2013年1月初一潜能班第十三讲 抽屉原理(一)教师用.doc

雨露七年级上数学创造性学习潜能开发班第十三讲 抽屉原理（一）【核心内容】一、代数问题中抽屉原理的应用【例1】【解答】只借一本的有：A、B、C、D，有四种情形；借两本的有：AA、AB、AC、AD、BB、BC、BD、CC、CD、DD，有10种情形；学生借书的情况共有14种作为14个抽屉，那么根据抽屉原理，至少有15个学生借书后即可断定，他们当中至少有两人所借的本数及类型完全相同【例2】【解答】任取3个球的颜色搭配有以下10种可能，分别是：有三红、两红一黄、两红一兰、三黄、两黄一红、两黄一兰、三兰、两兰一红、两兰一黄、一红一黄一兰；看作10个抽屉要保证至少有4人摸出的球的颜色搭配完全相同，根据抽屉原理可知，至少有31人摸球之后就可断定其中至少有4人摸出的球的颜色搭配完全相同【例3】【解答】在圆周上以1为起点，按顺时针方向依次记所排的数为a1、a2、a99、a100，设A1a2+a3+a4、A2a5+a6+a7、A33a98+a99+a100，则A1A2A33=2+3+4+5+100=15333由原理可知，在A1、A2、A33中至少有一个至少为153，即一定有三个相邻的数，它们的和不小于153【例4】【解答】对每个客人，恰好有一种转动使得他正对着圆桌上自己的名字，除去刚入座时都座错了的情况，在圆桌的其余9种转动中应用10个人各有一次对上自己的名字，因此存在一种转动至少有2人对上自己的名字【例5】【解答】6个抽屉：第一个抽屉：1；第二个抽屉：2,3；第三个抽屉：4,5,6；第四个抽屉：7,8.9，10；第五个抽屉：11,12,13,14,15，16；第六个抽屉：17,18,19,20，21,22,23,24,25从上面的6个抽屉中任意取出7个数，根据抽屉原理，必有2个数取自抽屉2到6的五个抽屉中的一个抽屉，这两个数中大数不超过小数的1.5倍【例6】【解答】四个正整数、除以3的余数可能是0、1、2，共有三个抽屉，四个“苹果”，必定有两个数除以3的余数相同，则这两个数的差能被3整除二、几何问题中抽屉原理的应用【例7】【解答】每条直径两端数字的和最小为1+1=2，最大为520+502=1004，共有1005条直径，共有1005个和，则必定有两个和相等，即一定可以找到两条直径，它们两端的和相等【例8】【解答】分别连结长方形两组对边的中点，将长方形分为4个长、宽分别为4cm和3cm的小长方形，其对角线长5cm，把它们作4个抽屉, 根据抽屉原理，5个点至少有两个点在同一个小长方形形内，这两个点之间的距离不超过对角线长5cm【一试身手】【基础训练】1解答：3枚棋子的颜色共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两个东西在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的2解答：用A、B、C、D分别代表红桃、方块、梅花、黑桃，则有以下组合方式：AA、AB、AC、AD、BB、BC、BD、CC、CD、DD共10种不同的情形，即10个抽屉，要使两人所摸两张牌的花色情况是相同的，则至少需要11人；3（1）属相有12种不同的情形，因此有 12个抽屉，25个人中，至少有3个人的属相相同（2）要想保证至少有5个人的属相相同，则人数必须不小于49人，根据不能保证有6个人属相相同，那么人数最多60人，所以总人数应在49人到60人的范围内4解答：拿球的配组方式可有9种，至少有8名同学所拿的球种类是完全一样的5（1）证明：若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种共有10种类型把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同（2）共有10个“抽屉”，要使至少有6名同学借书的种类相同，则必须有51个苹果，即至少有51名同学6证明：设这11个整数为：，、，首先证明被3整除的情形任意一个整数被3除的余数分别是0、1、2，共三种，而11个整数中，必定存在三个整数被3除的余数相同，不妨设，、，则能被3整除，设；同理：在、这8个整数中必定存在三个整数被3除的余数相同，不妨设、，设；同理：在、这5个整数中必定存在三个整数被3除的余数相同，不妨设、，设；在整数、中，必定有两个整数被2除的余数相同，不妨设、，设，则=，能被6整除；任意11个整数，其中必有6个数的和是6的整数倍.7证明：两种颜色看成两个抽屉，（红）、（蓝）正方体有6个面，即有6个苹果，必定有三个苹果在同一个抽屉中，则问题得证【提高训练】1解答：在10个数中一定有一个数是1，不妨设a101，除去a10之外，把a1、 a2、a9这9个数按顺序分为三组a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9，下面证明这三组中至少有一组数之和不小于18因为这三组数之和的总和为：=；由原理可知，（a1+a2+a3）、（a4+a5+a6）、（a7+a8a9）中一定有一个和至少为18即这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于182解答：333，335，353，533，337，373， 733，357，375，555，553，535，355，557，575， 755，537，573777，773，737，377，775，757， 577，735，753共有27种不同的三位数，把它们作27个抽屉根据抽屉原理，28个三位数中至少有两个相等3解答：210=2357，显然8个正整数、中必定存在两个整数的差是7的整数倍，不妨设和，则；在、中必定存在两个整数的差是5的整数倍，不妨设和，则；在、中必定存在两个整数的差是3的整数倍，不妨设和，则；在、中，如果有一个为偶数，不妨设为偶数，则；可得到=，结论成立；在、中，如果没有偶数，则、都是奇数，可得到与的差为偶数，不妨设，可得到=，结论成立；综上所述：对于8个正整数、用“”、“”以及括号总可以组成一个整数，使这个整数是210的整数倍4解答：对于2、22、222、，这2011个数中，如果有一个数能被2011整除，则结论成立；若这2011个都不能被2011整除，则必定存在两个整数除以2011的余数相同，不妨设和除以2011的余数相同，设，则能被2011整除，即=，显然2011中既没有2的约数，也没有5的约数，因此必定能被2011整除，综上所述：存在形式为，使得这个数是2011的整数倍；5证明：任意一个整数被10除余数只能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；构造抽屉：（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（5）对于7个不同的自然数，如果有两个整数被10除的余数相同，则其差显然能被10整除；如果任意两个整数被10除的余数不相同，则必定存在两个整数被10除的余数在上述5个抽屉中的一个抽屉中，且不相同，而上述抽屉中任意两个不同整数的和能被10整除；所以任意给定7个不同的自然数，其中必有两个整数，其和或差是10的倍数6证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、349，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同雨露七年级数学潜能班第十三讲 抽屉原理（一）成就测试一选择题（每小题15分，共45分）1B把袋中的球按照四种颜色做成四个抽屉，那么取9个球，9=42+1，则这9个球中必定有三个球属于某一个抽屉2C正整数除以10的余数有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十种可能，也就是有十个抽屉，至少需要11个苹果，即11个数就能保证有两个数在同一个抽屉中3答案：B解答：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐二选择题：（每个空15分，共45分）1168；6将一年的12个月作为抽屉，2013作为苹果，则有=168；（2013不是12的整数倍）；将一年的每一天作为抽屉，2013作为苹果，则有=6；（2013不是366的整数倍）；25将长方形分成四个小长方形，那么5个同学不全处与A、B、C、D、O的位置时，那么必定有两个同学之间的距离小于5米；当5个同学在A、B、C、D、O这5个点时，距离最短的两个同学之间的距离最大，最大是5米213张；解答：抽取5张可以保证有两张同一花色，从反面考虑，若每长=种花色都取3张，则需要取12张，取第13张，必定存在同一花色的4张；三解答题（本小题10分）1【解答】去一处的可能有4种（趵突泉、千佛山、长青园博园、章丘百脉泉）；去两处的有6种