高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第2课时 范围、最值问题课件 理.ppt

9 9圆锥曲线的综合问题 第2课时范围 最值问题 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 例1 2015 天津 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为f c 0 离心率为 点m在椭圆上且位于第一象限 直线fm被圆x2 y2 截得的线段的长为c fm 题型一范围问题 解答 1 求直线fm的斜率 几何画板展示 又由a2 b2 c2 可得a2 3c2 b2 2c2 设直线fm的斜率为k k 0 f c 0 则直线fm的方程为y k x c 2 求椭圆的方程 解答 几何画板展示 3 设动点p在椭圆上 若直线fp的斜率大于 求直线op o为原点 的斜率的取值范围 解答 几何画板展示 设点p的坐标为 x y 直线fp的斜率为t 当x 1 0 时 有y t x 1 0 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 1 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系 从而确定参数的取值范围 2 利用已知参数的范围 求新参数的范围 解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 3 利用隐含的不等关系建立不等式 从而求出参数的取值范围 4 利用已知的不等关系构造不等式 从而求出参数的取值范围 5 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数 求其值域 从而确定参数的取值范围 跟踪训练1 2016 黄冈模拟 已知椭圆c 1 a b 0 与双曲线 y2 1的离心率互为倒数 且直线x y 2 0经过椭圆的右顶点 1 求椭圆c的标准方程 解答 又 直线x y 2 0经过椭圆的右顶点 2 设不过原点o的直线与椭圆c交于m n两点 且直线om mn on的斜率依次成等比数列 求 omn面积的取值范围 解答 由题意可设直线的方程为y kx m k 0 m 0 m x1 y1 n x2 y2 消去y 并整理得 1 4k2 x2 8kmx 4 m2 1 0 于是y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 又直线om mn on的斜率依次成等比数列 又由 64k2m2 16 1 4k2 m2 1 16 4k2 m2 1 0 得0 m2 2 显然m2 1 否则x1x2 0 x1 x2中至少有一个为0 直线om on中至少有一个斜率不存在 与已知矛盾 设原点o到直线的距离为d 故由m的取值范围可得 omn面积的取值范围为 0 1 题型二最值问题 例2 2016 锦州模拟 过抛物线y2 4x的焦点f的直线交抛物线于a b两点 点o是坐标原点 则 af bf 的最小值是 命题点1利用三角函数有界性求最值 答案 解析 几何画板展示 例3 2015 江苏 在平面直角坐标系xoy中 p为双曲线x2 y2 1右支上的一个动点 若点p到直线x y 1 0的距离大于c恒成立 则实数c的最大值为 命题点2数形结合利用几何性质求最值 答案 解析 几何画板展示 例4 2016 山东 如图 已知椭圆c 1 a b 0 的长轴长为4 焦距为2 命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 解答 1 求椭圆c的方程 设椭圆的半焦距为c 证明 设p x0 y0 x0 0 y0 0 由m 0 m 可得p x0 2m q x0 2m 解答 求直线ab的斜率的最小值 设a x1 y1 b x2 y2 直线pa的方程为y kx m 直线qb的方程为y 3kx m 整理得 2k2 1 x2 4mkx 2m2 4 0 由m 0 x0 0 可知k 0 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多 解法灵活多变 但总体上主要有两种方法 一是利用几何法 即通过利用曲线的定义 几何性质以及平面几何中的定理 性质等进行求解 二是利用代数法 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 些 参数的函数 解析式 然后利用函数方法 不等式方法等进行求解 跟踪训练2 2017 开封月考 已知圆 x a 2 y 1 r 2 r2 r 0 过点f 0 1 圆心m的轨迹为c 1 求轨迹c的方程 解答 依题意 由圆过定点f可知轨迹c的方程为x2 4y 几何画板展示 2 设p为直线l x y 2 0上的点 过点p作曲线c的两条切线pa pb 当点p x0 y0 为直线l上的定点时 求直线ab的方程 解答 几何画板展示 同理可得切线pb的方程为x2x 2y 2y2 0 因为切线pa pb均过点p x0 y0 所以x1x0 2y0 2y1 0 x2x0 2y0 2y2 0 所以 x1 y1 x2 y2 为方程x0 x 2y0 2y 0的两组解 所以直线ab的方程为x0 x 2y 2y0 0 3 当点p在直线l上移动时 求 af bf 的最小值 解答 由抛物线定义可知 af y1 1 bf y2 1 所以 af bf y1 1 y2 1 y1y2 y1 y2 1 又点p x0 y0 在直线l上 所以x0 y0 2 课时作业 1 2016 昆明两区七校调研 过抛物线y2 x的焦点f的直线l交抛物线于a b两点 且直线l的倾斜角 点a在x轴上方 则 fa 的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 根据勾股定理 求 mp 的最小值可以转化为求 op 的最小值 当 op 取得最小值时 点p的位置为双曲线的顶点 3 0 而双曲线的渐近线为4x 3y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 已知f1 f2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 对于左支上任意一点p都有 pf2 2 8a pf1 a为实半轴长 则此双曲线的离心率e的取值范围是 答案 解析 a 1 b 2 3 c 1 3 d 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由p是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义 所以 pf1 2a pf2 4a 在 pf1f2中 pf1 pf2 f1f2 又e 1 所以1 e 3 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 2016 成都质检 若点o和点f分别为椭圆 1的中点和左焦点 点p为椭圆上的任意一点 则的最小值为 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由条件知m 2 n m n 则n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 已知双曲线c的两个焦点分别为f1 2 0 f2 2 0 双曲线c上一点p到f1 f2的距离差的绝对值等于2 1 求双曲线c的标准方程 解答 依题意 得双曲线c的实半轴长为a 1 又其焦点在x轴上 所以双曲线c的标准方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 经过点m 2 1 作直线l交双曲线c的右支于a b两点 且m为ab的中点 求直线l的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 两式相减 得3 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 因为m 2 1 为ab的中点 所以12 x1 x2 2 y1 y2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 故ab所在直线l的方程为y 1 6 x 2 即6x y 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 已知定点g 1 2 点d是双曲线c右支上的动点 求 df1 dg 的最小值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由已知 得 df1 df2 2 即 df1 df2 2 所以 df1 dg df2 dg 2 gf2 2 当且仅当g d f2三点共线时取等号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 已知中心在原点的双曲线c的右焦点为 2 0 右顶点为 0 1 求双曲线c的方程 解答 又a2 b2 c2 得b2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 若直线 y kx m k 0 m 0 与双曲线c交于不同的两点m n 且线段mn的垂直平分线过点a 0 1 求实数m的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 整理得 1 3k2 x2 6kmx 3m2 3 0 直线与双曲线有两个不同的交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设m x1 y1 n x2 y2 mn的中点为b x0 y0 由题意 ab mn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 整理得3k2 4m 1 将 代入 得m2 4m 0 m4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 求椭圆c1的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 设点p在抛物线c2 y x2 h h r 上 c2在点p处的切线与c1交于点m n 当线段ap的中点与mn的中点的横坐标相等时 求h的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 如图 设m x1 y1 n x2 y2 p t t2 h 直线mn的方程为y 2tx t2 h 将上式代入椭圆c1的方程中 得4x2 2tx t2 h 2 4 0 即4 1 t2 x2 4t t2 h x t2 h 2 4 0 因为直线mn与椭圆c1有两个不同的交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以 式中的 1 16 t4 2 h 2 t2 h2 4 0 设线段mn的中点的横坐标是x3 由题意 得x3 x4 即t2 1 h t 1 0 由 式中的 2 1 h 2 4 0 得h 1或h 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 当h 3时 h 2 0 4 h2 0 则不等式 不成立 所以h 1 当h 1时 代入方程 得t 1 将h 1 t 1代入不等式 检验成立 所以 h的最小值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 1 求c1 c2的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 过f1作c1的不垂直于y轴的弦ab m为ab的中点 当直线om与c2交于p q两点时 求四边形apbq面积的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 因为ab不垂直于y轴 且过点f1 1 0 故可设直线ab的方程为x my 1 易知此方程的判别式大于0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2是上述方程的两个实根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 即mx 2y