高等数学历年试题集锦.doc

高等数学历年试题集锦06-07第二学期高等数学A卷(备用卷)06-07第二学期高等数学A卷(备用卷)参考解答及评分标准06-07第二学期高等数学B卷(考试卷).doc06-07第二学期高等数学B卷(考试卷)参考答案及评分标准08级大一期末高数上册考试试卷08B.doc08级大一期末高数上册考试试卷08B答案广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 高等数学(2) （满分 100 分） 考试时间: 2007 年6月25日(第17周 星期一)广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A )课程名称: 高等数学（下）（满分100分）考试时间: 2007 年6月25日 (第17周 星期一)广东工业大学考试试卷 ( B )课程名称:高等数学(2)（满分 100 分） 考试时间: 2007 年6月25日(第17周 星期一)广东工业大学试卷参考答案及评分标准 (A)课程名称: 高等数学（2） 考试时间: 2007年6月25日(第17周 星期一)广东工业大学考试试卷 ( B )课程名称:高等数学A(1) 试卷满分 100 分考试时间: 2008 年1月14日 (第 20 周 星期一)广东工业大学考试 答题纸课程名称:高等数学A(1) 试卷满分 100 分考试时间: 2008 年1月14日 (第20周 星期一 )广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 高等数学(2) （满分 100 分） 考试时间: 2007 年 6 月 25 日 (第 17 周 星期一 )题 号一二三四五六七总分1234评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分，共20分） 1设 ，则 。 2 曲面 在点 处的法线方程为： 。 3设区域 ，则 = 。 4函数 在点处沿方向的方向导数为： 。 5 函数 ，对于，等于它的傅立叶级数不成立的 。二、选择题：（每小题4分，共20分）1曲线积分与路径无关，可微函数应满足条件（） A B. C D. 2设是单位球面的外侧，则曲面积分：=（ ）。A B. C D. 学 院 ： 专业： 学号： 姓名：装 订 线3 对于二元函数 ，极限为（ ）。A不存在 B. 0 C1 D. 无穷大4改变积分次序后 =（ ）。 A B C D 5圆锥 在圆柱体 内那一部分的面积为（ ）。（A） （B） （C） （D）三、计算题（每小题8分，共24分）1. 计算 ，其中是球面 被平面 所截得的圆周。2利用级数收敛的必要条件，证明：对于 ，。3. 在平面上求一点，使它到三直线 距离平方和最小。四、（8分）设 ，求 。五、（8分）应用格林公式计算曲线积分：，其中是以为顶点的三角形，方向取正向。六、（10分）计算二重积分，其中是由直线 围成的三角形区域。七、（10分）应用幂级数性质求 。装 订 线装 订 线广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A )课程名称: 高等数学（下） （满分100分）考试时间: 2007 年 6 月 25 日 (第 17 周 星期一 )一、填空题：（4分520分）1 2 3 4 5 二、选择题：（4分520分）1 A2 C3 B 4 A 5 D三、计算题（每小题8分，共24分）1. 计算 ，其中是球面 被平面 所截得的圆周。解：由对称性知道（2分）所以 （8分）2利用级数收敛的必要条件，证明：对于 ，。证明：考虑正项级数 ，一般项为，（2分）学 院 ： 专业： 学号： 姓名：装 订 线由比式判别法知 （6分）收敛，由级数收敛之必要条件，对于 ，。（8分）3. 在平面上求一点，使它到三直线 距离平方和最小。解：设所求点为，目标函数为 （3分）令（5分）（7分）为唯一驻点，由实际，到三直线的距离平方和最小的点一定存在，所以为所求的点。（8分）装 订 线四、（8分）设 ，求 。解：（2分）由于 （4分）从而 （6分）（8分）五、（8分）应用格林公式计算曲线积分：，其中是以为顶点的三角形，方向取正向。解：三条线段的方程为： （2分）而 ，从而（4分）其中三角形区域（如图），分成两部分。（8分）4设 是可导函数，且满足条件：，则曲线 在点处的切线斜率为 （ ） 。（A） （B） （C） （D） 5设：，则： （ ）A B. C D. 三、计算题（共49分）1 求：。2 求： 在 上的最大值与最小值。3 设：，求：。装 订 线装 订 线六、（10分）计算二重积分，其中是由直线 围成的三角形区域。解：设 （如图），则（1分）型区域：，（2分）分成：（4分）从而 （10分）七、（10分）应用幂级数性质求 。解：令 ，由于 （2分）即收敛区域为：，由逐项微分之性质， ，（5分）由逐项积分之性质，（7分）所以，从而，因此，（9分）（10分），装 订 线广东工业大学考试试卷 ( B )课程名称: 高等数学(2) （满分 100 分） 考试时间: 2007 年 6 月 25 日 (第 17 周 星期一 )题 号一二三四五六七总分1234评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分，共20分） 1求与向量 共线且满足方程 的向量 。 2 曲面 在点 处的切平面方程为： 。 3设区域 ，则 = 。 4函数 在点处沿到点的方向上的方向导数为： 。 5 函数 ，对于，不成立的 。二、选择题：（每小题4分，共20分） 1为使曲线积分 与积分路径无关，可微函数应满足怎样的条件？（ ） A B. C D. 2设是球面的外侧，则曲面积分：=（ ）。A B. C D. 学 院 ： 专业： 学号： 姓名：装 订 线3 对于二元函数 ，极限为（ ）。A不存在 B. 0 C1 D. 无穷大4改变积分次序后 =（ ）。 A B C D 5设是由曲面 和 为界面的区域，则三重积分 =（ ）。（B） （B） （C） （D）三、计算题（每小题8分，共24分）1. 计算第一型曲线积分：，其中是以为顶点的三角形。2利用级数收敛的必要条件，证明：。3. 在平面上，求抛物线 和直线 之间的最短距离。四、（8分）若 ，求 。五、（8分）应用格林公式计算曲线积分：，为由到经过圆上半部的路线。六、（10分）设为连续函数，且，其中是由直线 围成的区域，求。七、（10分）求级数 的收敛域及和函数，并求 。装 订 线装 订 线广东工业大学试卷参考答案及评分标准 (A)课程名称: 高等数学（2） 考试时间: 2007年6月25日 (第17周 星期一)一、填空题（每小题4分，共20分）1 ； 2：； 3 ； 4： ； 5： 。二、选择题（每小题4分，共20分）12345BAACB三、（每小题8分，共24分）1计算第一型曲线积分：，其中是以为顶点的三角形。解： 2利用级数收敛的必要条件，证明：。证明 考虑正项级数 ， （2分）由比值判别法 （4分） （6分）从而级 收敛，由收敛级数的必要条件得 （8分）3用拉格朗日乘数法求：设计一个容量为32立方米的长方形开口水箱，问水箱的长，宽和高各等于多少米时，其表面积最小？解：设长方体的长、宽、高分别为，则由题意： 目标函数为：（1分） 条件函数为： (2分）根据题目要求，利用拉格郎日数乘法，构造函数为： （3分）则有： （6分） 解之：对于实际问题，由于驻点是唯一的，则该点就是所求的最大值点。所以当长方体的长、宽、高分别为4，4，2的时候，可以使无盖的长方体表面积最大。 （8分）注：如果出现目标函数与条件函数颠倒，酌情扣4分；如果目标函数多了盖子，按错误函数求解的，酌情扣4分。四、(8分) 设函数 可微，且满足， 求。解：(方法一)两边对求导 左端： （3分）右端： （5分） 由已知 有 （7分） 整理得 （8分）(方法二)因为 所以 （3分） （5分） 从而 （7分）即 （8分）(方法三)因为 （3分）所以 （5分）于是 （7分）即 （8分） 五、（8分）应用格林公式计算曲线积分：，为由到经过圆上半部的路线。解：连接两点，构成封闭路径，从而 （2分）记 ， （3分）由格林公式：（6分）线段：，（7分）从而 （8分）评分说明:写出 得1分,求出 得2分没有考虑积分曲线的封闭性而直接用格林公式且计算出结果得4分.六、（10分）设为连续函数，且，其中是由直线 围成的区域，求。解：设 (1分) 则 (3分) 或 (5分) (6分) (7分) (9分) 由于 , 所以 . (10分)七（10分）求级数 的收敛域及和函数，并求 。（1） 求级数的收敛域（5分）解法一：设 ，则级数 ， (1分)由 ，知收敛半径 (3分)当 ，级数 发散；当 ，级数 也发散， (4分)则其收敛域为 ，可知原级数的收敛域为 (5分)解法二：因级数只含偶数项，故采用前后通项之比求其收敛域：由 (1分)根据比值判别法，由 时级数收敛可知：当 时原级数收敛 (3分) 当 时，级数 发散， (4分)所以原级数的收敛域为 (5分)（注：直接由级数的系数之比得收敛半径得2分；写出前后通项之比公式得1分；因前后通项之比的极限值求错引起的结果错误得3分）（2） 求级数的和函数及数项级数的和（5分）设级数的和函数为，则 (6分)而级数 （或） (8分)则级数的和函数为 (9分)幂级数中取得数项级数 (10分)（注：求级数的和函数有多种解法，得分标准参上执行）广东工业大学考试试卷 ( B )课程名称: 高等数学A(1) 试卷满分 100 分考试时间: 2008 年 1 月 14 日 (第 20 周 星期一 )题 号一二三四五六七总分1234评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分，共20分）1.= . 2. 设 是由方程所确定的隐函数，则 . 3. 设可导, 则 = .4. = . 5. 有第一类间断点 ；第二类间断点 二、选择题：（每小题4分，共20分） 1. 设函数 在处连续, 则 . A B. C D. 2. 函数的极大值为（ ）.A B. C D. 学 院 ： 专业： 学号： 姓名：装 订 线3. 极限 的值等于（ ）.A. B. C D. 4定积分 的值等于（ ）.A. B. C D. 5微分方程满足初始条件的特解为 ( )A. B. C D. 三、计算题（每小题7分，共28分）1. 求由参数方程所确定的函数的二阶导数 .2求曲线的凹凸区间和拐点.3. 计算定积分.4. 求微分方程 的通解.四、（8分）证明:当时，.五、（8分）若对任意,曲线上的点处的切线在y轴上的截距等于 ,求的一般表达式.六、（8分）设在上连续, 在内可导,且证明: 存在,使得 .七、（8分）求曲线 在区间 内的一条切线, 使得该切线与直线, 和曲线 所围成的平面图形面积最小. 广东工业大学考试 答题纸课程名称: 高等数学A(1) 试卷满分 100 分考试时间: 2008 年 1 月 14 日 (第 20 周 星期 一 )题 号一二三四五六七总分1234评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分，共20分）1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 二、选择题：（每小题4分，共20分） 12345BACDA三、计算题（每小题7分，共28分）1. 解: 方法一： （2分） （4分）学 院： 专 业： 学 号： 姓 名： 装 订 线 （5分） （6分） （7分）方法二： （2分） （5分） （6分） （7分）2. 解: （1分） （2分） 以及不存在点 （3分）列表讨论如下:x(-,-1)-1(-1, 0)0(0, 1)1(1, +)-+-+y凸无定义凹0凸无定义凹 曲线的凸区间:（或 ） （4分）曲线的凹区间（或） （5分）曲线有拐点: (0, 0) （7分）3. 方法一： 令 ，则 （2分）由定积分的几何意义，该积分表示以（1，0）为圆心，半径为1的圆的面积的四分之一， （5分）即 = （7分）(说明：图错扣一分； 没有图，但答案对，不扣分；如直接得答案，扣2分).方法二： （4分） （5分） （6分） （7分）方法三： （5分） （7分）4. 解: 特征方程为: , （1分） 特征根: （3分） 齐次方程的通解为: （4分） 由于不是特征根,且 故可设原方程的一个特解为: （5分） 将其代入原方程得: ,解得: （6分） 所以, 从而求得原方程的通解为 （7分）四、（8分）证明：方法一：令， （1分）， （2分） （3分）当时， （5分）所以单调增加，于是当时， （6分）因此单调增加，故当时， （7分）即当时， （8分）方法二：令， （1分）， （3分） （5分）所以单调增加，于是当时， （6分）因此单调增加，故当时， （7分）即当时，亦即时， （8分）方法三：令，则 （3分）令，得，当时，从而单减 （5分）所以当时，即 （7分）亦即当时， （8分）五、（8分）解：设曲线过点的切线方程为： （2分）当时，得该切线在纵轴上的截距为：根据题意有： （4分）上式两边同乘，求导并整理