2018届高考数学一轮复习第二章函数第一节函数及其表示学案文.docx

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)知识点一 函数与映射的概念 1函数的定义一般地，设A，B是两个_的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有_确定的数f(x)和它对应；那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作_2映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射答案1非空唯一yf(x)，xA12016年是闰年，假设月份的集合A，每月的天数构成集合B，f是月份与天数的对应关系，其对应如下：月份123456789101112天数312931303130313130313031对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？答案：是不是2给出下列各组函数：f(x)x，f(x)；f(x)x2，f(t)；f(x)|x|，f(x)；f(x)2lnx，f(x)lnx2.其中表示同一个函数的序号是_解析：中两个函数的定义域不同，不是同一个函数；中两个函数的对应关系不同，不是同一个函数；中的两个函数的对应关系和定义域都相同，是同一个函数；中两个函数的定义域不同，不是同一个函数答案：知识点二函数的三要素及表示方法 1函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_显然，值域是集合B的子集2函数的三要素：_、_、_.3表示函数的常用方法有：_、_、_.答案1定义域值域2定义域值域对应关系3解析法图象法列表法3(2016新课标全国卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lgx的定义域和值域相同的是()AyxBylgxCy2xDy解析：函数y10lgx的定义域为(0，)，又当x0时，y10lgxx，故函数的值域为(0，)只有D选项符合答案：D4(2016浙江卷)设函数f(x)x33x21.已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数a_，b_.解析：因为f(x)f(a)x33x2a33a2，(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2b，所以，解得a2，b1.答案：21知识点三分段函数 若函数在其定义域内，对于_的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数答案自变量5设f(x)则f(f(2)()A1 B. C. D.解析：f(2)，f(f(2)f1.答案：C6设函数f(x)若f(a)4，则实数a_.解析：当a0时，有a24，a2；当a0时，有a4，a4，因此a4或a2.答案：4或2热点一函数的概念 【例1】有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_【解析】对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.【答案】【总结反思】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).(1)下列四组函数中，表示同一函数的是()Ayx1与yBy与yCy4lgx与y2lgx2Dylgx2与ylg(2)下列所给图象是函数图象的个数为()A1 B2 C3 D4解析：(1)A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，答案选D.(2)中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.答案：(1)D(2)B热点二 函数的定义域 考向1给定函数的定义域问题【例2】(1)ylog2(4x2)的定义域是()A(2,0)(1,2) B(2,0(1,2)C(2,0)1,2) D2,01,2(2)函数f(x)(a0且a1)的定义域为_【解析】(1)要使函数有意义，必须x(2,0)1,2)(2)由00，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x1.2若将本例(2)的条件改为“f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f1”，如何求解？解：在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，将f1代入f(x)2f1中，可求得f(x).即函数f(x)的解析式为f(x)，x(0，).【总结反思】函数解析式的求法(1)待定系数法：适合已知函数的类型(如一次函数、二次函数)(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件将x换成或x构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.解析：当0x1时，f(x)x(1x)，当1x0时，0x11，f(x1)(x1)1(x1)x(x1)，而f(x)f(x1)x2x.当1x0时，f(x)x2x.答案：x2x热点四 分段函数 考向1分段函数求值【例5】(2016江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR，若ff，则f(5a)的值是_【解析】由题意可得ffa，ff|，则a，a，故f(5a)f(3)f(1)1.【答案】考向2研究分段函数的性质【例6】已知函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，)【解析】因为f()21，f()1, 所以f()f()，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(2，)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x0时，f(x)1，x0时，1f(x)1，所以函数f(x)的值域为1，)，故选D.【答案】D【总结反思】1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验2分段函数的方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.(1)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()A BC D(2)(2017郑州模拟)已知函数f(x)若f(a)f(a)0，则实数a的取值范围是()A1,1 B2,0C0,2 D2,2解析：(1)若a1，则2a123，整理得2a11，由于2x0，所以2a11无解；若a1，则log2(a1)3，解得a7，所以f(6a)f(1)222.(2)依题意可知或解得a2,2答案：(1)A(2)D1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2定义域优先原则函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行3函数解析式的几种常用求法待定系数法、换元法、配凑法、消去法4求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集新定义函数解法初探在高考中，新定义函数问题主要包括两类：一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力一、概念型概念型的新定义函数问题，主要以“新概念函数”为载体，利用新定义运算法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”，此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关性质的考查【例1】设xR，x表示不超过x的最大整数若存在实数t，使得t1，t22，tnn同时成立，则正整数n的最大值是()A3 B4C5 D6【解析】由题知，1t2，t，t，t，设t1x，x0,1)，则11x2,2(1x)23,3(1x)34,4(1x)45,5(1x)5236，矛盾，故n的最大值为4.结合选项可知，n的最大值较小，则采用特值法试图利用反证法求解是快速有效解题的关键【答案】B二、性质型函数的单调性是高考命题的重点和热点，命题者往往以函数单调性的多种等价变形为背景新定义一种函数，给出含有两个变量之间的一种不等关系解决此类问题的关键是利用函数的单调性求解【例2】如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”给出下列函数：yx3x1；y3x2(sinxcosx)；yex1；f(x)以上函数是“H函数”的是_(填上所有正确的序号)【解析】若函数f(x)为“H函数”，则有x1f(x1)x2f(x2