《数列的通项与求和重点难点解析》（2课时）+学习材料+2

新课程网校 WWW XKCWX COM 全力打造一流免费网校 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话 010 87029231 传真 010 89313603 第 1 页 共 9 页 数列的通项与求和重点难点解析数列的通项与求和重点难点解析 数列是函数概念的继续和延伸 数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的 函数 是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲 数列的问题 最终归结为对数列通项 的研究 而数列的前 n 项和 Sn可视为数列 Sn 的通项 通项及求和是数列中最基本也是最 重要的问题之一 与数列极限及数学归纳法有着密切的联系 是高考对数列问题考查中的 热点 本点的动态函数观点解决有关问题 为其提供行之有效的方法 难点磁场 设 an 是正数组成的数列 其前 n 项和为 Sn 并且对于所有的自然数 n an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项 1 写出数列 an 的前 3 项 2 求数列 an 的通项公式 写出推证过程 3 令 bn n N 求 b1 b2 b3 bn n 2 1 1 1 n n n n a a a a lim n 案例探究 例 1 已知数列 an 是公差为 d 的等差数列 数列 bn 是公比为 q 的 q R 且 q 1 的等比数列 若函数 f x x 1 2 且 a1 f d 1 a3 f d 1 b1 f q 1 b3 f q 1 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设数列 cn 的前 n 项和为 Sn 对一切 n N 都有 an 1成立 求 n n c c b c b c 2 1 1 1 lim n n n S S 2 12 命题意图 本题主要考查等差 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 数列的极限 以及运算能力和综合分析问题的能力 属 级题目 知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显 而 2 中条件等式 的左边可视为某数列前 n 项和 实质上是该数列前 n 项和与数列 an 的关系 借助通项与 前 n 项和的关系求解 cn是该条件转化的突破口 错解分析 本题两问环环相扣 1 问是基础 但解方程求基本量 a1 b1 d q 计算 不准易出错 2 问中对条件的正确认识和转化是关键 技巧与方法 本题 1 问运用函数思想转化为方程问题 思路较为自然 2 问 借鸡生 蛋 构造新数列 dn 运用和与通项的关系求出 dn 丝丝入扣 解 1 a1 f d 1 d 2 2 a3 f d 1 d2 a3 a1 d2 d 2 2 2d d 2 an a1 n 1 d 2 n 1 又 b1 f q 1 q2 b3 f q 1 q 2 2 q2 由 q R 且 q 1 得 q 2 2 2 1 3 2 q q b b bn b qn 1 4 2 n 1 2 令 dn 则 d1 d2 dn an 1 n N n n b c 新课程网校 WWW XKCWX COM 全力打造一流免费网校 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话 010 87029231 传真 010 89313603 第 2 页 共 9 页 dn an 1 an 2 2 即 cn 2 bn 8 2 n 1 Sn 1 2 n n n b c 3 8 2 lim 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 12 2 12 n n n n n n n n n S S S S 例 2 设 An为数列 an 的前 n 项和 An an 1 数列 bn 的通项公式为 bn 4n 3 2 3 1 求数列 an 的通项公式 2 把数列 an 与 bn 的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列 证明 数列 dn 的 通项公式为 dn 32n 1 3 设数列 dn 的第 n 项是数列 bn 中的第 r 项 Br为数列 bn 的前 r 项的和 Dn为数 列 dn 的前 n 项和 Tn Br Dn 求 lim n 4 n n a T 命题意图 本题考查数列的通项公式及前 n 项和公式及其相互关系 集合的相关概念 数列极限 以及逻辑推理能力 知识依托 利用项与和的关系求 an是本题的先决 2 问中探寻 an 与 bn 的相通之处 须借助于二项式定理 而 3 问中利用求和公式求和则是最基本的知识点 错解分析 待证通项 dn 32n 1与 an的共同点易被忽视而寸步难行 注意不到 r 与 n 的 关系 使 Tn中既含有 n 又含有 r 会使所求的极限模糊不清 技巧与方法 1 问中项与和的关系为常规方法 2 问中把 3 拆解为 4 1 再利用二 项式定理 寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔 3 问中挖掘出 n 与 r 的关系 正确 表示 Br 问题便可迎刃而解 解 1 由 An an 1 可知 An 1 an 1 1 2 3 2 3 an 1 an an 1 an 即 3 而 a1 A1 a1 1 得 a1 3 所以数列是以 3 2 3 n n a a 1 2 3 为首项 公比为 3 的等比数列 数列 an 的通项公式 an 3n 2 32n 1 3 32n 3 4 1 2n 3 42n C 42n 1 1 C 4 1 1 1 2n 12 2 n n 2n 4n 3 32n 1 bn 而数32n 4 1 2n 42n C 42n 1 1 C 4 1 1 1 2n 12 2 n n 2n 4k 1 32n bn 而数列 an a2n 1 a2n dn 32n 1 3 由 32n 1 4 r 3 可知 r 4 33 12 n Br 19 8 27 91 91 27 2 73 4 33 52 2 347 1212 nn n nn Drr rr 新课程网校 WWW XKCWX COM 全力打造一流免费网校 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话 010 87029231 传真 010 89313603 第 3 页 共 9 页 8 9 lim 3 4 3 3 8 11 3 8 9 19 8 27 8 21349 4 4424 1212 n n n n n nn n nn nrn a T a DBT 锦囊妙计 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂 要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性 又要注意数列方法的特殊性 2 数列 an 前 n 项和 Sn与通项 an的关系式 an 2 1 1 1 nSS nS nn 3 求通项常用方法 作新数列法 作等差数列与等比数列 累差叠加法 最基本形式是 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 归纳 猜想法 4 数列前 n 项和常用求法 重要公式 1 2 n n n 1 2 1 12 22 n2 n n 1 2n 1 6 1 13 23 n3 1 2 n 2 n2 n 1 2 4 1 等差数列中 Sm n Sm Sn mnd 等比数列中 Sm n Sn qnSm Sm qmSn 裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和 即 an f n 1 f n 然后累加时 抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 等 1 1 1 1 1 CCC ctg2ctg 2sin 1 1 1 11 1 1 11 nnn nnnn nnnn r n r n n n 错项相消法 并项求和法 数列通项与和的方法多种多样 要视具体情形选用合适方法 歼灭难点训练 一 填空题 1 设 zn n n N 记 2 1i Sn z2 z1 z3 z2 zn 1 zn 则Sn lim n 2 作边长为 a 的正三角形的内切圆 在这个圆内作新的内接正三角形 在 新的正三角形内再作内切圆 如此继续下去 所有这些圆的周长之和及面积之和分别为 新课程网校 WWW XKCWX COM 全力打造一流免费网校 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话 010 87029231 传真 010 89313603 第 4 页 共 9 页 二 解答题 3 数列 an 满足 a1 2 对于任意的 n N 都有 an 0 且 n 1 an2 an an 1 nan 12 0 又知数列 bn 的通项为 bn 2n 1 1 1 求数列 an 的通项 an及它的前 n 项和 Sn 2 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 3 猜想 Sn与 Tn的大小关系 并说明理由 4 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足 an 2 2an 1 an n N 1 求数列 an 的通项公式 2 设 Sn a1 a2 an 求 Sn 3 设 bn n N Tn b1 b2 bn n N 是否存在最大的整数 m 使得对 12 1 n an 任意 n N 均有 Tn 成立 若存在 求出 m 的值 若不存在 说明理由 32 m 5 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn m 1 man 对任意正整数 n 都成立 其中 m 为常数 且 m 1 1 求证 an 是等比数列 2 设数列 an 的公比 q f m 数列 bn 满足 b1 a1 bn f bn 1 n 2 n N 试问当 m 3 1 为何值时 成立 3 lim lg lim 13221nn n nn n bbbbbbab 6 已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b10 145 1 求数列 bn 的通项 bn 2 设数列 an 的通项 an loga 1 其中 a 0 且 a 1 记 Sn是数列 an 的前 n 项和 n b 1 试比较 Sn与logabn 1的大小 并证明你的结论 3 1 7 设数列 an 的首项 a1 1 前 n 项和 Sn满足关系式 3tSn 2t 3 Sn 1 3t t 0 n 2 3 4 1 求证 数列 an 是等比数列 2 设数列 an 的公比为 f t 作数列 bn 使 b1 1 bn f n 2 3 4 求数列 bn 1 1 n b 的通项 bn 3 求和 b1b2 b2b3 b3b4 b2n 1b2n b2nb2n 1 参考答案 难点磁场 解析 1 由题意 当 n 1 时 有 S1 a1 1 1 2 2 2 S a 解得 a1 2 当 n 2 时 有 S2 a1 a2 将 a1 2 代入 1 1 2 2 2 a a 2 2 2 2 2 S a 整理得 a2 2 2 16 由 a2 0 解得 a2 6 当 n 3 时 有 S3 a1 a2 a3 将 3 3 2 2 2 S a 新课程网校 WWW XKCWX COM 全力打造一流免费网校 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话 010 87029231 传真 010 89313603 第 5 页 共 9 页 a1 2 a2 6 代入 整理得 a3 2 2 64 由 a3 0 解得 a3 10 故该数列的前 3 项为 2 6 10 2 解法一 由 1 猜想数列 an 有通项公式 an 4n 2 下面用数学归纳法证明 an 的 通项公式是 an 4n 2 n N 当 n 1 时 因为 4 1 2 2 又在 1 中已求出 a1 2 所以上述结论成立 假设当 n k 时 结论成立 即有 ak 4k 2 由题意 有 将 k k S a 2 2 2 ak 4k 2 代入上式 解得 2k 得 Sk 2k2 由题意 有 k S2 1 1 2 2 2 k k S a Sk 1 Sk ak 1 将 Sk 2k2代入得 2 2 ak 1 2k2 整理得 ak 12 4ak 1 4 16k2 0 由 2 2 1 k a ak 1 0 解得 ak 1 2 4k 所以 ak 1 2 4k 4 k 1 2 即当 n k 1 时 上述结论成立 根据 上述结论对所有的自然数 n N 成立 解法二 由题意知 n N 整理得 Sn an 2 2 由此得 n n S a 2 2 2 8 1 Sn 1 an 1 2 2 an 1 Sn 1 Sn an 1 2 2 an 2 2 整理得 an 1 an an 1 an 4 8 1 8 1 0 由题意知 an 1 an 0 an 1 an 4 即数列 an 为等差数列 其中 a1 2 公差 d 4 an a1 n 1 d 2 4 n 1 即通项公式为 an 4n 2 解法三 由已知得 n N 所以有 由 式得 n n S a 2 2 2 1 1 2 2 2 n n S a 整理得 Sn 1 2 2 Sn 0 解得 1 1 2 2 2 n nn S SS 2 1 n S nn SS 2 1 由于数列 an 为正项数列 而 因而 即2 2 11 nn SSS nn SS 2 1 Sn 是以为首项 以为公差的等差数列 所以 n 1 2 1 S2 n S2 n Sn 2n2 22 故 an 即 an 4n 2 n N 2 24 1 2 1 nnSS n nn 3 令 cn bn 1 则 cn 2 2 1 1 1 n n n n a a a a 1 12 1 1 lim lim 12 1 1 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 12 1 12 1 1 12 12 1 12 12 2 1 21 2121 n nbbb nnn cccnbbb nnn n n n n n n nn 歼灭难点训练 新课程网校 WWW XKCWX COM 全力打造一流免费网校 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话 010 87029231 传真 010 89313603 第 6 页 共 9 页 一 2 2 2 1 2 1 1 11 1 nnn nnn ii zzc设解析 22 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 21 nn nn cccS 2 2 1 2 22 22 1 lim n n S 答案 1 2 2 2 解析 由题意所有正三角形的边长构成等比数列 an 可得 an 正三角形的内 1 2 n a 切圆构成等比数列 rn 可得 rn a 1 2 1 6 3 n 这些圆的周长之和 c 2 r1 r2 rn a2 lim n2 33 面积之和 S n2 r22 rn2 a2 lim n9 答案 周长之和 a 面积之和a2 2 33 9 二 3 解 1 可解得 从而 an 2n 有 Sn n2 n 1 1 n n a a n n 2 Tn 2n n 1 3 Tn Sn 2n n2 1 验证可知 n 1 时 T1 S1 n 2 时 T2 S2 n 3 时 T3 S3 n 4 时 T4 S4 n 5 时 T5 S5 n 6 时 T6 S6 猜想当 n 5 时 Tn Sn 即 2n n2 1 可用数学归纳法证明 略 4 解 1 由 an 2 2an 1 anan 2 an 1 an 1 an可知 an 成等差数列 d 2 an 10 2n 14 14 aa 2 由 an 10 2n 0 可得 n 5 当 n 5 时 Sn n2 9n 当 n 5 时 Sn n2 9n 40 故 Sn 5 409 51 9 2 2 nnn nnn 3 bn 1 11 2 1 22 1 12 1 nnnnan n 要使 Tn 1 2 1 11 3 1 2 1 2 1 1 2 1 21 n n nn bbbT nn 总成立 需 T1 成立 即 m 8 且 m Z 故适合条件的 m 的最大值为 7 32 m 32 m 4 1 5 解 1 由已知 Sn 1 m 1 man 1 Sn m 1 man 由 得 新课程网校 WWW XKCWX COM 全力打造一流免费网校 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话 010 87029231 传真 010 89313603 第 7 页 共 9 页 an 1 man man 1 即 m 1 an 1 man对任意正整数 n 都成立 m 为常数 且 m 1 即 为等比数列 1 1 m m a a n n 1 n n a a 2 当 n 1 时 a1 m 1 ma1 a1 1 从而 b1 3 1 由 1 知 q f m bn f bn 1 n N 且 n 2 1 m m 1 1 1 n n b b 即 为等差数列 3 n 1 n 2 1 1 1 1 nn bb 1 11 1 nn bb n b 1 n b 1 n N 2 1 n bn 9 10 10 1 1 1 lg 1 2 1 1 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 lim 3 lim 1 lg 1 lg 2 1 lim lg lim 1 13221 1 m m m m m nn bbbbbb m m m m n n ab m m a n nn n n nn n n n 由题意知 而 6 解 1 设数列 bn 的公差为 d 由题意得 解得 b1 1 d 3 145 2 110 10 10 1 1 1 db b bn 3n 2 2 由 bn 3n 2 知 Sn loga 1 1 loga 1 loga 1 4 1 23 1 n loga 1 1 1 1 logabn 1 loga 4 1 23 1 n3 1 3 13 n 因此要比较 Sn与logabn 1的大小 可先比较 1 1 1 1 与的大 3 1 4 1 23 1 n 3 13 n 小 取 n 1 时 有 1 1 3 113 取 n 2 时 有 1 1 1 4 1 3 123 由此推测 1 1 1 1 4 1 23 1 n 3 13 n 若 式成立 则由对数函数性质可判定 当 a 1 时 Sn logabn 1 3 1 当 0 a 1 时 Sn logabn 1 3 1 新课程网校 WWW XKCWX COM 全力打造一流免费网校 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话 010 87029231 传真 010 89313603 第 8 页 共 9 页 下面用数学归纳法证明 式 当 n 1 时 已验证 式成立 假设当 n k 时 k 1 式成立 即 那么当 n k 1 时 3 13 23 1 1 4 1 1 11 k k 3 3 3 3 2 2 22 332 3 3 3 1 1 3