而可得本解法 答案 二面角的大小为 ABDP 4 39 arctan 例例 3 3 在正方体中 为面中心 求二面角的大小 1111 DCBAABCD 1 O 1111 DCBA 111 DACO 解 解 在正方体中 且 1111 DCBAABCD 1111 CADB 1111 DBCA 11D B 面 故 1111 DCBA 11D B 1 AC 1111 CADB 又面 可知 111 ACCA 11A AC 11D B 11A AC 过作于 连接则由三垂线 逆 定理可 1 D 11 ACMD MMO1 知为二面角的平面角 不妨令 11MO D 111 DACO 2 1 AA 于是 有 可得 6 3 2 1 MD2 1 OO 3 6 1 MO 2 1 cos 1 1 11 MD MO MOD 所以二面角的大小为 111 DACO 60 三 作二面角棱的垂面 垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角 即为二三 作二面角棱的垂面 垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角 即为二 面角的平面角面角的平面角 例例 3 3 如图 1 已知为内的一点 于点 P CD PAA 于点 如果 试求二面角的平面 PB B nAPB CD 角 分析 平面 CD CDPBPB CDPAPA PAB 因此只要把平面与平面 的交线画出来即可 证明为的平面角 PAB AEB CD 如图 2 nAEB 180 注意注意 这种类型的题 如果过作 垂足为 连结 我们还必须证明 及 ACDAE EEBCDEB 为平面图形 这样做起来比较麻烦 AEBP 例例 4 4 已知斜三棱柱中 平面与平面构成的二面角的平面角 111 CBAABC 1 AB 1 AC 1 A 1 D 1 C 1 B A D C B 1 O M 图5 第 5 页 共 14 页 为 平面与平面构成的二面角为 试求平面与平面构成的二面角的大小 30 1 AB 1 BC 70 1 AC 1 BC 分析 分析 作三棱柱的直截面 可得 其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平 DEF 面角 总结 总结 对棱柱而言 其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角 分别为棱柱相邻侧面构成的 二面角的平面角 例 4 空间的点 P 到二面角的面 及棱 l 的距离分别 l 为 4 3 求二面角的大小 3 392 l 分析与略解 如图 5 分别作 PA 于 A PB 于 B 则易知 l 平面 PAB 设 l 平面 PAB C 连接 PC 则 l PC 分别在 Rt PAC Rt PBC 中 PC PA 4 PB 3 则 AC BC 3 392 3 32 3 35 因为 P A C B 四点共圆 且 PC 为直径 设 PC 2R 二面角的大小为 l 分别在 PAB ABC 中 由余弦定理得 AB2 AC2 BC2 2 AC BCcos PA2 PB2 2 PA PBcos 则可解得 cos 120o 二面角的大小为 120o 2 1 l 例例 5 5 如图 7 在正三棱柱中 截面 侧面 若 111 CBAABC ECA1 1 AC 求平面与平面所成二面角 锐角 的大小 111 BAAA ECA1 111 CBA 解解 设 因为面与面重合 由题意面GACCA 11 GCA 111 AC 面 而为面与面相交于棱上一点且GCA 11 ECA1 1 AECA1 111 CBA 所以面为所求二面角的一垂面 为所求GCAA 111 面 GCA 1111C GA 二面角的平面角 在正三棱柱中 可知 111 CBAABC 111 BAAA 45 11C GA 故所求二面角的大小为 45 四 平移平面法 无棱的一种 四 平移平面法 无棱的一种 例例 5 5 如图 正方体中 为的中点 为上的点 且 设 1111 DCBAABCD E1 AA H1 CC21 1 HCCH 正方体的棱长为 求平面与底面构成的锐角的正切 a EHD1 1111 DCBA 分析 分析 本题中 仅仅知道二面角棱上的一点 在这种情况下 寻找二面角 1 D P 图 5 l CB A 1 A 1 C 1 B A C G E B 图7 第 6 页 共 14 页 的平面角较困难 根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理 如果能把二面角中的一个平面平 移 找出辅助平面与另一个平面的交线 就可以作出二面角的平面角 有了平面角之后 只需要进行常规构造三 角形和解三角形的计算 就可以解决问题了 如图 过点作与相交于点 过点作 与相交于点 可证平面 E11 DAEMDD1 MM11D CMN HD1 N 平面 这样 求平面与平面的二面角的平面角就转化 EMN 1111 DCBAEHD1 1111 DCBA 为求平面与平面的二面角的平面角 显然为这两个平面的交线 过点 EHD1 EMNEN 作 为垂足 连结 可证 则为本题要寻找 MENMF F FD1ENFD 1 FMD1 的二面角 例例 6 6 本题关键在利用平移棱的垂线进行解题 在正三棱柱中 是的中点 111 CBAABC DAC 求二面角的大小 11 BCAB CBCD 1 解解 作且交 BD 于 F 则 AE 平面 EBCAE于 CCBB 11 连接 并记它们的交点为 O 连接 OF 由EB1BC1 知 FA EF CB BE OB OE 111 ABOF 1 由知 OF OE 而 RT RT 11 BCAB 1 BC 1 BCBEOCBCEBB 90 11 EBB1 1 BCC 因此故有 BB BE CC BE BC BB 11 1 2 2 2 1 BC BEBCBB 可得 22 2 22 1 2 1 4 3 2 2 BC BCBC BEBBEB 45 1A EBEOF 故二面角的大小为 CBCD 1 45 例例 7 7 在棱长为 1 的正方体中 E 是 1111 DCBAABCD BC 的中点 试求面与平面所成二面角的大小 EDB1 11A ABB 解解 取中点 F 连 FD FB 11D A 取 AD 中点 K 连接 A K BK A B 显然 DE BF 为平行四边形 因为 A K FD KB DE 知平面 A KB 平面 DEB F 取 A B 中点 O 连接 OK OA 由 A K BK A A BA 知 OK A B OA A B 故 AOK 为二面角的平面角 4 3 2 1 22222 OBBKOKOBOA 1 A 1 C 1 B A O C B F D E 图8 1 A 1 D 1 C 1 B A D C B K 图9 E F O 第 7 页 共 14 页 可得 3 6 cos AOK 故平面与平面所成二面角的大小为 EDB1 11A ABB 3 6 arccos 五 找垂面 作垂线五 找垂面 作垂线 例例 6 6 如图 正方体中 为棱的中点 求平 1111 DCBAABCD MAD 面和平面所构成的锐二面角的正切 CBCB 11 MBC1 分析 分析 平面与二面角的一个面垂直 与另一个平 AC CBCM 1 CB1 面相交 过点作 垂足为 过作 交于点 连结 由三垂线定 1 CMB MBCMP PPBCPN 1 CB NMN 理可证 则为二面角的平面角 1 BCMN MNP CBCM 1 总结 总结 当一个平面与二面角的一个平面垂直 与另一个平面相交时 往往过这个面上的一点作这两个垂直 平面交线的垂线 再过垂足作二面角棱的垂线 根据三垂线定理即可证明 并找出二面角的平面角 再如图 要找所构成的二面角的平面角 可找平面 且 过上任何 a b l b 一点作 垂足为 过作 垂足为 连结 可证为的平面角 AlAB BB BCCACACB a 六 根据特殊图形的性质找二面角的平面角六 根据特殊图形的性质找二面角的平面角 1 1 三线合一 三线合一 例例 7 7 如图 空间四边形中 ABCD3 ADAB4 CDBC 试求二面角的余弦值 2 BD5 ACCBDA 分析 分析 如图 1 则 和 为等腰三角形 过作 垂足 ADAB CDBC ABDBDCABDAE 为 连结 根据三线合一 且为中点 可证 则为二面角的平面角 ECEEBDBDCE AEC CBDA 2 2 全等三角形 全等三角形 例例 8 8 如图 已知空间四边形 ABCD6 BCAB4 DCAD 试求的余弦值 8 BD6 ACCBDA 分析 分析 过作 垂足为 连结 根据已知条件 ABDAE ECE 和 全等 可证 则为二面角的平面角 AEDCEDBDCE AEC CBDA 3 3 二面角的棱蜕化成一点 二面角的棱蜕化成一点 例例 9 9 如图 四棱锥中 和与面垂直 BCEDA DBECABC 为正三角形 ABC 1 若时 求面与面的夹角 BDECBC ADEABC 第 8 页 共 14 页 D A M 图 6 E C B C1 A1 B1 H G 2 若时 求面与面的夹角 BDECBC2 ADEABC 分析 分析 如图 面与面的交线蜕化成一点 但面与面与面相交 如果三个平面 ADEABCADEABCDC 两两相交 它们可能有三种情况 1 交线为一点 2 一条交线 3 三条交线互相平行 在图 1 中 两条 交线与互相平行 所以肯定有过且平行于的一条交线 BCDEADE 可过作 平面与平面的交线即为 过作于 过作 ADEAM ADEABCAMADEAN NA 于 可证 则为面与面的夹角 BCAF FAMAN AMAF NAF ADEABC 如图 与不平行且相交 根据三个平面两两相交可能出现的三种情况 这三个面的交线为一点 延长 DE CB 相交于点 连结 即为平面与平面的交线 通过一 EDCBGAGAGADEABC 些关系可证为平面与平面的夹角 CAE ADEABC 通过以上分析和举例说明 寻找二面角的平面角的方法就比较容易了 只要我们 勤动脑 善观察 多总结 抓住问题的特征 找出适当的方法 关于二面角的平面角 的问题就会迎刃而解 七 七 面积法 不作二面角求法 面积法 不作二面角求法 如图 1 设二面角 C BD C1的大小为 则在 Rt COC1中 cos 在某些 BDC CBD S S BDOC BDCO OC CO 1 1 1 2 1 2 1 情况下用此法特别方便 例 5 如图 6 平面外的 A1B1C1在内的射影是边长为 1 的正三角形 ABC 且 AA1 2 BB1 3 CC1 4 求 A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小 分析与略解 问题的情境很容易使人想到用面积法 分别在 BB1 CC1取 BD CE AA1 则 A1B1C1 A1DE 可求得 A1B A1C1 B1C1 所以等腰252 A1B1C1的面积为 又正 ABC 的面积为 设所求二面角的大小为 则 cos 4 15 4 3 5 5 例 4 2008 北京理 如图 在三棱锥中 PABC 2ACBC 90ACB APBPAB PCAC 求证 PCAB 求二面角的大小 BAPC 分析 本题要求二面角 B AP C 的大小 如果利用射影面积法解题 不难想到在平面 ABP 与平面 ACP 中建立 一对原图形与射影图形并分别求出 S原与 S射 于是得到下面解法 解 证略 ACBC APBP APCBPC 又 PCAC PCBC 又 即 且 90ACB ACBC ACPCC 平面 BC PAC 取中点 连结 APEBECE ABBP BEAP 是在平面内的射影 EC BEPAC CEAP A C B E P 第 9 页 共 14 页 ACE 是 ABE 在平面 ACP 内的射影 于是可求得 则22 22 CBACAPBPAB6 22 AEABBE2 ECAE 122 2 1 2 1 CEAESS ACE射 362 2 1 2 1 EBAESS ABE原 设二面角二面角的大小为的大小为 则 则BAPC 3 3 3 1 cos 原 射 S S 二面角的大小为BAPC 3 3 arccos 练习 4 如图 5 E 为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的中点 求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦值 分析分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出 要找到二面角的平面角 则必须先作两个平 面的交线 这给解题带来一定的难度 考虑到三角形 AB1E 在平面 A1B1C1D1上的射影是三角形 A1B1C1 从而求得 两个三角形的面积即可求得二面角的大小 答案 所求二面角的余弦值为 cos 3 2 例例 1010 求正四面体任意两个面所成二面角的大小 解解 如图 13 正四面体 S ABC 由正四面体的对称性 不妨求侧面与底面 所成二面角的大小 易知 SBCSABSABABC SSSS 而 S 的射影为的中心 所以 ABC COABOCAOB SSS 于是有 3 1 S cos SCASBCSAB ABC SBC BOC SSS S S SS 故正四面体任意两面所成二面角的大小为 3 1 arccos 例例 1111 如图 14 在正方体中 E 为 CC 中点 F 1111 DCBAABCD 在 BB 上 且 BF BB 求平面 A EF 在底面 ABCD 所成二面角的余弦值 3 1 解解 如图 14 所示 在正方体中 1111 DCBAABCD ACBABCDEFA 内的射影为在底面 1 由射影面积公式知故所求二面角的余弦 53 536 cos 1 EFA ABC S S S S 值为 53 536 A1 D1 B1 C1 E D B C A 图 5 1 A 1 D 1 C 1 B A D C B E 图14 F 图13 C B A O S 第 10 页 共 14 页 八 将无棱二面角转化为有棱二面角八 将无棱二面角转化为有棱二面角 直接作出无棱二面角的棱 将无棱二面角转化为有棱二面角 按有棱二面角来处理 作棱有两种常用的方法 作交线 由交点得棱 作平行线 即为棱 例 3 2008 湖南 如图所示 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形 BCD 60 E 是 CD 的中点 PA 底面 ABCD PA 2 证明 平面 PBE 平面 PAB 求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角 锐角 的大小 分析 本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线 依本法显然要补充完整 延长 AD BE 相交于点 F 连结 PF 再在完整图形中的 PF 上找一个适合的点形成二面角的平面角解之 证略 解 延长 AD BE 相交于点 F 连结 PF 过点 A 作 AH PB 于 H 由 知 平面 PBE 平面 PAB 所以 AH 平面 PBE 在 Rt ABF 中 因为 BAF 60 所以 AF 2AB 2 AP 在等腰 Rt PAF 中 取 PF 的中点 G 连接 AG 则 AG PF 连结 HG 由三垂线定理的逆定理得 PF HG 所以 AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角 锐角 在等腰 Rt PAF 中 2 2 2 AGPA 在 Rt PAB 中 22 22 5 55 AP ABAP AB AH PB APAB AA 所以 在 Rt AHG 中 2 5 10 5 sin 52 AH AGH AG 故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角 锐角 的大小是 10 arcsin 5 练习 3 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的棱长都是 a 侧棱与底面成 600的角 侧面 BCC1B1 底面 ABC 1 求证 AC1 BC 2 求平面 AB1C1与平面 ABC 所成的二面角 锐角 的大小 提示 本题需要补棱 可过 A 点作 CB 的平行线 L 答案 所成的二面角为 45O 如图 11 中只现出两个局部半平面的一个公共点 P 图中没有给出二面角的 棱 此时 若在二面角的两个半平面内各存在一条直线且相互平行 则过 P 分别作这两条直线的垂线 PQ 和 PR 则 QPR 就是二面角的平面角 例例 9 9 如图 12 P ABCD 为正四棱锥 边长为 求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值 a 解解 如图 过 P 点作 则 ABl PABl面 故在 P ABCD 中有 CDlABl A B C ED P F G H A CB B1C1 A1 L 第 11 页 共 14 页 所以 lPABPCDDl 面知面面 PC 作 AB 中点 E CD 中点 F 连接 PE PF 易知 PE AB PE 又l PF CD PF 可知 EPF 为所求二面角的平面角 l 由条件 PE PF 得到aEFa 2 3 6 1 2 cos 222 PFPE EFPFPE EPF 故平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 6 1 九 向量法九 向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法 可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解 用向量法解立体几何题时 通常要建立空间直角坐标系 写出各点的坐标 然后将几何图中的线段写成用坐标法 表示的向量 进行向量计算解题 若二面角两个半平面 的法向量分别为且知道二面角为锐角 钝角 则 l 21 n n l 的平面角二面角其中 l nn nn nn nn 为 cos cos 21 21 21 21 定理定理 1 1 设二面角为 l 则 有FlBFElAElBBlAA于于 FBEA FBEA cos 文给出另一结论 5 定理定理 2 2 如图 19 空间任一条直线 L A B 是直线 L 上的两个点 M 是空间任一点 MN L 于 N 则 AB AB ABAM AMNM 2 利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角 避免产 l F E 图12 D C AB l E A F 图18 B y A x zL M B 图19 y A x z M D C B 图20 E F N 第 12 页 共 14 页 生二面角的 平面角与其法向量夹角的误判 同时又避免了对垂足 M N 坐标的判断 例例 1414如图 20 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 坐在平面相垂直 M 是线段 EF 中点 求二 5 1 2 AFAB 面角 A DF B 的大小 解解 如图建立空间直角坐标系 则 xyzC 0 2 0 0 2 2 BA 1 2 2 0 0 2 FD 作 AM DF 于 M BN DF 的延长线于 N 则所成的角的大小与二面角 A DF B 的大小相等 NBMA与 3 2 3 2 0 2 DF DF DFDA DADMDAMA 3 2 3 2 2 2 DF DF DFDB DBDNDBMANB 2 1 cos NBMA NBMA 故二面角 A DF B 的大小为 60 例例 1212 如图 15 在矩形 ABCD 外存在一点 P 使 PA 面 ABCD PA PB 1 BC 2 求二面角 B PC D 的大小 解解 由题意建立如图空间直角坐标系 则 A 0 0 0 P 0 0 1 B 1 0 0 C 1 2 0 D 0 2 0 设面 PAC 的法向 量为 面 PCD 的法向量 1111 zyxn 2222 zyxn 则有由 0 0 1 1 PCn PBn 1 0 1 1 n 及 2 1 0 0 0 2 2 2 n PCn PDn 得 5 10 cos 21 21 nn nn