教学楼疏散模型(1).doc

新教教学楼疏散模型承 诺 书我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A, B, C中选择一项填写）： A 承诺人1: 机电院刘银台 承诺人2: 动科院张慧 承诺人3: 化工院王迎雅 摘要：通过我们对教学楼的考察，以及对疏散模型的建立提出了如下问题1.在水平出口处，如何安排疏散方式，即在有限出口的情况下，让同学从教室出来时如何安排每个门的出入的人数针对这个问题，我们提出了首先是遵从“就近原则”的方式，然后是根据从两个门得到疏散的时间是一样的，得到比较具体的方案（根据实际的教学楼的有关数据），方案在下面的模型建立与求解中有详细的介绍。2.因为是教学楼，楼层之间是以楼梯连接的，在楼梯上如何安排疏散方式，使人群能够安全、快速地脱离险境 通过计算得到人群在楼梯上的行走速度，让速度满足尽可能地安全但又不至于耽误时间，得到的速度为0.83m/s。3.从最终出口处安排多少人一次通过才能达到效率最大针对这个问题，我们提出了“一队疏散”、“两队疏散”、“三队疏散”的情况，通过比较发现使用“三队疏散”时间比较短，是三种方式中最优的。一队疏散所需时间为t1，两队疏散所需时间为t2，三队疏散所需的时间为t3。在工程实际中，通过人员疏散所需要的时间与人员安全疏散可用的时间进行比较来判断教学楼的疏散设施能否满足突发情况下的人员疏散要求。本文设计了两种模型，一种是口容量模型，另一种是串、并联系统模型，来对此进行研究与讨论。口容量疏散模型的设计思路是： 疏散开始后作为疏散人员离开所在的空间, 经由门、走廊、楼梯等构成的疏散通道, 转移到安全的场所。串、并联系统模型是将建筑的疏散设施抽象成网络的节点，从而将人员在建筑中的疏散流程简化成节点的串联系统模型，并联系统模型或者是串、并联系统组成的复杂模型。并通过上述两种模型给出了计算方法和分析。关键词：就近原则 分流疏散 一.问题提出由于在面对灾难时人们的急于逃生的的心理会造成手忙脚乱的事情发生，有可能造成不必要的伤亡，因此作为数学建模的对员要为防止此类伤害的发生建立高效有力的模型来解决灾难时的人员疏散的问题。如四川地震时的人员疏散问题成为人们关注的话题，假如要有较为合理有效地方案来进行人员的疏散就不会造成来不急逃生的人数的增加，针对此类问题我对队员建立有关数学模型并进行了相关的数据检验，找到了较为合理的解决方案。 二模型的假设1. 基本假设：a 疏散过程中，人群的流量与疏散通道的宽度成正比分配；b 所有人员在突发事件发生后同时疏散，中途不退后；c 所有人员在疏散过程中撤离速度不变；d 此时不考虑不同年龄的人的身体条件以及运动能力的不同。e.人员间距与每个人的厚度之和是均匀一致的f.所有师生在走廊疏散速度和在楼梯道上疏散速度一样且是有秩序的疏散g.任何人均遵循普遍原则前进，不是图超越前方个体，亦不会留出过大间距h. 定义人流通量q (人/msec)为单位时间、单位通道截面积通过的人数, 则有q =vk.人流限制在单向定宽度无限长通道内前进, 且相对饱满, 即速度不大于某极限速度Vmax=3m/sec.m. A区一楼靠近大门一侧的两个厕所的长度忽略不计;p. 教室分为大、中、小三种类型，大教室中有120人，中教室有60人，小教室有30人（根据同学日常上课情况简化所得），教师休息室及工作人员值班室均为5人；r.所有人都从大门被疏散到安全地带。q.电梯的宽度忽略不计2符号说明 L.楼梯的长度; h.楼梯的高度;m.楼梯的长度； s.教室门的宽度; a.同一中教室两门之间的距离（单位：m）; b.同一大教室两门之间的距离（单位：m）； c.厕所的宽度（单位：m） n每个教室的总学生个数n1。从每个教室左门疏散的人员数目n2.从每个教室右门疏散的人员数目 d.保卫室的宽度; k;教学楼出口大门的宽度; 三模型的建立 1.如图所示：A103、A104、A105、A106必定会从A区大门疏散，而难点是A107、108是从A去大门疏散还是从B区大门疏散，就牵扯分流疏散的问题将整个疏散分为2类，即当待疏散人数较少时，疏散时间由疏散的最远距离和速度决定；当待疏散人数很多时，疏散时间由通过出口的最长时间决定。A103疏散模型 n1+n2=60 (n1-1)*v=(n2-1)*v+a+sA104疏散模型 n1+n2=60 (n*2+f1)*v=（n+f2-1）*v+2(a+s) 同理可知A105、A106 的疏散模型 2. 二楼及其以上的疏散模型 2.1 符号说明： L为水平通道的长度 ； V为人员的行走速度； N为人员的数目； W 为楼梯有效宽度； S 为楼梯的长度； R 为楼梯的级高； B 为楼梯的级宽； f为移动速率； 2.2 人员疏散时间： 人员疏散时间是指全体人员疏散到安全出口所需的时间。人员疏散时经过不同的通道需要不同的时间。根据其特征, 可以把通道分为三类: 水平通道、楼梯通道和门。下面分别计算人员通过不同通道所需的时间。（1）水平通道：水平通道是指走廊这一类的通道, 这种通道一般较宽, 且有一定的长度。除非很特殊的情况, 人员疏散时在水平通道一般不会出现堵塞, 因而人员通过水平通道的时间即等于水平通道的长度L 除以人员的行走速度V , 即 （1）t=L/V其中人员的行走速度V 近似为1.016 m/s, 这是由研究人员根据统计资料得到的。（2）楼梯：人群通过楼梯的时间和人员的数目有很大的关系, 因此很难用计算人员通过水平通道时间的公式来计算。人群沿着楼梯向下疏散时, 人员通过楼梯的时间t, 人员的数目N和楼梯有效宽度W 之间的关系如下面的公式： （2）t=N*W/V而对于单个人沿楼梯向下疏散的行走时间, 考虑楼梯的台阶对行走时间的影响, 可由下面的公式进行计算： （3）t=S/(R*B)/V其中S 为楼梯的长度, R 为楼梯的级高,B 为楼梯的级宽。这里的速度V 近似为1.2 m/s。（3） 门：疏散人群通过门时, 一般都会堵塞, 因而人群通过门的时间计算也比较复杂, 我们采用移动速率的概念来表征人群通过门的难易程度。移动速率是指单位时间单位门宽度所通过的人员的数目。因此人群通过门的疏散时间可以用下面的式子计算： （4）t=f*K/N其中K 为门宽度, N为人数, f 为移动速率, 由统计资料得到近似值为0.93人/s.m。2.3 疏散模型的设计方法：疏散模型的设计思路是： 疏散开始后作为疏散人员离开所在的空间, 经由门、走廊、楼梯等构成的疏散通道, 转移到安全的场所。为了模拟的方便, 作了下面的简化处理：（1）假设全部人员都能自己疏散出去, 而且疏散人员的特征没有区别, 全部具有相同的特征。实际上, 由于人员的性别、年龄、身体条件的差别, 疏散能力也有所不同。且要定量地描述每个人员不同的疏散能力, 会使模型过于复杂，故此处作简化处理。（疏散能力差异这一因素不同，而对疏散产生的影响将在第四问中详细论述）（2）疏散开始之前, 假设全部人员分布在各个房间内。在走廊、楼梯等处, 可以认为疏散开始之前人员的密度很低, 可忽略不计。（3）灾难发生后，不考虑疏散人员的反应时间。根据上述的设计思路。疏散过程可以模拟成下面的若干步骤：（1）疏散开始之前，人员分布在不同的房间内；（2）某一时刻，灾难发生，所有人员开始疏散；（3） 在一个房间内的所有人员全部疏散出该房间的时间等于所有人员通过出口(门) 所需的时间等于距离出口最远的人员步行走到出口所需时间中的最长的时间。有一个以上的出口时,假设人员数目根据出口的宽度均匀分配, 距离出口最远的人到出口的距离为他所在的位置与出口之间的直线距离；（4）所有人员通过门、走廊等水平通道处的速度为其正常的步行速度；（5）最先离开房间的人总是选择最好的通道疏散到安全出口, 而且在门和楼梯处都没有堵塞, 通过楼梯的人总是选择最近的通道疏散到安全出口, 而且在门和楼梯处都没有堵塞, 通过楼梯的时间即为单个人沿楼梯向下行走的时间；（6）最后一个离开房间的人以正常的步行速度行走到出口(门) 时, 如果所有人员已疏散出出口, 则不计此人通过该门的时间。但如果其他人员未安全疏散出此出口(由于堵塞造成的) ,则需要等到全体人员疏散出此出口后, 才可通过该出口。同样的情况适用于楼梯, 如果最后一个人员到达楼梯时, 其他人员已经疏散完, 则以单个人沿楼梯下行的速度离开; 而当其他人员未疏散完时, 则等到其他人员疏散完后, 再以单个人沿楼梯下行的速度离开此楼梯；（7）所有人员疏散出建筑物的时间即为最后一个人离开最后一个出口, 到达安全场所的时间。 设整个疏散路径可以分为n 个通道(包括门、楼梯、走廊等) , 第一步需要利用式(1)、(2)、(3) 和(4) 计算出第一个人通过通道i的时间tfi和所有人员疏散出通道i的时间ti, 这里i指任意通道。 第一个人疏散到安全场所的时间tf 为： 任意通道 疏散开始的时刻则为： 最后一个人到达任意通道 时, 需要判断其余人员的疏散是否已经结束。其疏散时间tli的计算方法如下：通过水平通道： 通过楼梯： 如果 则 如果 则 通过门： 如果 则 如果 则 当门作为第一个通道时，则按下式计算： 如果 ，则 如果 ，则 整个疏散过程所需的时间为：四模型的求解五模型的分析举例说明：一座教学楼中平均每个人数N约为50人，长L大约为9米，相邻两楼之间的楼梯长度为7.6米，宽度为1.4米，楼梯级宽为0.28米，级高为0.15米，底楼大门长w0为4.2米。由式（3）、（4）计算得到单个人员沿楼梯的步行时间为41s，所有人员疏散该楼大门的时间为256s。由上述的疏散时间计算方法得整个疏散过程所需的时间为8.86+164.00+256.00=428.87s=7.15min。 从上述的计算结果可以看出，总的安全疏散时间取决于整个疏散过程所需的时间。在上面的实例中，整个疏散过程所需的时间主要取决于人员向下的疏散时间和教学楼大门疏散能力。这是因为教学楼的大门的出口宽度和楼梯的宽度（或个数）不能满足逃生的需要。在本例中，如果把出口大门的宽度增加和再添加一个楼梯，则会大大降低疏散时间，从而可以大大减少灾难发生时人员伤亡的可能性。每个单元体的疏散时间取的是平地疏散区域内的时间与疏散出口拥挤的时间中的最长的，因而在整个疏散时间中占主要部分的是拥挤时疏散所花的时间。综上所述，为了尽可能的降低整个过程中的疏散时间，应该尽量控制各人流量大的地方（如楼梯、大门等）出现拥挤的时间。 举例说明：一座教学楼中平均每个人数N约为50人，长L大约为9米，相邻两楼之间的楼梯长度为7.6米，宽度为1.4米，楼梯级宽为0.28米，级高为0.15米，底楼大门长w0为4.2米。由式（3）、（4）计算得到单个人员沿楼梯的步行时间为41s，所有人员疏散该楼大门的时间为256s。由上述的疏散时间计算方法得整个疏散过程所需的时间为8.86+164.00+256.00=428.87s=7.15min。 从上述的计算结果可以看出，总的安全疏散时间取决于整个疏散过程所需的时间。在上面的实例中，整个疏散过程所需的时间主要取决于人员向下的疏散时间和教学楼大门疏散能力。这是因为教学楼的大门的出口宽度和楼梯的宽度（或个数）不能满足逃生的需要。在本例中，如果把出口大门的宽度增加和再添加一个楼梯，则会大大降低疏散时间，从而可以大大减少灾难发生时人员伤亡的可能性。. 问题三：由上面的模型分析可知，增加疏散出口和尽量避免疏散时的拥挤是减少人员伤亡的关键。因此合理安排好建筑物内的安全出口是很重要的，那具体应怎么去安排呢？由上可以看出：若教学楼建设为四周环绕型，可以使人员逃散时尽量分散，减少拥挤，楼梯出口也应对称分布，提高空间利用率。 从问题二中的举例说明可知，若把出口大门的宽度增加一倍，则所需时间为：8.86+164.00+128.00=300.86s=5.00min，时间减少（7.15-5.00）/7.15*100%=29.8%.由此可得大门宽度增加倍数与疏散全过程所需时间减少的百分比的关系：大门宽度增加倍数 0.1 0.3 0.5 0.7 1.0时间减少百分比 5.5% 13.8% 19.9% 24.6% 29.8% 根据上面给的数据，我们粗略的用EXCEL作出了大门宽度增加的倍数与时间减少的百分比的走势。 由图我们可以很清晰的看出：门的宽度越大，疏散所用的时间就越少。这一结论与问题二中疏散时间与w/w0的图是基本一致的。但是考虑到增加大门的宽度不太现实，所以可以考虑再建一个楼梯，这就是模型一中增加了并联的系统，这样可以减少楼梯拥挤情况，同样有助于减少整个过程疏散时间。. 问题四： 在前三个问题中我们一直假设所有人的运动能力是相同，而在实际生活中这种情况是绝对不可能的，并且每个人的运动能力都是不同的。考虑到个体情况的差异性，根据常识，在小学中学里，一般是年级越高的体能越大，设体能加大群体的平均运动速度为 ，体能较小群体的平均运动速度为 当max( )vmax 时，此时低年级学生在底层也能不堵塞楼道出口，疏散总时间为最高层疏散时间，由于高年级学生体能大速度快，故应把最高年级的学生安排在最高层，而把低年级学生安排在较低层，因为他