一元一次不等

初中代数 第一册（下）第六章元 一元一次不等式和一元一次不等式组一、教当建议【抛砖引玉】一元一次不等式及不等式成立等概念的引入，应通过生活中的实例自然引入，接着提出了不等式的基本性质，并运用它们将不等式进行变形，研究不等式的解，解集及其在数轴上的表示法，然后讲述一元一次不等式的解法。在讲授其解法时，采取与解一元一次方程相类似的步骤，把不等式的逐步变形，求得一元一次不等式的解集。这些变形的依据是不等式的三条基本性质和移项法则进行必要强调，对不等式与等式的性质，以及一元一次不等式与一元一次方程的解法步骤和解的情况，列表进行对比，应当注意的是，在进行对比时，既要说有它们的相同点，更要指出它们的不同点，揭示各自的特殊性，才有助于学生了解不等式的有关知识，同时避免与方程的有关知识混淆。总之，在教学中，把一元一次不等式的解法作为教学中的重中之重，精讲多练，狠抓素质训练。【指点迷津】本单元的难点是了解不等式的解集以及运用不等式基本性质3。由于一元一次方程和一元一次不等式相同点较多，学习时容易忽视它们的不同点。因而在解不等式时，当不等式两边都乘以或除以一个负数时，常常忘记改变不等号的方向。这点务必要引以为戒，防患未然。对于求出不等式的解集，也往往不能真正了解它的含义。另外，对不等式的解集在数轴上的表示方法也应慎重，如x8及x8在数轴上的表示方法则不同。对于求不等式整数解问题也应掌握。二、学海导航【思维基础】1. 不等式。2.不等式有下面三条基本性质：不等式基本性质1 ；不等式基本性质2 ；不等式基本性质3 。3. ，组成这个不等式的解集合，简称这个不等式的解集。4. 叫做解不等式。5.只含有一个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于 ，我们把 叫做一元一次不等式。6.一元一次不等式的标准形式 。7.解一元一次不等式一般步骤是：1） ，2） ，3） ，4） ，5） 。在上面的步骤（1）和步骤（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号改变方向。8.一元一次方程只有一个解。一元一次不等式的解集含有 。9.不等式的解集xa与xa(xa与xa)的区别在于后者表示a也是 。在数轴上表示这两个解集时，用空心圆圈与 。【学法指要】例:1.解不等式： x1思考：1.不等式的基本性质3你知道吗？2.解一元一次不等式通常有哪几个步骤？3.在去分母时，通常应注意哪两点？思路分析：对本例，首先应去分母，化成标准形式求解。解：去分母，得8x3(x1)84(x5) 去括号，得8x3x384x20 移项， 得8x3x4x8203合并同类项，得15x25系数化为1，得 x在解不等式的过程中，去分母时，不能漏乘每一项，并且要注意添括号，在去括号及移项的过程中，要注意符号的变化，尤其系数化为1时，对于系数为负数时，一定要注意不等号方向的变化。只要抓住这几点，解一元一次不等式便可掌握。例2.方程组 xy=3a1 xy=5a1的解满足不等式3x4y1求a的取值范围。思考：1.解二无一次方程组通常有哪些方法？2.一元一次不等式的解是什么？思路分析：本例应解二元一次方程组，求其解后，再代入不等式，即可求a的取值范围。 xy=3a1 解 xy=5a1 x=4ay=1a x=4a y=1a为原方程组的解，而它又满足不等式3x4y1，于是有 34a4(1a)1 12a44a1 8a3 a例3.求不等式1的正整数解。思考：1.自然数是正整数吗？2.怎样求不等式的正整数解呢？思路分析：对于求不等式的正整数解，应先不考虑这一限制条件，按解一元一次不等式的方法求解后，再研究限制条件，便可达到目的。解：去分母， 得4x512 移项，合并，得4x17 系数化为1， 得x求原不等式正整数解。x=1、2、3、4为原不等式正整解。例4.当x为何值时，代数式1的值不小于的值？思考：1.“不小于”怎样用数学符号表示？“不大于”呢？2.解此类问题首先应干什么？思路分析：解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解。解：依题意，得 1 4(2x1)123(35x) 8x15x9124 7x17 x所以，当x时，代数式1的值不小于的值。例5.工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？思考：1.列一元一次方程解应用题有哪些步骤？2.如何依题意找相等关系？3.如何根据题意找不等关系来解决一元一次不等式应用题？思路分析：一元一次不等式应用题的解法与列一元一次方程解应用题基本相仿，关键是找出不等关系，列出不等式，即可求解。解：设后几天每天平均完成x土方，根据题意，得 60(612)x300 解之得 x80答：每天平均至少挖土80土方。【思维体操】例1.解不等式：(x2)(x2)思考：1.加法的变换律与结合律你知道吗？在解一元一次不等式过程中能否用到？2.解一元一次不等式是否可突破常规解法？能否因题而异，采取整体思维的方法？思路分析：本例若视（x2）为一个整体，采取整体思维的方法，可找到十分简捷的解法。解：移项，得(x2)(x2) 合并同类项，得x21 x3又思路分析：本例若采取先去括号，再分组结合，又可获得巧妙解法。解：去括号，得 移项， 得()x()() x3以上两种思路，都打破了传统的常规解法桎梏，分别采取整体思维及灵活运用加法的结合律，减少了运算过程及难度，加快了运算速度。可见，要善于观察，捕捉习题特点，灵活选取最佳解题方法，既可增长才智，又可提高数学素养。例2.若a3，(1)比较a2和3a的大小；(2)比较ab和3b的大小。思考：(1)比较两个数的大小通常采取哪些方法？(2)在比较两个数字大小时，对含有字母取值范围不清时，应分几种情况讨论？思路分析：(1)a3,解：两边同乘以a，得a23a a23a本例也可这样进行求解 a31 a23a.(2)思路分析：本例未有告诉b的取值范围，必须考虑b0，b=0，b0三种情况，进行分类比较，才能分别确定它们大小。对于这类问题必须慎密思考，做到不重不漏。解ab3b=b(a3) a3， a30i)若b0，则b(a3)0，即ab3bii)若b=0，则b(a3)=0，即ab=3biii)若b0，则b(a3)0，即ab3b例3.解不等式：1(2x1)(12x)2x思考：(1)解一元一次不等式一定要一步一步按步就班进行吗？(2)对本例可视(2x1)为一整体吗？如何变形？(3)本例如何求解最简便？思路分析：把2x1视为一个整体，原不等式变形整理为：解： (2x1)(2x1)(2x1)0 (1)(2x1)0 2x10 x本例求解过程中，突破传统解题模式，进行整体思维，大大简化了运算程序。又逆用了乘法分配律，避免了通分，一举获胜，通过本例学习，启示我们在学习过程中，要敢于创新，敢于探索，便可创造奇迹，使自己的创新能力将会不断提高。又思路分析：对本例视2x1为整体，也可这样变形：解：(2x1)(12x)(2x1) (2x1)(2x1) 2x10 x例4.已知不等式5(x2)86(x1)7的最小整数解为方程2xax=3的解。求代数式4a.思考：1.如何求一元一次不等式的解集？它们的最小整数解又如何求呢？2.方程的解与解方程各指什么？3.对于综合题应如何求解？通常采取什么策略？思路分析：本例是一道不等式，方程，求代数式值交融一体的综合题，必须各个击破，一个问题一个问题的解决，便可攻破，这也是解综合题的常用方法。解：5(x2)86(x1)7 5(x1)36(x1)7 (x1)4 x14 x3 此不等式的最小整数解为x=2 x=2为方程2xax=3的解 2(2)a(2)=3 a=时， 当4a=4=144=10例5.含盐5%的盐水100克，至少加多少盐才能达到含盐15%以上（包括15%）？思考：1.溶质，溶剂，溶液之间关系如何？2.百分比浓度=100%思路分析：设至少加x克盐，则有解：1005%x(100x)15% 500100x150015x 85x1000 x答：至少要加克盐。三、智能显示【心中有数】对解不等式，不等式解集的概念应加深理解会在数轴上表示不等式的解集，对不等式的三条基本性质要熟练掌握。并会用它们解一元一次不等式。通过实例，适当选取灵活思维方法，进一步领会等与不等式对立的统一思想，以解决生活生产中的实际问题，以提高数学素质。【智能显示】1.判断正误；正确的在括号里打“”，错误打“。(1)如果ab，则ab（ ）(2)如果2a2b，则ab（ ）(3)如果abac，则bc（ ）(4)若x，则x1（ ）(5)若a6b6，则ab（ ）(6)若，则ab（ ）(7)若ab，则a2b2（ ）(8)若ab，cd，则acbd（ ）2.用“”或“”号填空：若)若ab，且c0，则(1) 2a ab (2) (3) ca cb (4) a|c| b|c|3.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：(1) 3x24x1(2) x1(3) 0(4) x4.一个两位数的个位数字比十位数字大2，已知这个两位数小于30，求此二位数。【智能显示答案】1.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)2.(1) ab aaab 即2aab (2) ab, c0 c20 (3) ab ab cacb (4) ab，又|c|0 a|c|b|c|3.(1) 3x24x1 3x4x12 x3 x3(2) x1 6x3x2(x1)6(x8) 6x3x2xx682 4x12 x3(3) 03(y3)2(2y4)0 3y94y80 y1 y1(4) x20x125(5x3)3 20x1225x153 20x25x31215 5x0 x0又解： 5x33 x0三解：x x 0 x04.解：设这个两位数个位数字为x，十位数字为（x2）。依题意，有 10(x2)x30 10x20x30 11x50 x4x是正整数，x只能取3、4答：此两位数是13或24。【创新园地】例解不等式：(1) x1(2) x1(3) (4) (5) 【创新园地】解答(1)解：由原不等式，得 xx1 20 原不等式的解集为全体实数。又解：由原不等式，得 1 20 原不等式的解集为全体实数。三解：由原不等式，得 x11 02 原不等式的解集为全体实数。四解：由原不等式，得 x34x3x3 x4x3x33 06 原不等式的解集为全体实数。(2)视x2为一个未知数，原方程可变形为： 1(x2)2 12 显然矛盾 原不等式无解。注：本例还有几种解法，请同学继续探索。(3)由原不等式变形，得 x26 x8(4)视(2x5)为一个未知数，原方程可变为： 2x59 2x4 x2注：本例的其它解法，请读者新自动笔写出。(5)由原不等式变形，得 4y242y14 38y12 y又解：由原不等式，得 4y2 y四、同步题库一、填空题：1.用不等号“”或“”填空：ab时，ab 0ab时，ab 0a0时，b 0时，ab0a0时，b 0时，ab0a0时，b 0时，0a0时，b 0时，0若ab0，则 若a0，b0则 2.用不等式表示：x是正数： ；x是非负数： ；x的3倍不大于2： ；x的与5的差是正数： ；3.若y=3x2，且关于x的不等式的解是x2，那么关于y的不等式的解集是 。4.若xy0，则是 数。5.若关于x的不等式mx32xm的解集为x，则m的取值范围是 。6.不等式3x442(x2)的最小整数解是 。7.若=1，则ab= 。8.当x 时，代数式的值是正数；当x 时，代数式的值是负数；当x 时，代数式的值是非正数；当x 时，代数式的值是非负数。9.方程3(x2)=k2的解是正数，则k的取值范围是 。10.关于x的不等式(a1)xb0 (a0)的解集是 。二、选择题：11.如果mn，那么下列各式中正确的是 。A. B. C. D. 12.由xy得到axay的条件应是 。A. a0B. a0C. a0D. a013.如果2a，1a，a三个数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么a的取值范围是 。A. a0B. a0C. aD. a为任意实数14.在数轴上表示不等式x2的解集应是 。A. 2B. 2C. 2 D. 215.一种灭虫药粉30千克，含药率是15%，现在要用含药率较高的同种灭虫药粉50千克和它混合，使混合后的含药率大于20%而小于35%，则所用药粉的含药率x的范围是 。A. 15%x23%B. 15%x35%C. 23%x47%D. 23%x50%16.下列命题正确的是 。A.若ab，则acbcB.若ab，则ac2bc2C.若ab，则acbcD.若|a|b|，则ab17.代数式的值不小于的值，则a的取值范围应是 。A. a1B. a1C. a2D. a118.同时满足和6x63x2的整数值的乘积是 。A. 1B. 2C. 0D. 119.如果m满足|m|m，则m是 。A.正数B.负数C.非负数D.任何有理数20.在数轴上与原点的距离小于3的点对应的x满足 。A. 3x3B. x3C. x3D. x3或x3三、判断题：21.a、b是有理数，则一定有aba. 22.如果ab，c0，则ac2bc2. 23. x是在1与3之间的数，可表示为：1x3. 24. x是不大于5且不小于1的数，可表示为：1x5. 25.如果a是有理数，且(a21)xa21，则x1. 26.若ab，则a2(a)20. 27. |ab|0一定成立. 28.如果a5b5，那么5a5b. 29.不等式193x4的非负整数解的个数是6个. .30.不等式|x|5的解集是x5或x5. 四、计算题：31. (在数轴上表示其解集)32. 33.已知正整数x满足0，求代数式：(x1)1999的值。34.如果关于x的不等式的解集为x2，求a的值。35.若，问x取何值时，?36.有含盐20%的盐水500克，为了使盐水的含盐量不高于5%，应加水多少克？37.一个两位数的个位数字比十位数字大2已知这个两位数小于30，求此两位数。38.兄妹两人在同一学校上学，妹妹每分钟走80米，15分钟可以到校，哥哥在妹妹离家3分钟后才出门，问哥哥每分钟最少走多少米，才能赶在妹妹前面到校？39.某单位计划10月份组织员工到H地旅游人数估计在1025人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元。该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠；问该单位应怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？40.某次数学竟赛，共有16道选择题，评分标准为答对一题得6分，答错一题扣2分，不答不做得0分，小明有一道题没有回答，问他至少答对多少题成绩才不低于60分？同步题库答案：一、填空题：1. ；2. x0；x0；3x2；x50； 3. Y8 4.正数； 5. M2； 6. 4； 7. 0； 8. X2；x x；x2； 9. K4 10. X二、选择题：11. A 12. D 13. C 14. A 15. C 16. C 17. B 18. C 19. B 20. A三、判断题：21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 四、计算题：31. 解： 12x6x4(x3)3(2x1)12x6x4x126x312x6x4x6x312 4x9 x32. 解：6(2x)4(x3)3(2x1)126x4x126x3 6x4x6x31212 4x27 x33.解：正整数x满足0x