初二数学第八讲全等三角形的性质及判定(二)(教案)

初二数学第八讲全等三角形的性质及判定(二)(教案) 第08讲全等三角形的性质及判定（二）适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国-人教版课时时长（分钟）120分钟知识点1.全等三角形的应用2.全等三角形的判定与性质教学目标1.深刻理解“全等”的含义；2.熟悉组成全等三角形的基本图形，并能在复杂的图形中发现分解出这些基本图形；3.恰当选择判定三角形全等的方法；4.掌握证明三角形全等的几个要领。 教学重点熟悉全等三角形证明中的中点问题、旋转及截长补短的运用教学难点证明全等三角形的中点问题、旋转及截长补短的识别教学过程 一、复习预习1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗？如果可以，聪明的你能告诉我为什么吗？用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？【答案】解法军能命中目标理由易知AB=PO，A=P，又ABBO，POBQ，ABO=POQ=90，在ABO和POQ中，90A PABPOABO POQ?，ABOPOQ（ASA），BO=OQ，因此，按照BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处；如果拿破仑站在O处，只需转过身来仍可用帽舌边缘视线法测出河岸两边的距离【解析】根据拿破仑的身高不变可得AB=PO，视线方向不变可得A=P，然后利用“角边角”证明ABO和POQ全等，根据全等三角形对应边相等可得BO=OQ，从而得到能够使炮弹落入德军Q处；同理，转过身来仍然可以测量 二、知识讲解三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与的结论联系起来应用三角形全等的判别方法注意以下几点1.条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等2.条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件解这类问题的基本思路是执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案3.条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理证明两个三角形全等时，若边或角的关系不明显，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等常见的隐藏条件有公共边，公共角，对顶角；线段的相加减；角度的互余，互补，三角形的外角等于与它不相邻的内角和。 4.条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法不能直接证明一对三角形全等时，一般需要作辅助线来构造全等三角形考点/易错点1常见的几种辅助线添加遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目 三、例题精析【例题1】【题干】如图，CB，CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB求证CE=2CD【答案】证明如图，延长CD至点F，使DF=CD，连接BF在ADC和BDF中，AD BDADCBDFCD FD?，ADCBDF（SAS），AC=BF，1=A由AC=AB得ACB=23=A+ACB，3=CBF再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，在CBE和CBF中，3BE BFCBFBCBC?，CBECBF，CE=CF，即CE=2CD【解析】在三角形全等的证明中，我们常会遇到证明某条线段的长度等于另一条线段长度的两倍或者二分之一等，还会遇到两条线段和与另一条线段的不等关系。 如果题目中有中点这个已知条件，运用倍长中线法，可达到事半功倍的效果。 【变式1】在ABC中，AD为BC边上的中线求证AB+AC2AD【答案】延长AD至E，使DE=AD，连接CEAD是BC边上中线，BD=DC。 ADB=CDE，在ABD和ECD中，BD DCADBCDEAD DE?，ABDECD（SAS）AB=EC在ACE中，AC+ECAE=2AD，AB+AC2AD【解析】条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形【变式2】如图，分别以ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点求证MABC【答案】设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN则由FMNHMA可得FN=AH=AC，FN/AH，AFN+FAH=180BAC+FAH=180，AFN=BAC又AF=AB，AFNBAC，得1=21+3=90，2+3=90，ADB=90从而得出MABC【解析】M为FH的中点是本题的突破口，通过延长过中点的线段构造全等三角形。 【变式3】如图，在ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证BF=CG【答案】证明如图，延长FE至点H，使EH=FE，连接CH易证CEHBEFCH=BF，H=1EG/AD，1=2，3=G又2=3，1=GH=G综上，CH=CGBF=CG【解析】通过构造过中点的全等三角形，实现等量线段位置变换，用中间量替换证线段等。 【变式4】已知如图，在ABC中，A=90，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，EDDF，连接EF，求证线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形。 【答案】证明延长FD到G使GD=DF，连接BG，EG，D为BC中点，BD=DC，在BDG和CDF中，BD DCFDCBDGDG DF?，BDGCDF（SAS），BG=FC，C=GBD，EDDF，EG=EF，A=90，ABC+C=90，ABC+GBD=90，即EBG=90，线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形。 BG=FC，EG=EF，线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形A23G BE DC F1H【解析】延长FD到G使GD=DF，连接BG，EG，证BDGCDF，推出BG=FC，C=GBD，求出EBG=90即可。 【例题2】【题干】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，求证AE=CG【答案】证明四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，DE=DG，AD=CD，又ADE=EDGADG=90ADG，同理CDG=90ADG，ADE=CDG，在ADE和CDG中，ED GDEDAGDCAD CD?，ADECDG（SAS），AE=CG【解析】ADE可看作CDG绕点D顺时针旋转90得到的，根据图形中的两个正方形，及旋转找全等的条件，可证AE=CG【变式1】如图，ABE和ACD有公共点A，BAC=DAE=90，AB=AC，AE=AD，延长BE分别交AC、CD于点M、F求证 （1）ABEACD； （2）BFCD【答案】证明 （1）BAC=DAE=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE和ACD中，13AE ADABAD?，ABEACD（SAS）； （2）ABEACD，B=C，B+4=90，又4=5，C+5=90，MFC=90，BFCD【解析】 （1）首先根据同角的余角相等可得1=3，再加上条件AB=AC，AE=AD可利用SAS定理证明ABEACD； （2）根据ABEACD可得B=C，再根据B+4=90，4=5，可得C+5=90，进而得到MFC=90，即BFCD【变式2】如图，以ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O （1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由； （2）求出BD和CE的夹角大小，若改变ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由【答案】 （1）EC=BD，理由为ABE和ACD都为等边三角形，EAB=DAC=60，AE=AB，AD=AC，EAB+BAC=DAC+BAC，即EAC=BAD，在AEC和ABD中，AE ABEACBADAC AD?，AECABD（SAS），EC=BD； （2）BD和CE的夹角大小为60，若改变ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为ADC为等边三角形，ADC=ACD=60，AECABD，ACE=ADB，EOD为COD的外角，EOD=ODC+OCD=ODC+ACD+ACE=ODC+ADB+ACD=ADC+ACD=120，即DOC=60，则BD和CE的夹角大小为60【解析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键【变式3】已知，如图，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证BAP+BCP=180。 21ADBCPN21EADBCPN【答案】证明过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图1=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，?BP BPPDPE，RtBPERtBPD(HL)，BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中，PE PDPEAPDCAE DC?，RtAPERtCPD(SAS)，PAE=PCD，又BAP+PAE=180，BAP+BCP=180【解析】利用对角互补，常用旋转的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键【变式4】用两个全等的正方形ABCD和DCEF拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按顺时针方向旋转探究当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？证明你的结论【答案】解BG=EH理由如下正方形ABCD和DCEF全等，CD=DF，BCD=DFE=90即GCD=HFD=90，又KDJ=90，GDC=HDF，在DCG与DFH中，GCD HFDCDDFGDC HDF?，DCGDFH（ASA），CG=FH，BCGC=EFFH，即BG=EH【解析】通过全等三角形DCGDFH的对应边相等证得CG=FH，则易证BG=EH【例题3】【题干】已知如图，在ABC中，C2B，12。 求证AB=AC+CD.21DABC【答案】解法1（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中，12B EADAD?ABDAED（AAS），AB=AE。 又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.21EDABC解法2（截长法）在AB上截取AF=AC，在AFD与ACD中，12AF ACADAD?，AFDACD（SAS），DF=DC，AFDACD。 又ACB2B，FDBB，FD=FB。 AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.【解析】这道题是全等三角形证明中很重要的一类题用截长补短法证明三角形全等。 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种 （1）通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和（AC+CD），再证所构造的线段与求证中的那一条线段相等。 （2）通过添加辅助线，先在求证中长线段上截取与短线段中的一段相等的线段，再证明截剩的部分与短线段中的另一段相等。 【变式1】四边形ABCD中，BE平分ABC交CD于E，且DE=CE，AB=AD+BC，求证ADBC。 ECA DBECFA DB【答案】在AB上取一点F，使BF=BC，连接EF。 在BFE和BCE中，BF BCFBECBEBE BE?，BFEBCE（SAS），EF=EC，又DE=EC，EF=EC=DE。 AB=AD+BC，AB=AF+FB，AF=AD。 在AFE和ADE中，AF ADFEDEAE AE?，AFEADE（SSS），D=AFC。 又BFEBCE，C=BFE。 AFC+BFE=180，D+C=180，ADBC【解析】题中AB=AD+BC的条件是突破口，利用截长法及角平分线定义构造全等三角形。 21FDABC【变式2】将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B?的位置，AB?与CD交于点E （1）试找出一个与AED全等的三角形，并加以证明； （2）若83AB DEP?，为线段AC上任意一点，PG AE?于G，PH EC?于H并求PG PH?的值【答案】 （1）AEDCEB。 证明四边形ABCD为矩形，BC=BC=AD，B=B=D=90，又BEC=DEA，AEDCEB （2）由已知得EAC=CAB且CAB=ECA，EAC=ECA。 AE=EC=8-3=5，在ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PMAB。 PG=PM，PG+PH=PM+PH=HM=AD=4。 【解析】通过添加辅助线，利用折叠的性质，构造全等三角形。 【变式3】已知如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，且AB=BF，连接DF求证DE=BE+CF【答案】证明过点F作FNDE于点N，DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，FNDE，FBAB，易证FBEFNE，FN=FB，A BC DP GH EB在RtFEN和RtFEB中，FE FEFNFB?，RtFENRtFEB（HL），NE=BE，在RtFDN和RtDFC中，FD DFFNFB?，RtFDNRtDFC（HL），FC=DN，DE=NE+DN=BE+CF【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，作出FNDE进而利用全等得出对应边相等是解题关键【变式4】已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM求证AE=BC+CEEMB CAD GEFBMCAD【答案】取BC的中点F，作FGAE于E，连接AF，EF。 在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，B=C=D=90?。 又DM=BF=12ABABFADM（SAS），DAM=BAF。 BAE=2DAM，BAF=GAF，又B=AGF=90?，AF=AF，ABFAGF（AAS），AG=AB=BC，FG=BF=CFEGF=C=90?，EF=EF，EGFECF（HL），GE=CE，AE=AG+GE=BC+CE【解析】首先取BC的中点F，连接AF，过点F作FHAE于H，连接EF，由四边形ABCD是正方形，M是CD的中点，易证得ABFADM，又由BAE=2DAM，即可得AF是BAE的角平分线，易得AH=AB，BF=HF，又可证得RtCFERtHFE，即可得EH=CE，继而可证得AE=AB+CE 四、课堂运用【基础】11如图RtABC中，BAC=90，AB=AC，D为AC的中点，AEBD交BC于E，若BDE=a，ADB的大小是（）EDCAB GMEDCAB Aa B90a C902a?D45+2a【答案】C【解析】作AMBC于M，AM交BD于G，在AGB和CEA中，GAB=ECA=45，AB=AC，AGB=90+GBM=AECAGBCEA，AG=CE又AD=CD，DAG=DCE，ADGCDE，ADG=CDE，ADG=?11802BDE?=902a?。 2.如图，已知D为ABC边BC的中点，DEDF，则BE+CF（）A大于EF B小于EF C等于EF D与EF的大小关系无法确定【答案】A【解析】延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG，BD=CD，BDE=CDG，可证得BEDCGD，CG=BE，DEDF，DG=ED，EF=FG，在FCG中，FC+CGFG，BE+CFEF3.如图，在等腰RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G求证BDCGG EFHBCAD【答案】证明在RtAEC与RtCFB中，ACCB，AECD于E，BFC交CD的延长线于F，AECCFB90，又ACB90，CAE90ACEBCF。 RtAECRtCFB，CEBF，在RtBFD与RtCEG中，FGEC90，CEBF，由FBD90FDB90CDHECG，RtBFDRtCEG，BDCG【解析】由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证CGEBDF。 由于全等条件不充分，可先证AECCFB。 4.在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上一点，且FAE=EAD，求证EFAE【答案】证明延长AE交BC的延长线于点G四边形ABCD是正方形，ADCG，D=BCD=DCG，DAE=G。 FAE=EAD，FAE=G，AF=FG，E是DC的中点，DE=EC，AED=GEC，D=ECG=90，ADEGCE（ASA），AE=EG，EFAE【解析】见到中点要倍长过中点的线段，构造全等三角形。 5.如图，在ABC中，ADBC于D，BADCAD。 求证ABAC。 DB CAE DBCA【答案】证明在DB上截取DEDC，连接AE。 ADCADE（SAS）。 ACAE，CAED。 AEDB，CB。 从而ABAC。 【解析】除构造全等三角形外，还考察了在三角形中大角对大边。 66（xx?通州区一模）如图，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，求证ABDACE【答案】证明BAC=DAE，BAC+CAD=DAE+CAD，即EAC=DAB，在AEC和ADB中，AD AEDABEACAB AC?，AECADB（SAS）【解析】先求出EAC=DAB，再利用“边角边”证明即可【巩固】1.如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任意一点。 求证AB AC?PB PC?。 【答案】解法1如图，在AB上截取AN AC?，连接PN在APN?与APC?中，12AN ACAPAP?，?APN APC?(SAS)，?PN PC?在BPN?中，PB PNBN?，?PB PCAB AC，即ABACPBPC。 解法2如图，延长AC至M，使AM AB?，连接PM在ABP?与AMP?中，12AB AMAPAP?，?ABP AMP?(SAS)，?PB PM?在PCM?中，CM PMPC?，?AB ACPB PC?。 【解析】欲证AB ACPB PC?，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。 由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC?。 而构造AB AC?可以采用“截长”和“补短”两种方法。 2.如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180连接AD判断AD是否平分CDE，并说明理由【答案】AD平分CDE证明AB=AE，ABC+AED=180把ABC旋转BAE的度数后BC和EC重合，且ABC=AEC，BC=ECABCAEC，AC=AC，又BC+DE=CD，BC=EC，CD=DC，在ACD和ADC中，AC ACADADCD DC?，ACDADC，CDA=ADC，AD平分CDE【解析】要求证AD为CDE的角平分线，可以利用全等三角形证明，这样就把关于角的证明转化为线段截长补短的问题，继而利用题中的已知条件构造全等三角形。 3.如图，BAC=DAE=90，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证AMCDMEDCBA FNOHABCDEM【答案】如图，设AM交DC于H，要证明AMCD，实际上就是证明AHD=90，而条件BM ME?不好运用，我们可以倍长中线AM到F，连接BF交AD于点N，交CD于点O容易证明AME FMB?，则AEFB?，EAF F?，从而AE FB，90ANF?，而90CAD DAB?，90DAB ABN?，故CAD ABN?，从而CAD ABF?，故D F?，而90D DONFOH F?，故90AHD?，亦即AM CD?【解析】利用M是BE的中点的条件寻找突破口，构造全等三角形时解题关键。 【拔高】1.如图，已知AB=AC，直线m经过点A，点D、E是直线m上两个动点，连接BD、CE （1）如图1，若BAC=90，BDDE，CEDE求证DE=BD+CE （2）如图2，若BAC=BDA=AEC，则 （1）中的结论DE=BD+CE还成立吗？【答案】解 （1）BAC=90，BAD+CAE=90。 BDAD，BDA=90，BAD+ABD=90，DBA=CAE；CEDE，CEA=90，ADB=CEA在ADB和CEA中，DBA CAEADBCEAAB AC?，ADBCEA（AAS），AD=CE，BD=AEDE=DA+AE，DE=BD+CE； （2） （1）中的结论DE=BD+CE仍然成立理由DAB+BAC+CAE=180，CAE+ACE+AEC=180，DAB+BAC+CAE=CAE+ACE+AECBAC=AEC，DAB=ACE在ADB和CEA中，DAB ECAADBCEAAB AC?，ADBCEA（AAS），AD=CE，BD=AEDE=DA+AE，DE=BD+CE；【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键2.阅读理解课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题如图1，ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180得到EBD），把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三边关系可得2AE8，则1AD4感悟解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中 （1）问题解决受到 （1）的启发，请你证明下面命题如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF求证BE+CFEF； （2）问题拓展如图3，在四边形ABDC中，B+C=180，DB=DC，BDC=120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明【答案】延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG（或把CFD绕点D逆时针旋转180得到BGD），CF=BG，DF=DG，DEDF，EF=EG在BEG中，BE+BGEG，即BE+CFEF （2）将DCF绕点D逆时针旋转120得到DBGC+ABD=180，4=C，4+ABD=180，点E、B、G在同一直线上3=1，BDC=120，EDF=60，1+2=60，故2+3=60，即EDG=60。 EDF=EDG=60，DE=DE，DF=DG，DEGDEF，EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF【解析】按阅读理解中的方法构造全等，利用旋转构造BD和CD所在的三角形全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解课程小结1.倍长过中点线段构造全等三角形2.利用旋转的性质构造全等三角形3.用“截长补短”法构造全等三角形课后作业【基础】1.如图，在ABC中ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A1B2C3D4【答案】A【解析】在ABC中，ADBC，CEAB，AEH=ADB=90；EAH+AHE=90，DHC+BCH=90，EHA=DHC，EAH=DCH；在BCE和HAE中，3BEC HEABCEHAEBE HE?，AEHCEB（AAS）；AE=CE；EH=EB=3，AE=4，CH=CEEH=AEEH=43=12.如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，求证DE=BD+CE。 【答案】BAC=90，BDDE，CEDE，BDE=CED=90，ABD+BAD=90，CAE+BAD=90。 CAE=ABD，又AB=AC，ABDCAE（AAS），BD=AE，AD=CE，BD+CE=AD+AE=DE。 【解析】利用全等三角形实现等量线段位置的改变。 3.如图，ABCF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD=ECDBA【答案】4.【解析】ABFC，ADE=EFC，E是DF中点，DE=EF，在ADE与CFE中，ADE EFCDEEFAED CEF?ADECFE，AD=CF，AB=10，CF=6，BD=ABAD=106=44.在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，求证BD=CE。 【答案】1=2，1+CAD=2+CAD，即BAD=CAE，在ABD与ACE中，AB ACBADCAEAD AE?,ABDACE（SAS），BD=CE【解析】这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边。 5.如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DFDE，连结FC求证FAFEDB CA【答案】证明ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDF，BDECDF，BEDFFA【解析】证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A、F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EFAC，因此把A通过同位角转到BDE中的BED，只要证EBDFCD即可6.已知如图，梯形ABCD中，AD BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F求证BCE FDE?DFEC BA【答案】点E是DC中点，DE=CE，又ADBC，F在AD延长线上，DFE=CBE，FDB=BCE，在BCE与FDE