2001年全国高中数学联赛试卷及答案

第 1 页 共 13 页 二二 一年全国高中数学联合竞赛题一年全国高中数学联合竞赛题 10 月 4 日上午 8 00 9 40 三 题号一二 131415 合计加试总成绩 得分 评卷人 复核人 学生注意 学生注意 1 本试卷共有三大题 本试卷共有三大题 15 个小题 个小题 全卷满分 全卷满分 150 分 分 2 用圆珠笔或钢笔作答 用圆珠笔或钢笔作答 3 解题书写不要超过装订线 解题书写不要超过装订线 4 不能使用计算器 不能使用计算器 一 一 选择题 本题满分选择题 本题满分 36 分 每小题分 每小题 6 分 分 本题共有本题共有 6 个小是题 每题均给出 个小是题 每题均给出 A B C D 四个结论 其中有且仅有一个是正确的 请 四个结论 其中有且仅有一个是正确的 请 将正确答案的代表字母填在题后的括号内 每小题选对得将正确答案的代表字母填在题后的括号内 每小题选对得 6 分 不选 选错或选的代表字母超过一个分 不选 选错或选的代表字母超过一个 不论是否写在括号内 不论是否写在括号内 一律得 一律得 0 分 分 1 已知 a 为给定的实数 那么集合 M x x2 3x a2 2 0 x R 的子集的个数为 A 1 B 2 C 4 D 不确定 2 命题 1 长方体中 必存在到各顶点距离相等的点 命题 2 长方体中 必存在到各棱距离相等的点 命题 3 长方体中 必存在到各面距离相等的点 以上三个命题中正确的有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3 在四个函数 y sin x y cos x y ctgx y lg sinx 中以 为周期 在 0 上单调递增的偶函数是 2 A y sin x B y cos x C y ctgx D y lg sinx 4 如果满足 ABC 60 AC 12 BC k 的 ABC 恰有一个 那么 k 的取值范围是 A k 8 B 0 k 12 C 2 D 0 12 或338 k 5 若 1 2 1000的展开式为 2000 2000 则 3 6 9 1998的值为 A 3333 B 3666 C 3999 D 32001 6 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元 则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较 结果是 A 2 枝玫瑰价格高 B 3 枝康乃馨价格高 C 价格相同 D 不确定 二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 7 椭圆 1 2 的短轴长等于 8 若复数 z1 z2满足 z1 2 z2 3 3z1 2z2 I 则 z1z2 2 3 9 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 则直线 A1C1与 BD1的距离是 10 不等式的解集为 2 3 2 log 1 2 1 x 第 2 页 共 13 页 11 函数的值域为 23 2 xxxy 12 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 如图 要求同一场块中种同一种植 物 相邻的两块种不同的植物 现有 4 种不同的植物可供选择 则有 种栽种方案 二 解答题 本题满分解答题 本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分 分 13 设 an 为等差数列 bn 为等比数列 且 a1 a2 又 2 11 ab 2 22 ab 2 33 ab 试求 an 的首项与公差 12 lim 21 n n bbb 14 设曲线 C1 a 为正常数 与 C2 y2 2 x m 在 x 轴上方公有一个公共点 P 1 2 2 2 y a x 1 求实数 m 的取值范围 用 a 表示 2 O 为原点 若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A 当 0 aa2 a3 a4 a5 a6 的电阻组装成一个如图的组件 在组 装中应如何选取电阻 才能使该组件总电阻值最小 证明你的结论 F A B C D E 第 3 页 共 13 页 二二 一年全国高中数学联合竞赛加试试题一年全国高中数学联合竞赛加试试题 10 月 4 日上午 10 00 12 00 学生注意 学生注意 1 本试卷共有三大题 全卷满分 本试卷共有三大题 全卷满分 150 分 分 2 用圆珠笔或钢笔作答 用圆珠笔或钢笔作答 3 解题书写不要超过装订线 解题书写不要超过装订线 4 不能使用计算器 不能使用计算器 一 一 本题满分 本题满分 5050 分 分 如图 ABC 中 O 为外心 三条高 AD BE CF 交于点 H 直线 ED 和 AB 交于点 M FD 和 AC 交于点 N 求证 1 OB DF OC DE 2 OH MN 二 二 本题满分 本题满分 5050 分 分 设 xi 0 I 1 2 3 n 且 求的最大值与最小值 12 11 2 njk jk n i i xx j k x n i i x 1 三 三 本题满分 本题满分 5050 分 分 将边长为正整数 m n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形 每个正方形的边均平行于矩形的相应 边 试求这些正方形边长之和的最小值 第 4 页 共 13 页 2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一 选择题 CBDDCA 1 已知 a 为给定的实数 那么集合 3 2 0 的子集的个数为 1 2 4 不确定 讲解 讲解 M 表示方程 3 2 0 在实数范围内的解集 由于 1 4 0 所以 含有 2 个元素 故集合 有 2 4 个子集 选 2 命题 1 长方体中 必存在到各顶点距高相等的点 命题 2 长方体中 必存在到各条棱距离相等的点 命题 3 长方体中 必存在到各个面距离相等的点 以上三个命题中正确的有 0 个 1 个 2 个 3 个 讲解 讲解 由于长方体的中心到各顶点的距离相等 所以命题 1 正确 对于命题 2 和命题 3 一般的长方体 除正方体外 中不存在到各条棱距离相等的点 也不存在到各个面距离相等的点 因此 本题只有命 题 1 正确 选 3 在四个函数 中 以 为周期 在 0 2 上单调递增的偶函数是 讲解 讲解 可考虑用排除法 不是周期函数 可通过作图判断 排除 的最小正周期为 2 且在 0 2 上是减函数 排除 在 0 2 上是减函数 排除 故应选 4 如果满足 60 12 的 恰有一个 那么 的取值范围是 0 1238 k 12 0 12 或38 k 讲解 讲解 这是 已知三角形的两边及其一边的对角 解三角形 这类问题的一个逆向问题 由课本结论知 应选结论 说明 说明 本题也可以通过画图直观地判断 还可以用特殊值法排除 5 若 1 2 1000的展开式为 2000 2000 则 3 6 9 1998的值为 3333 3666 3999 32001 讲解 讲解 由于要求的是展开式中每间降两项系数的和 所以联想到 1 的单位根 用特殊值法 取 1 2 2 则 1 1 0 令 1 得 31000 2000 令 得 0 1 2 2000 2000 令 得 0 2000 4000 三个式子相加得 31000 3 1998 第 5 页 共 13 页 1998 3999 选 6 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元 则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较 结果是 2 枝玫瑰价格高 3 枝康乃馨价格高 价格相同 不确定 讲解 讲解 这是一个大小比较问题 可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为 元 元 则由题设得 2436 2254 YX YX 问题转化为在条件 的约束下 比较 2 与 3 的大小 有以下两种解法 解法解法 1 1 为了整体地使用条件 令 6 3 4 5 联立解得 5 3 18 3 2 9 2 3 11 12 9 24 22 11 12 11 24 12 22 0 2 3 选 图 1 解法解法 2 由不等式 及 0 0 组成的平面区域如图 1 中的阴影部分 不含边界 令 2 3 2 则 表示直线 2 3 2 在 轴上的截距 显然 当 过点 3 2 时 2 有 最小值为 0 故 2 3 0 即 2 3 选 说明 说明 1 本题类似于下面的 1983 年一道全国高中数学联赛试题 已知函数 满足 4 1 1 1 2 5 那么 3 应满足 7 3 26 4 3 15 1 3 20 28 3 3 35 3 2 如果由条件 先分别求出 的范围 再由 2 的范围得结论 容易出错 上面的 解法 1 运用了整体的思想 解法 2 则直观可靠 详见文 1 二 填空题 7 8 9 3 32 i 13 72 13 30 6 6 10 11 12 732 4 2 1 1 0 7 2 2 2 3 1 第 6 页 共 13 页 7 椭圆 1 2 的短轴长等于 讲解 讲解 若注意到极点在椭圆的左焦点 可利用特殊值法 若注意到离心率 和焦参数 焦点到相应准线的距离 的几何意义 本题也可以直接求短半轴的长 解法解法 1 1 由得 1 0 3 1 ca ca 2 3 从而 故 2 3 3 3 32 解法解法 2 2 由 1 2 2 1 及 2 2 2 得 从而 2 3 3 3 32 说明 说明 这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题 8 若复数 满足 2 3 3 2 3 2 则 讲解 讲解 参考答案给出的解法技巧性较强 根据问题的特点 用复数的三角形式似乎更符 合学生的思维特点 而且也不繁 令 2 3 则由 3 2 3 2 及复数相等的充要条件 得 2 3 cos cos6 1sin sin6 即 2 3 2 sin 2 sin 12 1 2 sin 2 cos 12 二式相除 得 2 3 2 由万能公式 得 12 13 5 13 故 6 30 13 72 13 说明 说明 本题也可以利用复数的几何意义解 9 正方体 1 的棱长为 1 则直线 与 的距离是 讲解 讲解 这是一道求两条异面直线距离的问题 解法较多 下面给出一种基本的解法 第 7 页 共 13 页 图 2 为了保证所作出的表示距离的线段与 和 都垂直 不妨先将其中一条直线置 于另一条直线的垂面内 为此 作正方体的对角面 则 面 且 面 设 0 在面 内作 垂足为 则线段 的长为异面直线 与 的距离 在 中 等于斜边 上高的一半 即 6 10 不等式 1 1 2 2 3 2 的解集为 讲解 讲解 从外形上看 这是一个绝对值不等式 先求得 1 2 2 或 2 7 1 2 0 或 1 2 0 从而 4 或 1 22 7 或 0 1 11 函数 的值域为 讲解 讲解 先平方去掉根号 由题设得 3 2 则 2 2 3 由 得 2 2 3 解得 1 3 2 或 2 由于能达到下界 0 所以函数的值域为 1 3 2 2 说明 说明 1 参考答案在求得 1 3 2 或 2 后 还用了较长的篇幅进行了一番 验证 确无必要 2 本题还可以用三角代换法和图象法来解 不过较繁 读者不妨一试 图 3 12 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 如图 3 要求同一块中种同一种植物 相邻的 两块种不同的植物 现有 4 种不同的植物可供选择 则有 种栽种方案 讲解 讲解 为了叙述方便起见 我们给六块区域依次标上字母 按间隔三块 种植植物的种数 分以下三类 1 若 种同一种植物 有 4 种种法 当 种植后 可从剩余的三种 植物中各选一种植物 允许重复 各有 3 种方法 此时共有 4 3 3 3 108 种方法 2 若 种二种植物 有 2种种法 当 种好后 若 种同一种 则 有 3 种方法 各有 2 种方法 若 或 种同一种 相同 只是次序不同 此时共有 3 3 2 2 432 种方法 3 若 种三种植物 有 种种法 这时 各有 2 种种方法 此时共有 2 2 2 192 种方法 第 8 页 共 13 页 根据加法原理 总共有 108 432 192 732 种栽种方案 说明 说明 本题是一个环形排列问题 三 解答题 13 设所求公差为 d a1 a2 d 0 由此得 化简得 4 1 2 1 2 1 2 dadaa 042 2 1 2 1 ddaa 解得 5 分 1 22 ad 而 故 a1 0022 若 则 1 22 ad 2 2 1 2 2 12 a a q 若 则 10 分 1 22 ad 2 2 1 2 2 12 a a q 但存在 故 q 1 于是不可能 12 21 n n bbblim 2 12 q 从而2 12 222 12 12 1 2 1 2 2 1 a a 所以 20 分222 22 2 11 ada 14 解 1 由 消去 y 得 2 1 2 2 2 2 mxy y a x 022 2222 amaxax 设 问题 1 化为方程 在 x a a 上有唯一解或等根 2222 22 amaxaxxf 只需讨论以下三种情况 1 0 得 此时 xp a2 当且仅当 a a2 a 即 0 a 1 时适合 2 1 2 a m 2 f a f a 0 当且仅当 a m a 3 f a 0 得 m a 此时 xp a 2a2 当且仅当 a a 2a2 a 即 0 a 1 时适合 f a 0 得 m a 此时 xp a 2a2 由于 a 2a2 a 从而 m a 综上可知 当 0 a 1 时 或 a m a 2 1 2 a m 当 a 1 时 a m a 10 分 2 OAP 的面积 p ayS 2 1 0 a 故 a m a 时 0 a 2 1 maaa21 22 第 9 页 共 13 页 由唯一性得 maaaxp21 22 显然当 m a 时 xp取值最小 由于 xp 0 从而 yp 取值最大 此时 2 2 1 a xp 2 2aayp 2 aaaS 当时 xp a2 yp 此时 2 1 2 a m 2 1a 2 1 2 1 aaS 下面比较与的大小 2 aaa 2 1 2 1 aa 令 得 22 1 2 1 aaaaa 3 1 a 故当 0 a 时 此时 3 1 2 aaa 2 1 2 1 aa 2 1 2 1 aaSmax 当时 此时 20 分 2 1 3 1 a 22 1 2 1 aaaaa 2 aaaSmax 15 解 设 6 个电阻的组件 如图 3 的总电阻为 RFG 当 R i a i i 3 4 5 6 R1 R2是 a1 a2的 任意排列时 RFG最小 5 分 证明如下 1 设当两个电阻 R1 R2并联时 所得组件阻值为 R 则 故交换二电阻的位置 不 21 111 RRR 改变 R 值 且当 R1或 R2变小时 R 也减小 因此不妨取 R1 R2 2 设 3 个电阻的组件 如图 1 的总电阻为 RAB 21 323121 3 21 21 RR RRRRRR R RR RR RAB 显然 R1 R2越大 RAB越小 所以为使 RAB最 小必须取 R3为所取三个电阻中阻值最小的 个 3 设 4 个电阻的组件 如图 2 的总电阻为 RCD 第 10 页 共 13 页 若记 则 S1 S2为定值 于是 41 1 ji jiR RS 41 2 kji kji RRRS 431 3212 RRS RRRS RCD 只有当 R3R4最小 R1R2R3最大时 RCD最小 故应取 R4 R3 R3 R2 R3 Rl 即得总电阻的阻值最 小 15 分 4 对于图 3 把由 R1 R2 R3组成的组件用等效电阻 RAB代替 要使 RFG最小 由 3 必需使 R6 R5 且由 1 应使 RCE最小 由 2 知要使 RCE最小 必需使 R5 R4 且应使 RCD最小 而由 3 要使 RCD最小 应使 R4 R3 R2且 R4 R3 R1 这就说明 要证结论成立 20 分 2001 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准 一 证明 1 A C D F 四点共圆 BDF BAC 又 OBC 180 BOC 90 BAC 2 1 OB DF 2 CF MA MC 2 MH 2 AC 2 AH 2 BE NA NB 2 NH 2 AB 2 AH 2 DA BC BD 2 CD 2 BA 2 AC 2 OB DF BN 2 BD 2 ON 2 OD 2 OC DE CM 2 CD 2 OM 2 OD 2 30 分 得 NH 2 MH 2 ON 2 OM 2 MO 2 MH 2 NO 2 NH 2 OH MN 50 分 另证 以 BC 所在直线为 x 轴 D 为原点建立直角坐标系 设 A 0 a B b 0 C c 0 则 b a k c a k ABAC 直线 AC 的方程为 直线 BE 的方程为 cx c a y bx a c y 第 11 页 共 13 页 由 得 E 点坐标为 E cx c a y bx a c y 22 2 22 22 ca abcac ca bcca 同理可得 F 22 2 22 22 ba abcab ba cbba 直线 AC 的垂直平分线方程为 2 2 c x a ca y 直线 BC 的垂直平分线方程为 2 cb x 由 得 O 2 2 2 cb x c x a ca y a abccb 2 2 2 bca acab cbba abcab k abac abc b cb a abc k DFOB 222 22 2 2 2 OB DF1 DFOBk k 同理可证 OC DE 在直线 BE 的方程中令 x 0 得 H 0 bx a c y a bc acab bca cb a bc a abc kOH 3 2 2 2 2 直线 DF 的方程为x bca acab y 2 由 得 N 2 cx c a y x bca acab y 22 2 22 22 2 2cbca acabc cbca bcca 同理可得 M 22 2 22 22 2 2bbca ababc bbca cbba bca acab bcabcabc bcacba kMN 3 3 222 222 kOH kMN 1 OH MN 二 解 先求最小值 因为 1 n i i njk jk n i i n i i xxx j k xx 111 22 1 12 第 12 页 共 13 页 等号成立当且仅当存在 i 使得 xi 1 xj 0 j i 最小值为 1 10 分 n i i x 1 再求最大值 令 kk ykx n knjk jkk ykyky 11 2 12 设 令 n k n k kk ykxM 11 nn n n ay ayy ayyy 22 121 则 30 分1 22 2 2 1 n aaa 令 0 则 1 n a n k kk aakM 1 1 n k n k n k n k n k kkkkk akkakakakak 11111 1 1 1 由柯西不等式得 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 n k n k k n k kkakkM 等号成立 2 2 2 22 1 1 1 1 nn a kk aa nk 2 2 22 22 2 2 1 1 1 12 1 kk a nn aaa kn k 1 2 n 2 1 1 1 1 2 n k k kk kk a 由于 a1 a2 an 从而