高中数学 第二章 解析几何初步 2.3.12.3.2 空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系中点的坐标课件 北师大版必修2.ppt

3空间直角坐标系 3 1空间直角坐标系的建立3 2空间直角坐标系中点的坐标 1 空间直角坐标系的建立 1 定义 在平面直角坐标系的基础上 通过原点o 再增加一条与xoy平面垂直的z轴 这样就建立了三个维度的空间直角坐标系 其中点o叫作原点 x y z轴统称为坐标轴 由坐标轴确定的平面叫作坐标平面 2 画法 在平面上画空间直角坐标系时 一般使 xoy 135 或45 yoz 90 3 说明 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系 即伸出右手 让四指与大拇指垂直 并使四指先指向x轴正方向 然后让四指沿握拳方向旋转90 指向y轴正方向 此时大拇指的指向即为z轴正向 也称这个坐标系为右手系 2 空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中 对于空间任意一点p 都可以用一个三元有序数组 x y z 来表示 其中第一个是x坐标 第二个是y坐标 第三个是z坐标 反之 任何一个三元有序数组 x y z 都可以确定空间中的一个点p 这样 在空间直角坐标系中 点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系 做一做如图所示 长方体oabc d1a1b1c1的长 宽 高分别为4 3 5 以长方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系 将长方体的各个顶点用坐标表示出来 解 建立如图所示的空间直角坐标系 因为 ab 4 bc 3 bb1 5 所以各点的坐标分别为o 0 0 0 a 3 0 0 b 3 4 0 c 0 4 0 a1 3 0 5 d1 0 0 5 b1 3 4 5 c1 0 4 5 答案不唯一 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一根据点的坐标确定点的位置 例1 在空间直角坐标系中 作出点m 2 6 4 分析 可以先确定点 2 6 0 在xoy平面的位置 再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置 解 方法一 先确定点m 2 6 0 在xoy平面上的位置 因为点m的竖坐标为4 则 mm 4 且点m和z轴的正半轴在xoy平面的同侧 这样就可确定点m的位置 如图所示 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法二 以o为一个顶点 构造三条棱长分别为2 6 4的长方体 使此长方体在点o处的三条棱分别在x轴正半轴 y轴负半轴 z轴正半轴上 则长方体中与顶点o相对的顶点即为所求的点 图略 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练1点 2 1 0 在空间直角坐标系中的位置是 a 在z轴上b 在xoy平面上c 在xoz平面上d 在yoz平面上 解析 因为点 2 1 0 的z轴坐标为0 所以点 2 1 0 在xoy平面上 答案 b 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二已知点的位置写出它的坐标 例2 m oab是棱长为a的正四面体 顶点m在底面oab上的射影为h 请建立适当的空间直角坐标系 并分别写出点o a b h m的坐标 分析 以o为原点 射线oa为y轴正方向建立空间直角坐标系 点b在平面xoy内 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练2如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为8 e是a1c1的中点 且 bf 3 fb1 建立空间直角坐标系并求点a c1 b1 e f的坐标 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 如图所示 以点d为坐标原点 以da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 易得a 8 0 0 c1 0 8 8 b1 8 8 8 由于点e在xoy平面上的投影为ac的中点 所以h 4 4 0 又 eh 8 所以点e的z坐标为8 因此点e的坐标为 4 4 8 点f在平面xoy上的投影为b 8 8 0 因为 bb1 8 bf 3 fb1 所以 bf 6 即点f的z坐标为6 所以点f的坐标为 8 8 6 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三空间中的对称点问题 例3 在长方体oabc d a b c 中 oa 3 oc 4 od 2 以o为原点 以oa oc od 所在的直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 1 求线段a c的中点m的坐标 2 求点b 关于y轴对称点的坐标 关于yoz平面对称点的坐标 3 求点b 关于点p 2 1 4 对称点的坐标 探究一 探究二 探究三 思想方法 分析 类比平面直角坐标系中点的对称问题 根据对称点的变化规律结合中点坐标公式即可求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练3在空间直角坐标系中 给定点m 1 2 3 求它分别关于坐标平面 坐标轴和原点对称的点的坐标 解 m 1 2 3 关于坐标平面xoy对称的点是 1 2 3 关于坐标平面xoz对称的点是 1 2 3 关于坐标平面yoz对称的点是 1 2 3 m 1 2 3 关于x轴对称的点是 1 2 3 关于y轴对称的点是 1 2 3 关于z轴对称的点是 1 2 3 m 1 2 3 关于原点对称的点是 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思想方法 空间直角坐标系的应用 典例如图所示 点a的坐标是 1 1 0 对于z轴正半轴上任意一点p 在y轴正半轴上是否存在一点b 使得pa ab恒成立 若存在 求出b点的坐标 若不存在 说明理由 探究一 探究二 探究三 思想方法 思路点拨 由立体几何知识可知欲使pa ab 只需使oa ab 空间问题转化为平面问题 欲证oa ab 只需证明 oa 2 ab 2 ob 2 从而将几何问题转化为代数计算问题 解 设p 0 0 c b 0 b 0 对于z轴正半轴上任意一点p 假设在y轴正半轴上存在一点b 使得pa ab恒成立 连接oa 则由线面垂直可知只需证oa ab 即只需证 oa 2 ab 2 ob 2 在平面xoy内的点的坐标为a 1 1 b 0 b o 0 0 令 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 b 2 0 0 2 0 b 2 解得b 2 所以存在这样的点b 当点b为 0 2 0 时 pa ab恒成立 探究一 探究二 探究三 思想方法 12345 1 点p 3 0 4 位于 a x轴上b y轴上c xoz平面内d xoy平面内 答案 c 12345 2 在空间直角坐标系中 下列各点中位于yoz平面内的是 a 3 2 1 b 2 0 0 c 5 0 2 d 0 1 3 解析 位于yoz平面内的点 其x坐标为0 其余坐标任意 故 0 1 3 在yoz平面内 答案 d 12345 3 点p 4 3 7 关于平面xoz的对称点坐标为 解析 点p 4 3 7 关于平面xoz的对称点坐标为 4 3 7 答案 4 3 7 12345 4 在空间直角坐标系