大学高数试卷及答案

共共 1010 页页 第第 1 1 页页 浙江农林大学浙江农林大学 20162016 20172017 学年第学年第 一一 学期期中考试学期期中考试 课程名称 高等数学 高等数学 课程类别 必修必修 考试方式 闭卷闭卷 注意事项 1 本试卷满分100 分 2 考试时间 120 分钟 一 单项选择题一 单项选择题 在每小题的四个备选答案中 选出一个正确 答案 并将正确答案的选项填在题后的括号内 每小题 3 分 共 21 分 1 下列各式正确的是 A B sin lim1 x x x 0 sin lim0 x x x C D 1 lim 1 x x e x 1 lim 1 x x e x 2 当时 与等价的无穷小量是 0 x x A B C D 11x 1 ln 1 x x 1 x e 1 cosx 3 设在的某邻域有定义 则它在该点处可导的一个充分条件是 f xxa A 存在 B 存在 1 lim h h f af a h 0 2 lim h f ahf ah h C 存在 D 存在 0 lim 2 h f ahf ah h 0 lim h f af ah h 题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八得分得分 得分得分 评阅人评阅人 学院 专业班级 姓名 学号 装 订 线 内 不 要 答 题 得分 共共 1010 页页 第第 2 2 页页 4 函数在区间上的最小值是 3 3yxx 0 1 A 0 B 没有 C 2 D 2 9 5 函数在区间上应用罗尔定理时 所得到的中值 2 1yx 1 1 A 0B 1 C D 21 6 设函数处处可导 那么 2 0 1 0 ax ex f x bxx A B C D 1ab 2 1ab 0 1ab 1 0ab 7 设为函数的极值点 则下列论述正确的是 xa yf x A B C D 以上都不对 0fa 0f a 0fa 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 分 共分 共 21 分 分 1 极限 2 32 sin 1cos lim xx xx x 2 极限 222 222 lim 12 n nnnn 3 设函数 f x 在点 x 2 处连续 则 2 310 2 2 2 xx x x ax a 4 函数的间断点为 sin x f x x 5 函数的单调减区间为 2 2lnyxx 6 设函数 则 lntanyx dy 7 椭圆曲线 在相应的点处的切线方程为 cos sin xat ybt 4 t 得分 共共 1010 页页 第第 3 3 页页 三 求下列极限 每小题三 求下列极限 每小题 6 分分 共共 18 分 分 1 求极限 1 1sin1 lim 2 0 x x e xx 2 求极限 1 2 3 lim 6 x x x x 3 求极限 tan 11 lim 2 0 xxx x 得分 共共 1010 页页 第第 4 4 页页 四 计算下列导数或微分 每小题分四 计算下列导数或微分 每小题分 6 共共 18 分 分 1 设函数 求与 22 2 ln 1 xx yxee dy dx dy 2 设是由方程确定的隐函数 求 yf x 22 arctanln x xy y 2 2 d d y x 3 计算函数的一阶导数 1 x x y x 得分 共共 1010 页页 第第 5 5 页页 五 五 本题 本题 6 分 分 求函数的凹凸区间与拐点 3 2 5 2 yxx 六 六 本题 本题 6 分 分 设函数在上二阶可导 函数 试确定常数 f x 2 0 0 axbxcx g x f xx 的值 使得函数在点二阶可导 a b c g x0 x 得分 得分 共共 1010 页页 第第 6 6 页页 七 七 本题 本题 5 分 分 证明 当时 0 x 22 1ln 1 1xxxx 八 本题八 本题5 5分 分 设函数在上连续 在内可导 且 f x 0 3 0 3 试证 必存在一点 使得 0 1 2 3fff 3 1f 0 3 0f 得分 得分 共共 1010 页页 第第 7 7 页页 浙江农林大学浙江农林大学 20162016 20172017 学年第学年第 一一 学期期中考试学期期中考试 参考答案参考答案 一 一 单项选择题单项选择题 D B D D A C D 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 分 共分 共 21 分 分 1 1 2 2 3 7 4 0 1 2 kk 5 6 7 1 0 2 csc 2 x dx x 20aybxab 三 求下列极限 每小题三 求下列极限 每小题 6 分分 共共 18 分 分 1 求极限 1 1sin1 lim 2 0 x x e xx 解 原式 3 分 2 0 sin 2 lim x xx x 4 分 0 sin lim 2 x x x 6 分 1 2 2 求极限 1 2 3 lim 6 x x x x 解 原式 2 分 1 2 3 lim 1 6 x x x 5 分 631 3 62 3 lim 1 6 xx x x x 6 分 313 lim 622x x x ee 3 求极限 tan 11 lim 2 0 xxx x 解 原式 2 分 23 00 tantan limlim tan xx xxxx xxx 共共 1010 页页 第第 8 8 页页 4 分 22 22 00 sec11 cos limlim 33 xx xx xx 6 分 0 2cos sin1 lim 63 x xx x 四 计算下列导数或微分 每小题分四 计算下列导数或微分 每小题分 6 共共 18 分 分 1 设函数 求与 22 2 ln 1 xx yxee dy dx dy 解 4 分 2 2 2 1 x x e yx e 6 分 2 2 2 1 x x e dyxdx e 2 设是由方程确定的隐函数 求 yf x 22 arctanln x xy y 2 2 d d y x 解 方程两边同时对变量求导并化简可得 x 从而得到 2 分 yxyxyy yx y yx 上式继续对变量求导可得 4 分x 1yyxyy yyy 化简上式并带入可得 6 分 y 22 3 2 xy y yx 3 计算函数的一阶导数 1 x x y x 解 两边同时取对数得 2 分 lnln lnln 1 1 x yxxxx x 两边同时对求导得 5 分 x 111 lnln 1 ln 111 yx xxx yxxxx 从而得 6 分 11 ln ln ln 11111 xxx yyx xxxxx 五 五 本题 本题 6 分 分 求函数的凹凸区间与拐点 3 2 5 2 yxx 解 函数的定义域为 3 5 1 3 x y x 3 4 5 21 9 x y x 共共 1010 页页 第第 9 9 页页 不存在 2 分 1 0 2 xy 0 xy 3 111 0 0 0 222 0 13 2 22 x y y 4 分 可知函数在和上是凹的 在 3 2 5 2 yxx 3 2 5 yxx 1 0 2 0 内是凸的 拐点为 6 分 1 2 3 13 2 22 六 六 本题 本题 6 分 分 设函数在上二阶可导 函数 试确定常数 f x 2 0 0 axbxcx g x f xx 的值 使得函数在点二阶可导 a b c g x0 x 解 因为在点二阶可导 所以 在点一阶可导 连续 g x0 x g x0 x 由在点连续可得 从而 2 分 g x0 x 00 lim 0 0 lim 0 xx gfgc 0 cf 由在点可导可得 从而 g x0 x 2 0 0 0 0 0 lim 0 x axbxcf gfgb x 4 分 0 bf 从而可知 20 0 axbx g x fxx 又由在点二阶可导可得 g x0 x 0 2 0 0 0 0 lim2 0 x axbf gfga x 从而 6 分 2 0 af 共共 1010 页页 第第 1010 页页 七 七 本题 本题 5 分 分 证明 当时 0 x 22 1ln 1 1xxxx 证明 令 则 1 分 22 1ln 1 1f xxxxx 0 0f 因为 从而在时单调递增 3 分 2 ln 1 0fxxx f x0 x 从而 从而 5 分 0 0f xf 22 1ln 1 1xxxx 八 本题八 本题5 5分 分 设函数在上连续 在内可导 且 试 f x 0 3 0 3 0 1 2 3fff 3 1f 证 必存在一点 使得