用分类讨论思想找满足条件的点.doc

用分类思想探求“满足条件的点”探求满足某些已知条件的点的坐标是中考数学的常见题型。这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高学生在求解这类问题时，会出现漏解、错解，甚至会无从下手等现象。为了帮助同学们掌握这一题型的特征与解法，本文筛选了几例2010年的中考试题，对其类型与解法予以剖析，供参考。1、等腰三角形中，因腰和底不确定需分类讨论已知线段AB，在平面内取一点P，使PAB为等腰三角形 探究方法：如果AB为底边，则作AB的中垂线（如图1），点P一定在中垂线上。如果AB为腰，且A为顶角，则要以A为圆心，AB长为半径画圆（如图2），点P一定在这个圆上。如果AB为腰，且B为顶角，则要以B为圆心，AB长为半径画圆（如图3），点P一定在这个圆上。图3图2图1图4图5图6图7例1如图4，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3，4)连接OA，若在直线a上存在点P，使AOP是等腰三角形那么所有满足条件的点P的坐标是 分析与解：解决此类问题的一般方法是先分类，后画图，再计算。若OA为腰，且O为顶角，以O为圆心，OA长为半径画圆(如图5)，计算可得成本；若OA为腰，且A为顶角，则要以A为圆心，AB长为半径画圆（如图6），计算可得；若OA为底边，则作OA的中垂线（如图7），计算可得，图8故所有满足条件的点P的坐标为，例2如图8，点、在上，且.若点是上的动点，要使为等腰三角形，则所有符合条件的点有( )A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个分析与解：本题可以采用先分类，后画图的方法求解(如图9)若AB为腰，且A为顶角，则以A为圆心，AB长为半径画A，与相交于 若AB为腰，且B为顶角，则以B为圆心，BA长为半径画B，与相交于 若AB为底边，则作AB的中垂线，与相交于所有符合条件的点有4个，故选D图10图11图122、直角三角形中，因直角边和斜边不确定需分类讨论已知线段AB，在平面内取一点P，使PAB为直角三角形 探究方法：如果已知边AB为斜边，则要以AB为直径画圆（如图10），点P一定在这个圆上。 如果已知边AB为直角边，且A为直角顶点，则要过A作AB的垂线（如图11），点P一定在这条垂线上。 如果已知边AB为直角边，且B为直角顶点，则要过B作AB的垂线（如图12），点P一定在这条垂线上。例3.在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，10)，点C在y轴上，且ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为 分析与解：解决此类试题的方法是先分类，后画图，再计算。若点C为直角顶点，则以AB长为直径画圆，与 y轴相交于（如图15），计算可得,，若点B为直角顶点，则过点B作垂线，与 y轴相交于（如图16），计算可得若点A为直角顶点，则过点A作垂线，与 y轴相交于（如图17），计算可得所以满足条件的C点的坐标为,，图17图16图15例4.如图18，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该图18抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由分析：第（1）问可先设成顶点式，再把C点坐标代入，求得函数解析式，第（2）问渗透分类讨论思想，由于直角边和斜边的不确定，分类讨论围绕直角顶点展开，当点P为直角顶点时，因为PD，所以当P运动到B点时，ADP为直角三角形；当点P为直角顶点时，通过计算A点坐标，可知AOC是一个等腰直角三角形，故OAC=45，又因为PD，所以P、D关于X轴对称，抓住两点纵坐标互为相反数即可求解。第（3）问是探究性问题，是在（2）的情景下探究以A、P、E、F为顶点的平行四边形，由于（2）中满足条件的点P有两个，故又要涉及分类讨论，当P1(1,0)时，A、P、E三点在x轴上，不能构成平行四边形；当P2(2,-1)时，因F要在抛物线上，故以AE为边的平行四边形不存在，只需考虑以AE为对角线的情景，先画出示意图，然后再根据条件计算。解：（1）由题意得抛物线解析式为：， 即图19（2）分两种情况：当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图19) 令=0, 得解得, B(1,0), A(3,0)P1(1,0)当点A为APD2的直角顶点时可计算得OAC=45P2、D2关于轴对称.设D2(,), P2(,)()+()=0图20解得, (舍去)P2(2,-1)P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1) (3) 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP交轴于点E,交抛物线于点F(如图20).当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形P(2,-1), 可令F(,1)解之得: , F点有两点,即F1(,1), F2(,1)图213、平行四边形中，因边和对角线不确定需分类讨论已知三点A、B、C，在平面内确定一点D，使以这四点为顶点的四边形ABCD为平行四边形。探究方法：如果以线段AB为边，则把线段AB沿BC方向平移线段BC的长，可得到点D1。 也可把线段AB沿AC方向平移线段AC的长，可得到点D2。图22如果以线段AB为对角线，则把线段AC沿CB方向平移线段CB的长，可得到点D3。(如图21)例5.如图22，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。分析：第（1）考查的是用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题。第（2）问涉及分类讨论思想，因AB作为边和对角线时，所构成的平行四边形是不确定的，所以理所当然要分情况讨论：若AB为边，因点Q在y轴上，故由AB=PQ可以确定点P的横坐标，但题目没有说明P在点Q的左边还是右边，又要分为P在点Q的左边和P在点Q的右边两种情况来计算点P的坐标。若AB为对角线，则AB与PQ互相平分，先求出点P的横坐标，再代入二次函数解析式求得纵坐标。解：（1）根据题意求得抛物线的表达式为y=x-x-1 （2）如图23所示，AB为边时，只要PQAB且PQ=AB=4即可。图23 又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，此时P1（4，）P2（-4,7）当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1） 例6在直角梯形中，,OA=6分别以边所在直线为轴、轴建立如图24所示的平面直角坐标系. （1）求点的坐标； （2）已知分别为线段上的点，直线交轴于点求直线的解析式；ABDE 图24FCOMNxy （3）点是（2）中直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.分析：第（1）问可先用勾股定理，求得某些线段的长，再根据点坐标的定义写出点B的坐标。第（2）考查用待定系数法求直线解析式，主要是求E点的坐标，过点E作EGx轴，利用三角形相似，求出线段OG、EG的长，即可得到点C的坐标，从而求出直线DE的解析式。第（3）问要在轴上方的平面内找一点使以ODMN为顶点的四边形是菱形，此问是一个探究性问题，由于OD是边还是对角线不确定，所以必须分类讨论，若OD为边，若OD为对角线,考虑到M是直线DE上的一个动点，所以在第类中又要分点M在OD的左侧和M在OD的右侧两种情况来计算，体现对知识的综合应用，涉及方程、函数、勾股定理、相似三角形、菱形的性质及一元二次方程的求解等等知识，对学生的能力提出了较高的要求。解：（1）作轴于点(如图25)， 求得 （2）作轴于点 得 解得 而故直线的解析式为（3）答：存在当OD为边时，当OD为边且M在OD的左侧时，（如图25）图25作轴于点，则轴，可得点坐标当OD为边且M在OD的右侧时，（如图26）图26延长交轴于点则轴.设点坐标为在中，解得（舍去），当OD为对角线时，（如图27）图27连接交于点则与互相垂直平分，点的坐标为综上所述，轴上方的点有三个，分别为 分类讨论是一