1713直线（向量等）与圆锥曲线.doc

高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_专题： & 基本知识点（Level A）【1】直线与圆锥曲线的位置关系曲线：与：的交点坐标方程组的解1直线与圆锥曲线交于不同的两点直线与二次曲线联立，当二次项系数不为时，；或直线（反设法）与二次曲线联立，2直线与圆锥曲线相切直线与二次曲线联立， 3直线与二次曲线有一个公共点：二次项系数为，二次项系数为，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为，4相交与椭圆：直线与椭圆相交；与双曲线：直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；与抛物线：直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件5相离直线与二次曲线联立， 总结：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则的取值范围是 答案：（2）直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是 答案：（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有 条答案：（4）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 条答案：（5）过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 答案：（6）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有 条答案：（7）对于抛物线：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线的位置关系是 答案：相离（8）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段与的长分别是、，则 答案：（9）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为 （填大于、小于或等于）答案：等于（10）求椭圆上的点到直线的最短距离答案：（11）直线与双曲线交于、两点 当为何值时，、分别在双曲线的两支上？ 当为何值时，以为直径的圆过坐标原点？答案：；【2】直线与圆锥曲线问题解法1直接法（通法）联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解运算规律：直线与圆锥曲线位置关系运算程式已知曲线与直线方程联立得：S 注意：当曲线为双曲线时，要对与进行比较由根与系数关系知：，后话：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题： 联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？ 二次项系数系数为的情况讨论了吗？判别式验证了吗？在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在下进行）2设而不求（代点相减法即点差法）处理弦中点与直线斜率问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解步骤如下：已知曲线，Step 1：设点、中点为，Step 2：点入方程作差得在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率3直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线：与圆锥曲线：相交的弦长公式消去得（务必注意），设，则：；注：（1）弦端点、，由方程 消去得到，为直线的倾斜角，为直线的斜率， （2）特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）如果椭圆弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是 答案：（2）已知直线与椭圆相交于、两点，且线段的中点在直线：上，则此椭圆的离心率为 答案：（3）试确定的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称答案：（4）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，那么等于 答案：（5）过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，已知，为坐标原点，则重心的横坐标为 答案：& 拓展知识点（Level B）【1】圆锥曲线解题细节盘点（1）用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式（2）在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直角三角形”（3）在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于的方程还是的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即时，直线与曲线相切，（4）求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“” 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题（5）解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)（6）韦达定理在解几中的应用：求弦长； 判定曲线交点的个数； 求弦中点坐标；求曲线的方程【2】圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是：（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是：特别地，曲线关于原点成中心对称的曲线是：曲线关于直线轴对称的曲线是：曲线关于直线轴对称的曲线是：曲线关于直线轴对称的曲线是：曲线关于直线轴对称的曲线是：【3】解析几何中设点方法（参数方程）【理科选学，文科了解】（1）设参数方程圆的参数方程：（为参数）椭圆的参数方程是：（为参数）双曲线的参数方程为（为参数）抛物线的参数方程为（为参数）（2）抛物线上的动点可设为或或，其中，以简化计算【4】解析几何与向量综合时可能出现的向量内容（1）给出直线的方向向量或（2）给出与相交，等于已知过的中点在中，给出，则是中边的中线（3）给出，等于已知是的中点（4）给出，等于已知，与的中点三点共线（5）给出以下情形之一： ； 存在实数，使； 若存在实数，且，使等于已知，三点共线（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出，等于已知，即是直角给出，等于已知是钝角给出，等于已知是锐角（8）给出，等于已知是的平分线（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形（11）设，（12）为内一点，则（13）在中，给出，则通过的内心（14）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（15） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（16）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（17）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；& 深化知识点（Level C）【1】抛物线的切线方程 抛物线上一点处的切线方程是 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是 抛物线与直线相切的条件是【2】常见曲线的参数方程的一般形式（只要能在特定情况下，想起能用就行）经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）称为直线的标准参数方程设是直线上的任意一点，则表示有向线段的数量，经过点，以为方向向量的直线的参数方程为（为参数）称为直线的一般参数方程此式中的利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便方法是：把：代入圆锥