高考数学二轮复习 专题六 第3讲 圆锥曲线中的热点问题配套课件 理.ppt

专题六解析几何 第3讲圆锥曲线中的热点问题 主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题 3 主干知识梳理 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与椭圆的位置关系的判定方法 将直线方程与椭圆方程联立 消去一个未知数 得到一个一元二次方程 若 0 则直线与椭圆相交 若 0 则直线与椭圆相切 若 0 则直线与椭圆相离 2 直线与双曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与双曲线方程联立 消去y 或x 得到一个一元方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 若a 0 当 0时 直线与双曲线相交 当 0时 直线与双曲线相切 当 0时 直线与双曲线相离 若a 0时 直线与渐近线平行 与双曲线有一个交点 3 直线与抛物线的位置关系的判定方法 将直线方程与抛物线方程联立 消去y 或x 得到一个一元方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 当a 0时 用 判定 方法同上 当a 0时 直线与抛物线的对称轴平行 只有一个交点 2 当斜率k不存在时 可求出交点坐标 直接运算 利用两点间距离公式 3 弦的中点问题有关弦的中点问题 应灵活运用 点差法 设而不求法 来简化运算 4 轨迹方程问题 1 求轨迹方程的基本步骤 建立适当的平面直角坐标系 设出轨迹上任一点的坐标 解析法 坐标法 寻找动点与已知点满足的关系式 几何关系 将动点与已知点的坐标代入 几何关系代数化 化简整理方程 简化 证明所得方程为所求的轨迹方程 完成其充要性 2 求轨迹方程的常用方法 直接法 将几何关系直接翻译成代数方程 定义法 满足的条件恰适合某已知曲线的定义 用待定系数法求方程 代入法 把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系 交轨法 写出两条动直线的方程直接消参 求得两条动直线交点的轨迹 3 注意 建系要符合最优化原则 求轨迹与 求轨迹方程 不同 轨迹通常指的是图形 而轨迹方程则是代数表达式 步骤 省略后 验证时常用途径 化简是否同解变形 是否满足题意 验证特殊点是否成立等 热点一圆锥曲线中的范围 最值问题 热点二圆锥曲线中的定值 定点问题 热点三圆锥曲线中的探索性问题 热点分类突破 热点一圆锥曲线中的范围 最值问题 1 求椭圆c1的方程 思维启迪p点是椭圆上顶点 圆c2的直径等于椭圆长轴长 2 求 abd面积取最大值时直线l1的方程 思维启迪设直线l1的斜率为k 将 abd的面积表示为关于k的函数 解设a x1 y1 b x2 y2 d x0 y0 由题意知直线l1的斜率存在 不妨设其为k 则直线l1的方程为y kx 1 又圆c2 x2 y2 4 又l2 l1 故直线l2的方程为x ky k 0 消去y 整理得 4 k2 x2 8kx 0 设 abd的面积为s 变式训练1 1 求椭圆c的标准方程 又a2 b2 c2 a2 4 b2 3 解显然直线pq不与x轴重合 当直线pq与x轴垂直时 pq 3 f1f2 2 3 当直线pq不与x轴垂直时 设直线pq y k x 1 k 0代入椭圆c的标准方程 整理 得 3 4k2 y2 6ky 9k2 0 当直线pq与x轴垂直时最大 且最大面积为3 设 pf1q内切圆半径为r 则 pf1 qf1 pq r 4r 3 即rmax 此时直线pq与x轴垂直 pf1q内切圆面积最大 例2 2013 陕西 已知动圆过定点a 4 0 且在y轴上截得弦mn的长为8 1 求动圆圆心的轨迹c的方程 热点二圆锥曲线中的定值 定点问题 思维启迪设动圆圆心坐标 利用圆的半径 半弦长和弦心距组成的直角三角形求解 解如图 设动圆圆心为o1 x y 由题意 得 o1a o1m 当o1不在y轴上时 过o1作o1h mn交mn于h 则h是mn的中点 化简得y2 8x x 0 又当o1在y轴上时 o1与o重合 点o1的坐标为 0 0 也满足方程y2 8x 动圆圆心的轨迹c的方程为y2 8x 2 已知点b 1 0 设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p q 若x轴是 pbq的角平分线 证明 直线l过定点 思维启迪设直线方程y kx b 将其和轨迹c的方程联立 再设两个交点坐标 由题意知直线bp和bq的斜率互为相反数 推出k和b的关系 最后证明直线过定点 2 证明如图由题意 设直线l的方程为y kx b k 0 p x1 y1 q x2 y2 将y kx b代入y2 8x中 得k2x2 2bk 8 x b2 0 其中 32kb 64 0 x轴是 pbq的角平分线 即y1 x2 1 y2 x1 1 0 kx1 b x2 1 kx2 b x1 1 0 2kx1x2 b k x1 x2 2b 0 将 代入 得2kb2 k b 8 2bk 2k2b 0 k b 此时 0 直线l的方程为y k x 1 即直线l过定点 1 0 变式训练2 1 求椭圆c的方程 2 已知点p 2 3 q 2 3 在椭圆上 点a b是椭圆上不同的两个动点 且满足 apq bpq 试问直线ab的斜率是否为定值 请说明理由 解当 apq bpq时 pa pb的斜率之和为0 设直线pa的斜率为k 则pb的斜率为 k pa的直线方程为y 3 k x 2 3 4k2 x2 8 3 2k kx 4 3 2k 2 48 0 同理pb的直线方程为y 3 k x 2 例3已知椭圆c1 抛物线c2的焦点均在x轴上 c1的中心和c2的顶点均为原点o 从每条曲线上各取两个点 将其坐标记录于下表中 热点三圆锥曲线中的探索性问题 1 求c1 c2的标准方程 思维启迪比较椭圆及抛物线方程可知 c2的方程易求 确定其上两点 剩余两点 利用待定系数法求c1方程 易求得c2的标准方程为y2 4x 思维启迪联立方程 转化已知条件进行求解 解容易验证当直线l的斜率不存在时 不满足题意 当直线l的斜率存在时 设其方程为y k x 1 与c1的交点为m x1 y1 n x2 y2 消去y并整理得 1 4k2 x2 8k2x 4 k2 1 0 所以y1y2 k2 x1 1 x2 1 k2 x1x2 x1 x2 1 解得k 2 所以存在直线l满足条件 且直线l的方程为2x y 2 0或2x y 2 0 变式训练3 已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a 2 3 且点f 2 0 为其右焦点 1 求椭圆c的方程 2 是否存在平行于oa的直线l 使得直线l与椭圆c有公共点 且直线oa与l的距离等于4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 且可知其左焦点为f 2 0 又a2 b2 c2 所以b2 12 因为直线l与椭圆c有公共点 所以符合题意的直线l不存在 2 同方法一 1 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 1 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义 则考虑利用图形性质来解决 2 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可首先建立起目标函数 再求这个函数的最值 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑 本讲规律总结 利用判别式来构造不等关系 从而确定参数的取值范围 利用已知参数的范围 求新参数的范围 解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系 利用隐含或已知的不等关系建立不等式 从而求出参数的取值范围 利用基本不等式求出参数的取值范围 利用函数的值域的求法 确定参数的取值范围 2 定点 定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题 处理时可以直接推理求出定值 也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明 对于客观题 通过特殊值法探求定点 定值能达到事半功倍的效果 3 探索性问题的解法探索是否存在的问题 一般是先假设存在 然后寻找理由去确定结论 如果真的存在 则可以得出相应存在的结论 若不存在 则会由条件得出矛盾 再下结论不存在即可 真题感悟 押题精练 真题与押题 真题感悟 2014 北京 已知椭圆c x2 2y2 4 1 求椭圆c的离心率 所以a2 4 b2 2 从而c2 a2 b2 2 真题感悟 2 设o为原点 若点a在椭圆c上 点b在直线y 2上 且oa ob 试判断直线ab与圆x2 y2 2的位置关系 并证明你的结论 解直线ab与圆x2 y2 2相切 证明如下 设点a b的坐标分别为 x0 y0 t 2 其中x0 0 真题感悟 此时直线ab与圆x2 y2 2