高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.3 函数的单调性（1）课件 新人教B版必修1.ppt

第二章 函数 2 1函数 2 1 3函数的单调性 第1课时函数的单调性的定义 自主预习学案 很多数学概念都是现实世界的一种反映 从本质上看 函数单调性揭示的是一种变化趋势 趋势有很多种 例如股票震荡上升的趋势 全球的气候变化趋势 虽然不断有局部的战争和冲突 和平与发展 却是国际关系的基本趋势 数学上的单调性 是绝对上升或下降的趋势 这是数学单调趋势的特征 怎样表示这种绝对的上升和下降呢 如果是有限个数字 把它们一个个排列起来就行了 现在的问题是有无限多个变量的值 没法排 数学的思考是 任意取两个 都是上升 下降 保证不出意外 这就是无限多个变量时 对 一个不能少 的数学处理 下面我们就一起来探索吧 1 函数单调性的概念一般地 设函数y f x 的定义域为a 区间m a 如果取区间m中的 两个值x1 x2 改变量 x x2 x1 0 则当 y f x2 f x1 0时 就称函数y f x 在区间m上是 如图 1 所示 任意 增函数 当 y f x2 f x1 0时 就称函数y f x 在区间m上是 如图 2 所示 如果一个函数在某个区间m上是增函数或是减函数 就说这个函数在这个区间m上具有 区间m称为 减函数 单调性 单调区间 2 判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f x 在给定的区间m上的单调性的一般步骤 1 任取x1 x2 m 且 y x2 x1 0 2 作差 y 3 通常所用的方法有 因式分解 配方 分子有理化 分母有理化 通分等 4 定号 即判断 的正负 5 下结论 即指出函数f x 在给定的区间m上的 f x2 f x1 变形 y 单调性 解析 当x 2 4 时 f x 的值恒等于2 故函数f x 2在 2 4 上不具有单调性 d 解析 由函数单调性的定义可知 判断单调性时不能用特殊值代替任意值 故选d d 解析 f x x2 2x 3 x 1 2 2 函数f x 的图象的对称轴为x 1 故函数f x 的单调递增区间为 1 1 x1 x2 互动探究学案 命题方向1求函数的单调区间 分析 首先分类讨论 去掉绝对值号 将函数化为分段函数 然后画出图象求解即可 规律方法 1 作出函数的图象 利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间 但要注意图象一定要画准确 2 函数的单调区间是函数定义域的子集 在求解的过程中不要忽略了函数的定义域 3 一个函数出现两个或两个以上的单调区间时 不能用 连接两个单调区间 而要用 和 或 连接 命题方向2用定义证明函数的单调性 分析 函数解析式和区间已给出 要证明函数是减函数 只需用定义证明即可 规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤如下 1 取值 设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差变形 作差f x1 f x2 并通过因式分解 通分 配方 有理化等手段 转化为易判断正负的式子 3 定号 确定f x1 f x2 的符号 4 结论 根据f x1 f x2 的符号及定义判断单调性 命题方向3证明含参数的函数的单调性 规律方法 判断含参数的函数的单调性时 利用定义边证明边讨论 从而确定单调性 当a 0时 f x2 f x1 0 故此时函数f x 在 0 上是增函数 综上所述 当a 0时 f x 在 0 上是减函数 当a 0时 f x 在 0 上是增函数 没有给出具体解析式的函数 称为抽象函数 解决此类函数的单调性问题通常有两种方法 一种是 凑 凑定义或凑已知 从而使用定义或已知条件得出结论 另一种是 赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系 有时可能要进行多次尝试 研究抽象函数的单调性是一类重要题型 证明抽象函数的单调性常采用定义法 抽象函数的单调性问题 分析 利用单调性的定义 判断f x2 f x1 的符号即可 又y f x 在 0 上为增函数 且 x x2 x1 0 y f x2 f x1 0 即f x2 f x1 f x1 f x2 0 f x2 f x1 0 f x 在 0 上为减函数 解析 函数y