高中数学 第一章 数列 3.1 等比数列(一)课件 北师大版必修5.ppt

第一章数列 3 1等比数列 一 1 通过实例 理解等比数列的概念并学会简单应用 2 掌握等比中项的概念并会应用 3 掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一等比数列的概念 观察下列4个数列 归纳它们的共同特点 1 2 4 8 16 答案 从第2项起 每项与它的前一项的比是同一个常数 1 1 1 1 1 1 1 1 梳理 等比数列的概念和特点 1 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的都等于常数 那么这个数列叫作等比数列 这个常数叫作等比数列的 通常用字母q表示 q 0 3 等比数列各项均为0 2 比 同一 公比 不能 知识点二等比中项的概念 思考 答案 在2 8之间插入一个数 使之成等比数列 这样的实数有几个 梳理 等差中项与等比中项的异同 对比如下表 等比 两 相反数 ab 0 知识点三等比数列的通项公式 思考 等差数列通项公式是如何推导的 你能类比推导首项为a1 公比为q的等比数列的通项公式吗 答案 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项 等比数列则可用累乘 根据等比数列的定义得 将上面n 1个等式的左 右两边分别相乘 当n 1时 上面的等式也成立 an a1qn 1 n n 梳理 等差数列 an 首项为a1 公比为q 则an a1qn 1 题型探究 解答 类型一证明等比数列 例1根据下面的框图 写出数列的前5项 并建立数列的递推公式 这个数列是等比数列吗 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义 即 q 与n无关的常数 跟踪训练1已知数列 an 的前n项和为sn 且sn an 1 n n 1 求a1 a2 解答 2 证明 数列 an 是等比数列 证明 类型二等比数列通项公式的应用 命题角度1方程思想例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 求它的第1项与第2项 解答 设这个等比数列的第1项是a1 公比是q 那么 反思与感悟 已知等比数列 an 的某两项的值 求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想 通过已知可以得到关于a1和q的两个方程 从而解出a1和q 再求其他项或通项 跟踪训练2在等比数列 an 中 1 已知a1 3 q 2 求a6 解答 由等比数列的通项公式得 a6 3 2 6 1 96 2 已知a3 20 a6 160 求an 解答 命题角度2等比数列的实际应用例3某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过一年剩余的这种物质是原来的84 这种物质的半衰期为多长 精确到1年 放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期 解答 设这种物质最初的质量是1 经过n年 剩余量是an 由条件可得 数列 an 是一个等比数列 其中a1 0 84 q 0 84 设an 0 5 则0 84n 0 5 两边取对数 得nlg0 84 lg0 5 用计算器算得n 4 答这种物质的半衰期大约为4年 反思与感悟 等比数列应用问题 在实际应用问题中较为常见 解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1 项数n所对应的实际含义 跟踪训练3某制糖厂2011年制糖5万吨 如果从2011年起 平均每年的产量比上一年增加20 那么到哪一年 该糖厂的年制糖量开始超过30万吨 保留到个位 lg6 0 778 lg1 2 0 079 解答 记该糖厂每年制糖产量依次为a1 a2 a3 an 则依题意可得a1 5 1 2 n 2且n n 从而an 5 1 2n 1 这里an 30 故1 2n 1 6 即n 1 log1 26 9 85 故n 11 答从2021年开始 该糖厂年制糖量开始超过30万吨 类型三等比中项 例4若1 a 3成等差数列 1 b 4成等比数列 则的值为 答案 解析 反思与感悟 1 任意两个实数都有唯一确定的等差中项 2 只有同号的两个实数才有实数等比中项 且一定有2个 答案 解析 当堂训练 由a4 a1q3 得q3 8 即q 2 所以a3 32 1 在等比数列 an 中 a1 8 a4 64 则a3等于a 16b 16或 16c 32d 32或 32 答案 解析 1 2 3 4 由等比数列的通项公式得 128 4 2n 1 2n 1 32 所以n 6 答案 解析 2 若等比数列的首项为4 末项为128 公比为2 则这个数列的项数为a 4b 8c 6d 32 1 2 3 4 3 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a7等于a 64b 81c