高考数学二轮复习 专题辅导与训练 5.2 点、直线、平面之间的位置关系教学课件.ppt

第二讲点 直线 平面之间的位置关系 主干知识 1 必记定理 1 线面平行与垂直的判定定理 性质定理 2 面面平行与垂直的判定定理 性质定理 2 重要转化 1 三种平行关系的转化 2 三种垂直关系的转化 3 易错提醒 1 忽视线面平行判定定理的条件 证明线面平行时 忽视 直线在平面外 直线在平面内 的条件 2 忽视线面垂直判定定理的条件 证明线面垂直时 忽视 平面内两条相交直线 这一条件 3 关注面面垂直的性质定理的条件 当题目涉及面面垂直的条件时 一般用此定理转化为线面垂直 应用时注意在面面垂直的前提下 过平面内一点 垂直于两平面交线的直线应在其中一个平面内 考题回顾 1 2014 嘉兴模拟 如图 梯形abcd中 ad bc abc 90 ad bc ab 2 3 4 e f分别是ab cd的中点 将四边形adfe沿直线ef进行翻折 给出下列结论 df bc bd fc 平面dbf 平面bfc 平面dcf 平面bfc 在翻折过程中 可能成立的结论是 a b c d 解析 选b 考虑 因为bc ad ad与df相交不垂直 所以bc与df不垂直 则 不成立 考虑 设点d在平面bcf上的射影为点p 当bp cf时就有bd fc 而ad bc ab 2 3 4可使条件满足 所以 正确 考虑 当点p落在bf上时 dp 平面bdf 从而平面bdf 平面bcf 所以 正确 考虑 因为点d的射影不可能在fc上 所以 不成立 2 2014 绍兴模拟 已知m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列说法正确的是 a 若m 则m b 若m 则m c 若m 则m d 若m m 则 解析 选b 选项a中m 则m 相交或m 选项c中若m 则m 或m 选项d中若m m 则 或相交 故选b 3 2014 辽宁高考 已知m n表示两条不同的直线 表示平面 下列说法正确的是 a 若m n 则m nb 若m n 则m nc 若m m n 则n d 若m m n 则n 解题提示 否定一个结论 只需举一个反例即可 解析 选b 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 直线aa1 ab1分别与平面cc1d1d平行 但是直线aa1 ab1相交 故选项a错误 根据线面垂直的定义 一条直线垂直于一个平面 则该直线垂直于平面内的任一条直线 可见选项b正确 直线aa1 平面abcd aa1 bc 但直线bc 平面abcd 故选项c错误 直线aa1 平面cc1d1d aa1 cd 但直线cd 平面cc1d1d 故选项d错误 4 2013 新课标全国卷 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 解析 选d 根据所给的已知条件作图 如图所示 由图可知 与 相交 且交线平行于l 故选d 热点考向一与空间位置关系有关的命题真假的判断 考情快报 典题1 1 2014 绍兴模拟 已知空间两条不同的直线m n和两个不同的平面 则下列命题中正确的是 a 若m n 则m nb 若 m m n 则n c 若m n 则m nd 若m m n 则m n 2 2014 长春模拟 给出下列关于互不相同的直线m l n和平面 的命题 若m l a 点a m 则l与m不共面 若m l是异面直线 l m 且n l n m 则n 若l m 则l m 若l m l m a l m 则 其中为假命题的是 a b c d 信息联想 1 看到线线平行或线面垂直 想到 2 看到命题 想到 看到命题 想到 看到命题 想到 看到命题 想到 线面平行或 垂直的判定与性质 空间两条直线的位置关系 线面平行的性质定理及线面垂直的判定定理 线面平行与面面平行的性质定理 线面平行的性质定理与面面平行的判定定理 规范解答 1 选d 选项a中 m与n也可能异面 选项b中 n与 的关系不确定 选项c中 m与n可能平行 也可能相交或异面 选项d由线面平行的性质可以确定是正确的 2 选d 对于命题 假设l与m共面 则直线l与m平行或相交 由于a a m 则点a和直线m确定平面 又直线l与m共面 则直线l与m确定平面 则直线m为平面 与平面 的交线 由于a l而l 所以a 可知 a m 这与a m矛盾 故假设不成立 故l与m不共面 命题 为真命题 对于命题 因为m 则在 平面 内存在直线m1 使得m m1 同理 在平面 内存在直线l1 使得l l1 由于直线m与直线l为异面直线 则m1与l1相交 因为n l且n m 所以n m1且n l1 由于m1 l1 所以n 命题 为真命题 对于命题 如l m 当 时 l m 但是直线l与m无交点 则直线l与m平行或异面 故命题 为假命题 对于命题 由面面平行的判定定理可知命题 正确 故选d 规律方法 判断与空间位置关系有关的命题真假的两大方法 1 借助空间线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 2 借助空间几何模型 如从长方体模型 四面体模型等模型中观察线面位置关系 结合有关定理 进行肯定或否定 变式训练 m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 有下列命题 若m n n 则m 若m n m n 则n 若 m n 则m n 若m n是异面直线 m n m 则n 其中正确的命题有 a b c d 解析 选b 如图所示的正方体中 设abcd为平面 m为ad n为bc 虽然m n n 但m和 不平行 错 若m n m n 则n和 内的某条直线平行 故n 正确 若 m n 则m和n必垂直 正确 设abcd为平面 dcc d 为平面 m为ab n为d c 则m n是异面直线 m n m 但n和 相交 故 错 选b 加固训练 设l是直线 是两个不同的平面 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 解析 选b 对于a 若l l 则 可能相交 故a错 对于b 若l 则平面 内必存在一条直线m与l平行 则m 又m 故 从而b正确 对于c 若 l 则l可能在平面 内 也可能与平面 平行 故c错 对于d 若 l 则l可能与 平行或l 或l与 相交 故d错 热点考向二证明平行关系 考情快报 典题2 已知直三棱柱abc a b c a a 平面abc bac 90 ab ac 点m n分别为a b和b c 的中点 证明 mn 平面a acc 信息联想 看到证明mn 平面a acc 想到 利用线面平 行的判定定理去证明mn和平面a acc 中一直线平行 或利 用面面平行的性质 过直线mn作一平面 证明该平面与平面 a acc 平行 规范解答 方法一 如图 连接ab ac 由已知 bac 90 ab ac 三棱柱abc a b c 为直三棱柱 点m为ab 的中点 又因为点n为b c 的中点 所以mn ac 又因为mn 平面a acc ac 平面a acc 所以mn 平面a acc 方法二 取a b 的中点p 连接mp np 因为m n分别为a b和b c 的中点 所以mp aa pn a c 所以mp 平面a acc pn 平面a acc 又mp np p 所以平面mpn 平面a acc 而mn 平面mpn 所以mn 平面a acc 规律方法 1 证明线线平行的常用方法 1 利用三角形中位线定理证明 即遇到中点时 常找中位线 利用该定理证明 2 利用平行四边形对边平行证明 即要证两线平行 以两线为对边构造平行四边形证明 3 利用平行公理证明 即要证两线平行 找第三线并证明其分别与要证两线平行即可 2 证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的判定定理 把证明线面平行转化为证明线线平行 2 利用面面平行的性质定理 把证明线面平行转化为证明面面平行 3 证明面面平行的方法证明面面平行 依据判定定理 只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可 从而将证明面面平行转化为证明线面平行 再转化为证明线线平行 变式训练 1 如图 在三棱锥s abc中 ab bc as ab 过点a作af sb 垂足为点f 点e g分别是棱sa sc的中点 求证 平面efg 平面abc 证明 因为as ab af sb 所以f是sb的中点 因为e f分别是sa sb的中点 所以ef ab 又因为ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 同理 fg 平面abc 又因为ef fg f ef fg 平面efg 所以平面efg 平面abc 2 2014 安徽高考 如图 四棱锥p abcd的底面是边长为8的正方形 四条侧棱长均为2 点g e f h分别是棱pb ab cd pc上共面的四点 平面gefh 平面abcd bc 平面gefh 1 证明 gh ef 2 若eb 2 求四边形gefh的面积 解题提示 1 由线面平行得出bc平行于直线ef gh 2 设bd交ef于点k 则点k为ob的中点 由面面垂直得出gk ef 再由梯形面积公式s 计算求解 解析 1 因为bc 平面gefh bc 平面pbc 且平面pbc 平面gefh gh 所以gh bc 同理可证ef bc 因此gh ef 2 连接ac bd交于点o bd交ef于点k 连接op gk 因为pa pc 点o是ac的中点 所以po ac 同理可得po bd 又bd ac o 且ac bd都在底面内 所以po 底面abcd 又因为平面gefh 平面abcd 且po 平面gefh 所以po 平面gefh 因为平面pbd 平面gefh gk 所以po gk 且gk 底面abcd 从而gk ef 所以gk是梯形gefh的高 由ab 8 eb 2得eb ab kb db 1 4 从而kb db ob 即点k是ob的中点 再由po gk得gk po 即点g是pb的中点 且gh bc 4 由已知可得ob 4 po 所以gk 3 故四边形gefh的面积s 加固训练 在如图所示的多面体abcde中 ab 平面acd de 平面acd 且ac ad cd de 2 ab 1 1 请在线段ce上找到点f的位置 使得恰有直线bf 平面acd 并证明 2 求多面体abcde的体积 解析 1 由已知ab 平面acd de 平面acd 所以ab ed 设点f为线段ce的中点 点h是线段cd的中点 连接fh ah 则fhed 所以fh ab 所以四边形abfh是平行四边形 所以bf ah 又因为bf 平面acd ah 平面acd 所以bf 平面acd 2 取ad中点g 连接cg 因为ab 平面acd 所以cg ab 又cg ad ab ad a 所以cg 平面abed 即cg为四棱锥c abed的高 求得cg 所以vc abed 热点考向三证明垂直关系 考情快报 高频考向多维探究 命题角度一利用线面垂直的性质证明线线垂直 典题3 2014 北京模拟 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为dd1 db的中点 1 求证 ef 平面abc1d1 2 求证 ef b1c 现场答案 纠错析因 找出以上现场答案的错误之处 分析错因 并给出正确答案 提示 以上解题过程中有两处错误 一是在第 1 问中证明线面平行时 由ef d1b 就直接得出ef 平面abc1d1 造成推理论证不严谨的错误 二是第 2 问中在用线面垂直的性质证明线线垂直时 关键点遗漏 导致推理不严密 规范解答 1 连接bd1 如图所示 在 dd1b中 点e f分别为dd1 db的中点 则ef d1b 因为d1b 平面abc1d1 ef 平面abc1d1 所以ef 平面abc1d1 2 因为abcd a1b1c1d1为正方体 所以ab 平面bcc1b1 所以b1c ab 又因为b1c bc1 ab 平面abc1d1 bc1 平面abc1d1 且ab bc1 b 所以b1c 平面abc1d1 又因为bd1 平面abc1d1 所以b1c bd1 又因为ef bd1 所以ef b1c 命题角度二证明线面垂直 面面垂直 典题4 如图 在四棱锥p abcd中 侧面pcd 底面abcd pd cd 底面abcd是直角梯形 ab cd adc 90 ab ad pd 1 cd 2 求证 平面pbc 平面pbd 信息联想 看到侧面pcd 底面abcd 想到 看到求证平面pbc 平面pbd 想到 面面垂直的性质 定理 面面垂直的判定定理 规范解答 在梯形abcd中 过点b作bh cd于h 在 bch中 bh ch 1 所以 bch 45 又在 dab中 ad ab 1 所以 adb 45 所以 bdc 45 所以 dbc 90 所以bc bd 因为平面pcd 平面abcd 平面pcd 平面abcd cd pd cd pd 平面pcd 所以pd 平面abcd 所以pd bc bd pd d bd 平面pbd pd 平面pbd 所以bc 平面pbd bc 平面pbc 所以平面pbc 平面pbd 互动探究 在本例的条件下 若e为pc的中点 试证明be 平面pad 解析 如图 取pd的中点f 连接ef af 因为点e f分别为 pcd边pc pd的中点 所以ef cd 所以ef ab 所以四边形fabe为平行四边形 所以be af af 平面pad be 平面pad 所以be 平面pad 规律方法 1 证明线线垂直的常用方法 1 利用特殊平面图形的性质 如利用直角三角形 矩形 菱形 等腰三角形等得到线线垂直 2 利用勾股定理逆定理 3 利用线面垂直的性质 即要证明线线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在平面即可 2 证明线面垂直的常用方法 1 利用线面垂直的判定定理 把线面垂直的判定转化为证明线线垂直 2 利用面面垂直的性质定理 把证明线面垂直转化为证明面面垂直 3 利用常见结论 如两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面等 3 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即证明一个面过另一个面的一条垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 变式训练 2014 宁波模拟 如图 四面体abcd中 点o e分别是bd bc的中点 ca cb cd bd 2 ab ad 1 求证 ao 平面bcd 2 求异面直线ab与cd所成角的余弦值 3 求点e到平面acd的距离 解析 1 因为bo do ab ad 所以ao bd 因为bo do bc cd 所以co bd 在 aoc中 由已知可得ao 1 co 而ac 2 所以ao2 co2 ac2 所以 aoc 90 即ao oc 因为bd oc o 所以ao 平面bcd 2 取ac的中点m 连接om me oe 由点o e分别是bd bc的中点知me ab oe dc 所以直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角 在 ome中 因为om是rt aoc斜边ac上的中线 所以om ac 1 所以cos oem 3 设点e到平面acd的距离为h 因为ve acd va cde 所以h s acd ao s cde 在 acd中 ca cd 2 ad 所以s acd 而ao 1 s cde 加固训练 2014 韶关模拟 如图 长方体abcd a1b1c1d1中 ad aa1 1 ab 2 点e是ab的中点 1 求三棱锥d1 dce的体积 2 求证d1e a1d 解析 1 由长方体性质可得 dd1 平面dce 所以dd1是三棱锥d1 dce的高 又点e是ab的中点 ad aa1 1 ab 2 所以de ce de2 ec2 cd2 所以 dec 90 三棱锥d1 dce的体积v 2 连接ad1 因为a1add1是正方形 所以ad1 a1d 又因为ae 平面add1a1 a1d 平面add1a1 所以ae a1d 又因为ad1 ae a 所以a1d 平面ad1e d1e 平面ad1e 所以d1e a1d 备选考向 平面图形的 折叠 与 翻折 问题 典题 2014 珠海模拟 如图 1 在等腰梯形cdef中 cb da是梯形的高 ae bf 2 ab 2 现将梯形沿cb da折起 使ef ab且ef 2ab 得一简单几何体abcdef 如图 2 已知m n p分别为af bd ef的中点 1 求证 mn 平面bcf 2 求证 ap de 证明 1 连接ac 因为四边形abcd是矩形 n为bd中点 所以n为ac中点 在 acf中 m为af中点 故mn cf 因为cf 平面bcf mn 平面bcf 所以mn 平面bcf 2 依题意知da ab da ae 且ab ae a 所以ad 平面abfe 因为ap 平面abfe 所以ap ad 因为p为ef中点 所以fp ab 2 结合ab ef 知四边形abfp是平行四边形 所以ap bf ap bf 2 而ae 2 pe 2 所以ap2 ae2 pe2 所以 eap 90 即ap ae 又因为ad ae a 所以ap 平面ade 因为de 平面ade 所以ap de 规律方法 解决折叠问题的关键点 1 搞清翻折前后哪些量改变 哪些量不变 抓住翻折前后不变的量 充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口 2 把平面图形翻折后 经过恰当连线就能得到三棱锥 四棱锥 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决 加固训练 如图1 在rt abc中 c 90 点d e分别为ac ab的中点 点f为线段cd上的一点 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如图2 1 求证 de 平面a1cb 2 求证 a1f be 3 线段a1b上是否存在点q 使a1c 平面deq 说明理由 解析 1 因为点d e分别是ac ab的中点 所以de bc 又因为de 平面a1cb bc 平面a1cb 所以de 平面a1cb 2 因为de bc ac bc 所以de ac 所以de a1d de cd 因为a1d cd d 所以de 平面a1dc 因为a1f 平面a1dc 所以de a1f 又因为a1f cd cd de d 所以a1f 平面bcde 因为be 平面bcde 所以a1f be 3 存在 取a1b的中点q a1c的中点p 连接dp pq qe 则pq bc 所以pq de 由 2 知de 平面a1dc 所以de a1c 所以pq a1c 因为a1d dc 所以 a1dc是等腰三角形 又因为点p为a1c的中点 所以a1c pd 因为pd pq p 所以a1c 平面pqed 即a1c 平面deq 转化与化归思想 解决立体几何中的探索性问题 思想诠释 求解立体几何中的探索性问题应用转化与化归思想的常见类型 1 探索平行或垂直关系 求解时 常假设其存在