高中数学总复习数学

数学 一 函数 方程 不等式 1 二次函数与二次方程及二次不等式 一 形式 一般式 顶点式 2 yaxbxc 2 ya xhk 两点式 12 ya xxxx 二 定义域 x 三 值域 当时 0a 4 4 2 a bac y 当时 0a 4 4 2 a bac y 四 单调性 2 yaxbxc 其中 2 ya xhk 2 4 24 bacb hk aa 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 时 随的增大而增大 a b x 2 yx 时 随的增大而减小 a b x 2 yx 时 有最小值 a b x 2 y0 0a 向下 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 时 随的增大而减小 a b x 2 yx 时 随的增大而增大 a b x 2 yx 时 有最大值 a b x 2 y0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 k 0a 向下 hk X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 k 五 奇偶性 不是奇函数 当 b 0 时 函数图像关于 y 轴对称 是偶函数 六 最值 在顶点处有最值 a 0 时为 最小值 a0 h0 k0 h0 h0 k0 kax n xann 1 且 n N 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n 当是奇数时 当是偶数时 naa nn n 0 0 a a a a aa nn 2 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 3 实数指数幂的运算性质 1 r a srr aa 0 Rsra 2 rssr aa 0 Rsra 3 srr aaab 0 Rsra 二 指数函数及其性质 1 形式 1 0 aaay x 且 2 定义域与值域 0 yRx 3 单调性 当 a 1 时 单调递增 当 0 a10 a1 时递增 当 0 a10 a 1 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 定义域 x 0定义域 x 0 值域为 R值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减 函数图象都过 定点 1 0 函数图象都过定点 1 0 5 平移 m nx a y log 4 幂函数 1 幂函数定义 一般地 形如的函数称为幂函数 其中 xy Ra 为常数 2 幂函数性质归纳 1 所有的幂函数在 0 都有定义并且图象都过点 1 1 2 时 幂函数的图象通过原点 并且在区间上是增函0 0 数 特别地 当时 幂函数的图象下凸 当时 幂函数的图1 10 象上凸 3 时 幂函数的图象在区间上是减函数 在第一象限内 当从右边趋向原点0 0 x 时 图象在轴右方无限地逼近轴正半轴 当趋于时 图象在轴上方无限地逼近轴yyx xx 正半轴 5 三角函数 一 定义 在以原点为圆心 单位 1 长度为半径的圆里面定义 1 已知角的终边经过点 P 5 12 则的值为 cossin 答 7 13 2 是第三四象限角 则的取值范围是 m m 4 32 sin m 答 1 2 3 二 三角函数线 1 若 则的大小关系为 0 8 sin cos tan 答 tansincos 2 若为锐角 则的大小关系为 sin tan 答 sintan 3 函数的定义域是 3sin2lg cos21 xxy 答 2 2 2 33 kkkZ 三 同角的三角函数的基本关系 y T A x B S O M P 做题时一定要考虑 x 的取值范围1cossin 22 xx x x x cos sin tan 1 已知 则 5 3 sin m m 2 5 24 cos m m tan 答 12 5 2 已知 则 1 1tan tan cossin cos3sin 2cossinsin 2 答 3 5 5 13 3 已知 则的值为 xxf3cos cos 30 sin f 答 1 四 诱导公式 sin sin sin sin cos cos cos cos tan tan tan tan sin sin sin 2 cos cos cos cos 2 sin tan tan tan 2 cot sin 2 cos sin 3 2 cos cos 2 sin cos 3 2 sin tan 2 cot tan 3 2 cot sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot 1 的值为 97 costan sin21 46 答 23 23 2 已知 则 若为第二象限角 则 5 4 540sin 270cos 180tan 360cos 180 sin 2 答 5 4 100 3 五 两角的正弦 余弦 正切公式及倍角公式 两个角的关系 正弦 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 余弦 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin 正切 tan tan tantan1 tantan tantan1 tantan 倍角关系 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 2 tan1 tan2 2tan 万能公式 2 tan1 tan2 2sin 2 2 tan1 tan1 cos 2 tan1 tan2 2tan 1 下列各式中 值为的是 1 2 A B 1515sincos 22 1212 cossin C D 2 22 5 122 5 tan tan 130 2 cos 答 C 2 命题 P 命题 Q 则 P 是 Q 的 0tan AB 0tan AtanB A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答 C 3 已知 那么的值为 3 5 sin coscos sin 2cos 答 7 25 4 的值是 13 1080sinsin 答 4 5 已知 求的值 用 a 表示 甲求得的结果是 乙求得的结果是 0 tan110a 0 tan50 3 13 a a 对甲 乙求得的结果的正确性你的判断是 2 1 2 a a 答 甲 乙都对 六 正弦函数 余弦函数 1 若函数的最大值为 最小值为 则 sin 3 6 yabx 2 3 2 1 a b 答 或 1 1 2 ab 1b 2 函数 的值域是 xxxfcos3sin 2 2 x 答 1 2 3 若 则的最大值和最小值分别是 2 6ycossin 答 7 5 4 函数的最小值是 此时 2 2cos sin 3sin 3 f xxxx sin cosxx x 答 2 12 kkZ 5 己知 求的变化范围 2 1 cossin cossin t 答 1 0 2 6 若 求的最大 最小值 cos2sin2sin 22 22 sinsin y 答 1 max y222 min y A 周期性 周期性 1 若 则 3 sin x xf 1 2 3 2003 ffff 答 0 2 函数的最小正周期为 4 cosf xx 2sin cosxx 4 sin x 答 3 设函数 若对任意都有成立 则 52 sin 2 xxfRx 21 xfxfxf 的最小值为 21 xx 答 2 B 奇偶性与对称性 奇偶性与对称性 1 函数的奇偶性是 5 2 2 ysinx 答 偶函数 2 已知函数为常数 且 则 3 1f x axbsin x a b 57f 5f 答 5 3 函数的图象的对称中心和对称轴分别是 cos sincos2xxxy 答 1 28 k kZ 28 k x kZ 4 已知为偶函数 求的值 3f x sin x cos x 答 6 k kZ C 单调性 单调性 形如形如的函数 的函数 sin yAx 的图象如图所 sin 0 0f xAxA 2 示 则 f x 答 15 2sin 23 f xx 1 函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象 2sin 2 1 4 yx sinyx 2 23 3题题图图 2 2 9 9 Y Y X X 2 2 3 答 向上平移 1 个单位得的图象 再向左平移2sin 2 1 4 yx 2sin 2 4 yx 个单位得的图象 横坐标扩大到原来的 2 倍得的图象 最后将纵坐标缩 8 2sin2yx 2sinyx 小到原来的即得的图象 1 2 sinyx 2 要得到函数的图象 只需把函数的图象向 平移 个单位cos 24 x y sin 2 x y 答 左 2 3 将函数图像 按向量平移后得到的函数图像关于原点对称 这 7 2sin 2 1 3 yx a 样的向量是否唯一 若唯一 求出 若不唯一 求出模最小的向量a 答 存在但不唯一 模最小的向量 1 6 a 4 若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点 cossin0 2f xxx x yk 则的取值范围是k 答 1 2 5 研究函数 研究函数性质的方法 性质的方法 sin yAx 1 函数的递减区间是 2 3 ysin x 答 5 1212 k k kZ 2 的递减区间是 1 2 34 x ylog cos 答 33 66 44 k k kZ 3 设函数的图象关于直线对称 它的周期是 22 0 0 sin AxAxf 3 2 x 则 A B 在区间上是减函数 2 1 0 的图象过点xf f x 52 123 C D 的最大值是 A 0 12 5 是的图象的一个对称中心xf f x 答 C 4 对于函数给出下列结论 2sin 2 3 f xx 图象关于原点成中心对称 图象关于直线成轴对称 图象可由函数 12 x 的图像向左平移个单位得到 图像向左平移个单位 即得到函数2sin2yx 3 12 的图像 其中正确结论是 2cos2yx 答 5 已知函数图象与直线的交点中 距离最近两点间的距离为 2sin f xx 1y 3 那么此函数的周期是 答 的周期都是的周期都是 但但的周期为的周期为 而 而 xyxysin sin 2 sinyx cosx 2 的周期不变 的周期不变 1 2sin 3 2sin 3 2 626 yxyx tan yx 七 三角函数与三角形 正弦定理 余弦定理 在 ABC 中 正弦定理 cba CsinBsinAsin 余弦定理 Ccos2 222 abbac ab cba 2 Ccos 222 中 若 判断的形状ABC CBABA 22222 sinsincoscossin ABC 答 直角三角形 1 中 A B 的对边分别是 且 那么满足条件的 ABC ab A 60 6 4 a b ABC A 有一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 答 C 2 在中 A B 是成立的 条件ABC sin AsinB 答 充要 3 在中 则 ABC 112 tan A tanB 2 log sinC 答 1 2 4 在中 分别是角 A B C 所对的边 若ABC a b c abc sin AsinB 则 3sinC asinB C 答 60 5 在中 若其面积 则 ABC 222 4 3 abc S C 答 30 6 在中 这个三角形的面积为 则外接圆的直径是 ABC 60 1A b 3ABC 答 2 39 3 7 在 ABC 中 a b c 是角 A B C 的对边 2 1 3 cos cos 32 BC aA 则 的最大值为 22 bc 答 1 9 3 2 8 在 ABC 中 AB 1 BC 2 则角 C 的取值范围是 答 0 6 C 9 设 O 是锐角三角形 ABC 的外心 若 且的面积满足关系式75C AOBBOCCOA 求3 AOBBOCCOA SSS A 答 45 6 其他特殊函数 7 函数的综合应用 二 立体几何 1 平面的基本性质平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理 2 如果两个平面有一个公共点 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 公理 3 经过不在同一直线上的三个点 有且只有一个平面 根据上面的公理 可得以下推论 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 2 空间线面的位置关系及判定空间线面的位置关系及判定 一 直线与直线 1 共面 平行 无公共点 相交 有且只有一个公共点 判定 定义 在同一个平面内 且没有公共点的两条直线平行 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交 线平行 即若 a a b 则 a b 平行于同一直线的两直线平行 即若 a b b c 则 a c 垂直于同一平面的两直线平行 即若 a b 则 a b 两平行平面与同一个平面相交 那么两条交线平行 即若 b 则 a b 如果一条直线和两个相交平面都平行 那么这条直线与这两个平面的交线平行 即若 b a a 则 a b 2 异面 既不平行 也不相交 判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法 有时也可用定理 平面内一点与平面外一点的连线 与平面内不经过该点的直线是异面直 线 3 垂直 判定 定义 若两直线成 90 角 则这两直线互相垂直 一条直线与两条平行直线中的一条垂直 也必与另一条垂直 即若 b c a b 则 a c 一条直线垂直于一个平面 则垂直于这个平面内的任意一条直线 即若 a b a b 三垂线定理和它的逆定理 在平面内的一条直线 若和这个平面的一条斜线的射影垂直 则它 也和这条斜线垂直 如果一条直线与一个平面平行 那么这条直线与这个平面的垂线垂直 即若 a b 则 a b 三个两两垂直的平面的交线两两垂直 即若 且 a b c 则 a b b c c a 二 直线与平面 1 直线在平面内 直线的任意两点在平面内 2 直线与平面平行 定义 若一条直线和平面没有公共点 则这直线与这个平面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 则这条直线与这个平面平行 即若 a b a b 则 a 两个平面平行 其中一个平面内的直线平行于另一个平面 即若 l 则 l 如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面 那么这条直线和这个平面平行 即若 l l 则 l 在一个平面同侧的两个点 如果它们与这个平面的距离相等 那么过这两个点的直线与这个平 面平行 即若 A B A B 在 同侧 且 A B 到 等距 则 AB 两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行 也与另一个平面平行 即若 a a a 则 如果一条直线与一个平面垂直 则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行 即若 a b b a 则 b 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面 那么另一条也平行于这个平面 或在这个平面内 即若 a b a b 或 b 3 直线与平面垂直 定义 若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 则这条直线和这个平面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 即若 m n m n B l m l n 则 l 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于同一平面 即若 l a a 则 l 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 即若 l 则 l 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 即若 a l l a 则 l 如果两个相交平面都垂直于第三个平面 则它们的交线也垂直于第三个平面 即若 且 a 则 a 三 平面与平面 1 平面与平面平行 判定 定义 如果两个平面没有公共点 那么这两个平面平行 即无公共点 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 即若 a b a b P a b 则 垂直于同一直线的两平面平行 即若 a a 则 平行于同一平面的两平面平行 即若 则 一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线 则这两个平面平行 即若 a b c d a b P a c b d 则 2 平面与平面垂直 判定 定义 两个平面相交 如果所成的二面角是直二面角 那么这两个平面互相垂直 即二面角 a 90 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 即若 l l 则 一个平面垂直于两个平行平面中的一个 也垂直于另一个 即若 则 3 射影及有关性质射影及有关性质 1 点在平面上的射影自一点向平面引垂线 垂足叫做这点在这个平面上的射影 点的射影还是 点 2 直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线 过两垂足的直线叫做直线在这平面上 的射影 3 图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形 在该平面上的射影 4 射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 i 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 ii 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 iii 垂线段比任何一条斜线段都短 4 空间中的各种角空间中的各种角 一 异面直线所成的角 求法 1 转化为共面直线再求 2 建立空间直角坐标系 二 直线与平面所成的角 1 定义 和平面所成的角有三种 i 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫这条直线和这个平面所成的角 ii 垂线与平面所成的角 直线垂直于平面 则它们所成的角是直角 iii 一条直线和平面平行 或在平面内 则它们所成的角是 0 的角 2 取值范围0 90 3 求解方法 作出斜线在平面上的射影 找到斜线与平面所成的角 解含 的三角形 求出其大小 建立空间直角坐标系 三 二面角及二面角的平面角 1 半平面 直线把平面分成两个部分 每一部分都叫做半平面 2 二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个平面叫做二面角的面 即二面角由半平面一棱一半平面组成 若两个平面相交 则以两个平面的交线为棱形成四个二面角 二面角的大小用它的平面角来度量 通常认为二面角的平面角 的取值范围是 0 180 3 二面角的平面角 以二面角棱上任意一点为端点 分别在两个面内作垂直于棱的射线 这两条射线所组成的角叫 做二面角的平面角 如图 PCD 是二面角 AB 的平面角 平面角 PCD 的大小与顶点 C 在棱 AB 上的位置无关 二面角的平面角具有下列性质 i 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面 即 AB 平面 PCD ii 从二面角的平面角的一边上任意一点 异于角的顶点 作另一面的垂线 垂足必在平面角的另 一边 或其反向延长线 上 iii 二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直 即平面 PCD 平面 PCD 找 或作 二面角的平面角的主要方法 i 定义法 ii 垂面法 iii 三垂线法 根据特殊图形的性质 4 求二面角大小的常见方法 先找 或作 出二面角的平面角 再通过解三角形求得 的值 利用面积射影定理 S S cos 其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积 S 是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积 为二面角的大小 利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小 建立空间直角坐标系 5 空间的各种距离空间的各种距离 一 点到平面的距离 1 定义 面外一点引一个平面的垂线 这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距 离 2 求点面距离常用的方法 1 直接利用定义求 找到 或作出 表示距离的线段 抓住线段 所求距离 所在三角形解之 2 利用两平面互相垂直的性质 即如果已知点在已知平面的垂面上 则已知点到两平面交线的距 离就是所求的点面距离 3 体积法其步骤是 在平面内选取适当三点 和已知点构成三棱锥 求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S 由 V S h 求出 h 即为所求 这种方法的优点是不必作出垂线 3 1 即可求点面距离 难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算 4 转化法将点到平面的距离转化为 平行 直线与平面的距离来求 二 直线到平面的距离 1 定义一条直线和一个平面平行 这条直线上任意一点到平面的距离 叫做这条直线和平 面的距离 2 求线面距离常用的方法 直接利用定义求证 或连或作 某线段为距离 然后通过解三角形计算之 将线面距离转化为点面距离 然后运用解三角形或体积法求解之 作辅助垂直平面 把求线面距离转化为求点线距离 三 异面直线的距离 1 定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线 两条异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段的长度 叫做两条异面直线的距离 任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段 2 求两条异面直线的距离常用的方法 定义法 题目所给的条件 找出 或作出 两条异面直线的公垂线段 再根据有关定理 性质求 出公垂线段的长 此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形 转化法 为以下两种形式 线面距离面面距离 等体积法 最值法 射影法 公式法 四 平行平面的距离 1 定义 个平行平面同时垂直的直线 叫做这两个平行平面的公垂线 公垂线夹在两个平行 平面间的部分 叫做这两个平行平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平 面的距离 2 求平行平面距离常用的方法 直接利用定义求 证 或连或作 某线段为距离 然后通过解三角形计算之 把面面平行距离转化为线面平行距离 再转化为线线平行距离 最后转化为点线 面 距离 通 过解三角形或体积法求解之 三 解析几何 直线与圆 一 求圆的方程 1 已知三点求圆 2 待定系数法求圆 3 已知圆心所在的方程与点求圆 4 轨迹求圆 例 1 点 0 2 是圆 x y 16 内的定点 点 B C 是这个圆上的两个动点 若 BA 22 CA 求线段 BC 中点 M 的轨迹方程 例 2 求与 y 轴相切 圆心在直线 x 3y 0 上 且被直线 y x 截得的弦长为的 72 圆的方程 例 3 已知圆 C 的圆心在直线 x y 1 0 上 且与直线 4x 3y 14 0 相切 又 1 l 2 l 圆 C 截直线 3x 4y 10 0 所得的弦长为 6 求圆 C 的方程 3 l 二 弦长 1 点差法 2 垂径定理法 例 1 已知直线 与圆 l 052 yx C 36 1 7 22 yx 1 判断直线 圆的位置关系 l 2 求直线 被圆所截得的弦长 lC 例 2 已知圆 C 直线 mx y 1 m 0 51 2 2 yx 1 求证 对 m R 直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 2 设 l 与圆 C 交于 A B 两点 若 AB 的绝对值 根号 17 求 l 的倾斜角大小 3 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 三 求切线 1 点在圆上 2 点在圆外 3 斜率为 k 四 求最值 1 直线系与圆求弦的最值 2 几何意义 1 斜率 2 截距 3 方程求交点 例 1 已知 M x y 是圆 C 上任意一点 1 2 4 22 yx 求 1 y x 的取值范围 2 y x 的取值范围 例 2 已知圆 C 直线 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 25 2 1 22 yx l m R 1 证明 对 m R 直线 与圆 C 恒相交于两点 2 求直线 被圆 C ll 截得的线段的最短长度 并求此时 m 的值 例 3 已知圆 C x 3 2 y 4 2 4 直线 L 过定点 A 1 0 1 若 L 与圆相切 求 L 的方程 2 若 L 与圆相交于 P Q 两点 求三角形 CPQ 的面积的最大值 并求 此时 L 的方程 五 交点弦 四 概率统计 一 随机事件的概率 1 随机事件 A 发生的可能性大小的度量 数值 称为事件 A 发生的概概 率率 记作 P A 2 从频率的性质看概率的性质 记一个事件 A 在次重复试验中 发生的次数 则其发生的频率为 n n r A n fA n n r A fA n 二 古典概型 AA P A 中元素个数使发生的基本事件数 中元素个数基本事件总数 有关公式与法则复习 有关公式与法则复习 1 1 排列 排列 从个不同元素中任取个不同的元素 按照一定的顺序排成一列 所有排列种数记nm 为 则 m n P 0 m n mn n Pmn nm nmn 规定 0 1 1 2 1 n nnnnm nm 2 2 可重复排列 可重复排列 从个不同元素中 每次取出一个元素 观察后放回去 第二次再从中取出一n 个元素 观察后再放回去 如此重复次 将次观察到的元素按照一