高中数学 第一节 线性变换与二阶矩阵课件 新人教A版选修42.ppt

选修4 2矩阵与变换第一节线性变换与二阶矩阵 1 线性变换 1 在平面直角坐标系xoy内 很多几何变换具有下列形式 其中系数a b c d均为常数 我们把形如 的几何变换叫做线性变换 式叫做这个线性变换的坐标变换公式 p x y 是p x y 在这个线性变换作用下的像 2 常见的平面变换 恒等变换 变换 变换 反射变换 变换 变换 旋转 切变 投影 伸缩 2 二阶矩阵的概念及与向量的乘法 1 矩阵的概念 由4个数a b c d排成的正方形数表 称为二阶矩阵 数 称为矩阵的元素 在二阶矩阵中 横的叫行 竖的叫列 通常用大写英文字母a b c 表示 特殊矩阵零矩阵 记为0 二阶单位矩阵 记为e2 a b c d 2 二阶矩阵相等若a b 则 3 二阶矩阵与向量的乘积设则 a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2 3 线性变换的基本性质设a是一个二阶矩阵 是平面上的任意两个向量 1 2是任意实数 直线 或一点 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 式子x 2x2 y是线性表达式 2 二阶矩阵既是一个数 也是一个代数式 3 如果两个二阶矩阵的元素是一样的 那么这两个矩阵相等 4 对于旋转变换 5 二阶矩阵a与平面向量的乘积仍然是一个平面向量 解析 1 错误 线性表达式都是关于x y的一次式 故错误 2 错误 二阶矩阵仅仅是一个包含两行 两列的数表 它既不是数 也不是代数式 3 错误 两个矩阵相等 不但要求元素相同 而且要求元素的位置一样 4 正确 表示顺时针旋转表示逆时针旋转两种变换是一个变换 5 正确 二阶矩阵与向量的乘积仍然是向量 答案 1 2 3 4 5 考向1二阶矩阵与平面向量的乘法 典例1 已知在一个二阶矩阵m的变换作用下 点a 1 2 变成了点a 4 5 点b 3 1 变成了点b 5 1 1 求矩阵m 2 若在矩阵m的变换作用下 点c x 0 变成了点c 4 y 求x y 思路点拨 1 首先设出矩阵m 再利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程组 再解方程组求出矩阵m 2 利用矩阵m与平面向量的乘法列出关于x y的方程组 解方程组求x y 规范解答 互动探究 试求在本例中矩阵m的变换作用下 点p 1 1 变成的点p 的坐标 解析 由本例解答可知所以p 的坐标为 3 3 拓展提升 二阶矩阵与向量乘法应用的三个解题步骤此类问题一般涉及变换前的坐标 变换后的坐标 变换矩阵三个元素 1 设 设出所求的量 2 列 利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程或方程组 3 解 解方程或方程组求未知元素 提醒 列方程或方程组时 要分清变换前 后的坐标防止代入错误 变式备选 考向2线性变换前后的曲线方程的求法 典例2 2013 福州模拟 已知矩阵把点 1 1 变换成点 2 2 1 求a b的值 2 求曲线c x2 y2 1在矩阵a的变换作用下对应的曲线方程 思路点拨 1 利用矩阵与向量的乘法列出关于a b的方程组 解方程组求出a b 2 设出要求曲线的任意点的坐标及变换前的对应点坐标 利用代入法求曲线的方程 规范解答 2 设曲线c上任一点m x0 y0 在矩阵a的变换作用下为点m x y m 在曲线c上故所求曲线方程为 拓展提升 线性变换前后的曲线方程的求法 1 已知变换前的曲线方程 变换矩阵 求变换后的曲线方程 由线性变换代入变换前的方程 即可得到关于x y 的方程 即为所求 2 已知变换后的曲线方程 变换矩阵 求变换前的曲线的方程 将线性变换直接代入到变换后的曲线方程 整理得到关于x y的方程 即为所求 3 求变换前或后曲线方程的共同特点是将坐标代入已知的曲线方程 求未知的曲线的方程 其实质是代入法求曲线方程 提醒 在利用线性变换代入求曲线方程的过程中要分清坐标是变换前的 还是变换后的 避免代入时出现错误 变式训练 二阶矩阵m对应的变换将点 1 1 与 2 1 分别变换成点 1 1 与 0 2 1 求矩阵m 2 设直线l在变换m作用下得到了直线m x y 4 求l的方程 2 任取直线l上一点p x y 经矩阵m变换后为点p x y 所以直线l的方程为 x 2y 3x 4y 4 即x y 2 0 考向3变换矩阵的求法 典例3 已知圆x2 y2 1在矩阵对应的变换作用下变为椭圆求矩阵a 思路点拨 利用线性变换表示出x y 代入到变换后的椭圆方程 可得到变换前的圆的方程 再利用此方程与已知方程相等求a b的值 规范解答 设p x y 为圆上的任意一点 在矩阵a对应的变换作用下变为另一个点p x y 又点p x y 在椭圆由已知条件可知 x2 y2 1 所以a2 9 b2 4 因为a 0 b 0 所以a 3 b 2 即 拓展提升 求系数的一般思路对于同一条曲线 在同一个坐标系中 其曲线的方程只能有一种形式 如果利用不同的方法求出两个曲线方程 则这两个曲线方程就是相同的 即两个曲线方程的对应系数相等 利用这个关系可以列出方程组 求相应的系数的值 变式训练 已知a b r 若所对应的变换tm把直线l 3x 2y 1变换为自身 试求实数a b的值 解析 在直线l上任取一点p x y 设