石景山区2019届高三第一学期期末数学(理)试题及答案(官方版)

第 1 页 石景山区石景山区 2018 2019 学年第一学期高三期末试卷学年第一学期高三期末试卷 数数 学 理 学 理 本试卷共 6 页 满分为 150 分 考试时间为 120 分钟 请务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无 效 考试结束后上交答题卡 第一部分第一部分 选择题 选择题 共共 40 分 分 一 选择题共一 选择题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知集合 则 0 Pxx R 1 0 1 2 Q PQ A 1 2 B 0 2 C 0 1 D 0 1 2 2 设 是虚数单位 复数 则的共轭复数为i 2i 1i z z A 1 i B 1i C 1i D 1i 3 阅读右边的程序框图 运行相应的程 序 则输出的值为n A 3 B 4 C 5 D 6 4 下列函数中为偶函数的是 A ln 1 ln 1 yxx B ln 1 ln 1 yxx C cosyxx D cosyxx 5 某四面体的三视图如图所示 该四面 体的体积为 A 4 3 3 B 8 3 3 C 4 3 是 否 0 0 1Sna 开始 结束 20S 1nn 2aa SSa 输出 n 出 fdnjfnnnn 2aa 1nn 第 2 页 D 8 3 6 已知平面向量 则下列关系正确的是 1331 2222 ab A abb B aba C abab D abab 7 在中 则的面积为ABC 7 3 60acA ABC A 15 3 2 B 15 3 4 C 12 3D 6 3 8 已知函数则下列关于函数的零点个数 2 1 0 log 0 axx f x xx 1yff x 的判断正确的是 A 当时 有 4 个零点 当时 有 1 个零点0a 0a B 当时 有 3 个零点 当时 有 2 个零点0a 0a C 无论为何值 均有 2 个零点a D 无论为何值 均有 4 个零点a 第二部分第二部分 非选择题共 非选择题共 110110 分 分 二 填空题共二 填空题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 分 9 在的展开式中 的系数为 用数字作答 5 12 x 3 x 10 设为等差数列的前项和 则其通项公式 n S n an 13 3 18aS n a 11 若变量满足约束条件 则的最小值等于 x y12xyx 2zxy 12 写出 的一个充分不必要条件 1 2x x 13 已知双曲线中心在原点 一个焦点为 点在双曲线上 且线段 1 5 0 F P 的中点坐标为 则双曲线的离心率为 1 PF 0 2 第 3 页 14 2018 年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于 2019 年全面施行 不过 为 了 让老百姓尽早享受到减税红利 自 2018 年 10 月至 2018 年 12 月 先将工资所 得税起征额由 3500 元 月提高至 5000 元 月 并按新的税率表 见附录 计算纳 税 按照税法规定 小王 2018 年 9 月和 10 月税款计算情况分别如下 月 份 纳税 所得额 起征 额 应纳应纳 税额税额 适用 税率 速算 扣除数 税款税款 税后税后 工资工资 9 60003500250010 1051455855 10 6000500010003 0305970 相关计算公式为 应纳税额 纳税所得额 起征额 税款 应纳税额适用税率 速算扣除数 税后工资 纳税所得额 税款 1 某职工甲 2018 年 9 月应纳税额应纳税额为 2000 元 那么他 9 月份的税款为 元 2 某职工乙 2018 年 10 月税后工资税后工资为 14660 元 则他享受减税红利为 元 附录 原税率表 执行至 2018 年 9 月 新税率表 2018 年 10 月起执行 应纳税额应纳税额税率税率 速算速算 扣除数扣除数 应纳税额应纳税额税率税率 速算速算 扣除数扣除数 不超过 1500 元3 0 元不超过 3000 元3 0 元 1500 元至 4500 元10 105 元3000 元至 12000 元10 210 元 4500 元至 9000 元20 555 元12000 元至 25000 元20 1410 元 9000 元至 35000 元25 1005 元25000 元至 35000 元25 2660 元 第 4 页 三 解答题共三 解答题共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 函数的部分图象如图所示 sin 0 0 2 f xAxA 求的最小正周期及解析式 f x 设 求函数在区间上的最小值 cosg xf xx g x 0 2 O y x 1 1 4 3 3 第 5 页 16 本小题 13 分 年月 某校高一年级新入学有名学生 其中名男生 名女生 学校计划为家远20189360200160 的高一新生提供间男生宿舍和间女生宿舍 每间宿舍可住 2 名同学 54 该校 数学与统计 社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况 按照性别进行 分层抽样 其中共抽取 40 名男生家庭居住地与学校的距离数据 单位 如下 km 5677 588 443 54 54 3 5432 541 666 55 55 7 3 15 24 456 43 57433 4 6 94 85 655 66 53676 6 根据以上样本数据推断 若男生甲家庭居住地与学校距离为 他是否能住宿 说明理由 8 3km 通过计算得到男生样本数据平均值为 女生样本数据平均值为 求所有样本数5 1km4 875 km 据的平均值 已知能够住宿的女生中有一对双胞胎 如果随机分配宿舍 求双胞胎姐妹被分到 同一宿舍的概率 第 6 页 17 本小题 14 分 如图 在中 可以通过以直线为轴旋转得 AOB 90 2 1AOBAOOB AOC AOB AO 到 且 动点在斜边上 OBOC DAB 求证 平面平面 COD AOB 当为的中点时 求二面角的余弦值 DABBCDO 求与平面所成的角中最大角的正弦值 CDAOB D A O C B 第 7 页 18 本小题 14 分 已知抛物线经过点 其焦点为 为抛物线上除了原点外的任一点 过 2 2C ypx 1 2 PFM 的直线 与轴 轴分别交于 Mlxy AB 求抛物线的方程以及焦点坐标 C 若与的面积相等 求证 直线 是抛物线的切线 BMF ABF lC 第 8 页 19 本小题 13 分 已知函数 lnf xxax 当时 求在处的切线方程 0a f x 1x 当时 若有极小值 求实数的取值范围 0a f xa 第 9 页 20 本小题 13 分 将 1 至这个自然数随机填入方格的个方格中 每个方格恰填一个数 2 n 2 nnn 2 n 对于同行或同列的每一对数 都计算较大数与较小数的比值 在这个比值 2 nn N 2 1 nn 中的最小值 称为这一填数法的 特征值 若 请写出一种填数法 并计算此填数法的 特征值 2n 当时 请写出一种填数法 使得此填数法的 特征值 为 3n 1n n 求证 对任意一个填数法 其 特征值 不大于 1n n 第 10 页 第 11 页 石景山区石景山区 2018 2019 学年第一学期高三期末学年第一学期高三期末 数学 理 试卷答案及评分参考数学 理 试卷答案及评分参考 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 题号12345678 答案DCBBACDA 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 10 11 803n4 12 答案不唯一 13 14 2x 5951155 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 个小题 共个小题 共 8080 分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题 13 分 解 由图可得 1 A 所以 4 233 T 2 1T 当时 可得 3 x 1 xf sin 1 3 26 sin 6 f xx cossin cossin coscos sincos 666 g xf xxxxxxx 31 sincossin 226 xxx 0 2663 xx 当 即时 有最小值为 66 x 0 x xg 2 1 16 本小题 13 分 解 能住宿 因为 200 名男生中有 10 名男生能住宿 所以 40 名男生样本中有 2 名男生能住宿 第 12 页 样本数据中距离为 8 4km 和 8km 的男生可以住宿 距离为 7 5km 以下的男生不可以住宿 由于 8 3 8 所以男生甲能住宿 根据分层抽样的原则 抽取女生样本数为 32 人 所有样本数据平均值为 40 5 1324 875 5 4032 解法一 记住宿的双胞胎为 其他住宿女生为 12 A A 123456 B B B B B B 考虑的室友 共有七种情况 1 A 2123456 A B B B B B B 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 1 7 解法二 设 双胞胎姐妹被分到同一宿舍 为事件 A 则 222 642 2222 8642 41 7 C C C P A C C C C 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 1 7 17 本小题 14 分 证明 在中 AOC AOOC 且 OBOCAOOB OI 平面 OCAOB 又平面 OCCOD 平面平面 COD AOB 解 如图建立空间直角坐标系 xyzO 为的中点 DAB 0 0 0 O 0 0 2 A 0 1 0 B 1 0 0 C 1 01 2 D 1 0 0 OC uuu r 1 01 2 OD uuu r 11 0 BC uu u r 1 01 2 BD uuu r 设为平面的法向量 1111 nxyz u r OCD z y x D A O C B 第 13 页 即 1 1 0 0 n OC n OD u r uuu r u r uuu r 1 11 0 1 0 2 x y z 令 则 1 1 z 1 2 y 是平面的一个法向量 1 02 1 n u r BCD 设为平面的法向量 2222 nxyz u u r OCD 即 2 2 0 0 nBC nBD u u r uu u r u u r uuu r 22 22 0 1 0 2 xy y z 令 则 2 1z 2 2x 2 2y 是平面的一个法向量 2 2 2 1 n u u r OCD 12 12 222222 12 0 2 2 1 15 cos 5 0 2 1221 n n nn nn u r u u r u ru u r u ru u r 二面角的余弦值为 BCDO 5 5 解法一 平面 OCAOB 为与平面所成的角 CDOCDAOB 1 OC 点到直线的距离最小时 的正弦值最大 OAB CDO 即当时 的正弦值最大 ODAB CDO 此时 2 5 5 OD 3 5 5 CD 5 sin 3 CDO 解法二 设 所以 AD AB uuu ruu u r 0 22 D 1 22 CD uuu r 第 14 页 平面的法向量 AOB 1 0 0 n r 所以 2 2 11 sin 49 585 5 55 n CD n CD r uuu r ruuu r 所以当时 与平面所成的角最大 4 5 CDAOB 5 sin 3 第 15 页 18 本小题 14 分 解 因为抛物线经过点 2 2C ypx 1 2 P 所以 2 22p 2p 所以抛物线的方程为 焦点点坐标为 C 2 4yx F 1 0 因为与的面积相等 BMF ABF 所以 所以为的中点 BMAB BAM 设 则 0000 0 M xyx y 0 0 Bx 所以直线 的方程为 l 0 0 0 2 y yxx x 与抛物线联立得 2 4yx 2 0 0 0 8 40 x yxx y 22 00 00 2 00 6464 16160 4 xx xx yx 所以直线 是抛物线的切线 lC 19 本小题 13 分 解 当时 0a lnf xxx ln1fxx 1 1 1 0ff 所以在处的切线方程为 f x 1x 1yx 有极小值函数有左负右正的变号零点 f x fx 1 lnln1 a fxxxax xx 令 则 g xfx 22 1 axa g x xxx 令 解得 0g x xa 的变化情况如下表 x g x g x x 0 aa a 第 16 页 g x 0 g x 减极小值ln 2a 增 若 即 则 所以不存在变号零点 不合题意 ln20a 2 ae 0g x fx 若 即时 ln20a 2 ae ln20g aa 1 10ga 所以 使得 0 1 xa 0 0g x 且当时 当时 0 xa x 0g x 0 1 xx 0g x 所以当时 的变化情况如下表 1 xa x fxf x x 0 a x 0 x 0 1 x fx 0 f x 减极小值增 所以 2 0ae 20 本题 13 分 解 前两问答案不唯一 请酌情给分 不妨设 A 为任意一个填数法 记此填数法的 特征值 为 C A 考虑含 n 1 个元素的集合 2222 1 2 Bnnnnn 易知其中必有至少两个数处于同一行 设为 2 12 xxn 也必有至少两个数处于同一