高考数学大一轮复习 3.3导数的综合应用课件 理 苏教版.ppt

数学苏 理 3 3导数的综合应用 第三章导数及其应用 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题作答 2 不等式问题 1 证明不等式时 可构造函数 将问题转化为函数的极值或最值问题 2 求解不等式恒成立问题时 可以考虑将参数分离出来 将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题 3 方程解的个数问题构造函数 利用导数研究函数的单调性 极值和特殊点的函数值 根据函数性质结合草图推断方程解的个数 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 连续函数在闭区间上必有最值 2 函数f x x2 3x 2的极小值也是最小值 3 函数f x x 1和g x x 1都是在x 0时取得最小值 1 4 函数f x x2lnx没有最值 5 已知x 0 则sinx x 6 若a 2 则方程x3 ax2 1 0在 0 2 上没有实数根 3 解析 设f x ex lnx 0 x 1 令f x 0 得xex 1 0 根据函数y ex与y 的图象可知两函数图象交点x0 0 1 因此函数f x 在 0 1 上不是单调函数 故 不正确 设g x 0 x 1 则g x 解析 又0g x2 x2 x1 解析 思维升华 解函数f x 的定义域为 0 解析 思维升华 f x aexlnx ex ex 1 ex 1 由题意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 解析 思维升华 1 证明f x g x 可转化为证明f x f x g x 的最小值大于0 再利用导数求f x 的最小值 2 对于f x f x g x 的最小值 不易求出的情况 也可以通过f x g x 的最值情况进行证明 如本题中g x min h x max 解析 思维升华 例1 2 证明 f x 1 例1 2 证明 f x 1 解析 思维升华 证明由 1 知 f x exlnx ex 1 x 0 从而f x 1等价于xlnx xe x 设函数g x xlnx 则g x 1 lnx 所以当x 0 时 g x 0 当x 时 g x 0 故g x 在 0 上单调递减 例1 2 证明 f x 1 解析 思维升华 在 上单调递增 从而g x 在 0 上的最小值为g 设函数h x xe x 则h x e x 1 x 所以当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0 例1 2 证明 f x 1 故h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 解析 思维升华 从而h x 在 0 上的最大值为h 1 所以g x h x 又因为两等号无法同时取到 所以g x h x 综上 当x 0时 g x h x 即f x 1 解析 思维升华 例1 2 证明 f x 1 1 证明f x g x 可转化为证明f x f x g x 的最小值大于0 再利用导数求f x 的最小值 2 对于f x f x g x 的最小值 不易求出的情况 也可以通过f x g x 的最值情况进行证明 如本题中g x min h x max 跟踪训练1证明 当x 0 1 时 x sinx x 又f 0 0 f 1 0 所以当x 0 1 时 f x 0 记h x sinx x 则当x 0 1 时 h x cosx 1 0 所以h x 在 0 1 上是减函数 则h x h 0 0 即sinx x 跟踪训练1证明 当x 0 1 时 x sinx x 例2 2013 北京 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 题型二利用导数研究函数零点问题 解析 思维升华 解由f x x2 xsinx cosx 得f x x 2 cosx y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 f a a 2 cosa 0且b f a 则a 0 b f 0 1 解析 思维升华 例2 2013 北京 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 题型二利用导数研究函数零点问题 函数零点或函数图象交点问题的求解 一般利用导数研究函数的单调性 极值等性质 并借助函数图象 根据零点或图象的交点情况 建立含参数的方程 或不等式 组求解 实现形与数的和谐统一 解析 思维升华 例2 2013 北京 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 题型二利用导数研究函数零点问题 例2 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 解析 思维升华 解令f x 0 得x 0 当x 0时 f x 0 f x 在 0 上递增 当x 0时 f x 0 f x 在 0 上递减 f x 的最小值为f 0 1 解析 思维升华 例2 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 函数f x 在区间 0 和 0 上均单调 当b 1时曲线y f x 与直线y b有且仅有两个不同交点 综上可知 b的取值范围是 1 解析 思维升华 例2 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 解析 思维升华 例2 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 函数零点或函数图象交点问题的求解 一般利用导数研究函数的单调性 极值等性质 并借助函数图象 根据零点或图象的交点情况 建立含参数的方程 或不等式 组求解 实现形与数的和谐统一 跟踪训练2已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 解f x 3x2 3a 3 x2 a 当a0 当a0时 由f x 0 跟踪训练2已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 解 f x 在x 1处取得极值 f 1 3 1 2 3a 0 a 1 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0 解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 结合如图所示f x 的图象可知 实数m的取值范围是 3 1 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 思维点拨 解析 思维升华 题型三生活中的优化问题 例3某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 由x 5时y 11求a 思维点拨 解析 思维升华 题型三生活中的优化问题 例3某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 解因为x 5时 y 11 思维点拨 解析 思维升华 题型三生活中的优化问题 例3某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 所以 10 11 a 2 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数最值的方法求解 注意结果应与实际情况相符合 用导数求实际问题中的最大 小 值 如果函数在区间内只有一个极值点 那么根据实际意义可知该极值点就是最值点 思维点拨 解析 思维升华 题型三生活中的优化问题 例3某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系 利用导数求最值 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 例3 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 思维点拨 解析 思维升华 解由 1 可知 该商品每日的销售量为y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 例3 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4时 函数f x 在区间 3 6 内取得极大值 也是最大值 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数最值的方法求解 注意结果应与实际情况相符合 用导数求实际问题中的最大 小 值 如果函数在区间内只有一个极值点 那么根据实际意义可知该极值点就是最值点 跟踪训练3请你设计一个包装盒 如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a b c d四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb x cm 1 某广告商要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x取何值 解设包装盒的高为hcm 底面边长为acm s 4ah 8x 30 x 8 x 15 2 1800 所以当x 15时 s取得最大值 2 某厂商要求包装盒的容积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 由v 0 得x 0 舍 或x 20 当x 0 20 时 v 0 当x 20 30 时 v 0 所以当x 20时 v取得极大值 也是最大值 审题路线图 规范解答 温馨提醒 审题路线图系列1一审条件挖隐含 典例 16分 设f x xlnx g x x3 x2 3 1 如果存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 求满足上述条件的最大整数m 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m 正确理解 存在 的含义 g x1 g x2 max m 挖掘 g x1 g x2 max的隐含实质 g x max g x min m m的最大整数值 审题路线图 规范解答 温馨提醒 解存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 等价于 g x1 g x2 max m 2分 审题路线图 规范解答 温馨提醒 审题路线图 规范解答 温馨提醒 g x max g 2 1 故 g x1 g x2 max g x max g x min m 则满足条件的最大整数m 4 1 恒成立 存在性 问题一定要正确理解问题实质 深刻挖掘条件内含 进行等价转化 2 构造函数是求范围问题中的一种常用方法 解题过程中尽量采用分离常数的方法 转化为求函数的值域问题 审题路线图 规范解答 温馨提醒 审题路线图 规范解答 温馨提醒 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 2 对任意s t 2 都有f s g t 理解 任意 的含义 f x min g x max 求得g x max 1 xlnx 1恒成立 审题路线图 规范解答 温馨提醒 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 分离常数 a x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值 a h x max h 1 1 a 1 审题路线图 规范解答 温馨提醒 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 审题路线图 规范解答 温馨提醒 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 解对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 等价于在区间 2 上 函数f x min g x max 由 1 可知在区间 2 上 g x 的最大值为g 2 1 在区间 2 上 f x xlnx 1恒成立等价于 a x x2lnx恒成立 审题路线图 规范解答 温馨提醒 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 设h x x x2lnx h x 1 2xlnx x 可知h x 在区间 2 上是减函数 又h 1 0 所以当10 审题路线图 规范解答 温馨提醒 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 即函数h x x x2lnx在区间 1 上单调递增 在区间 1 2 上单调递减 所以h x max h 1 1 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 1 恒成立 存在性 问题一定要正确理解问题实质 深刻挖掘条件内含 进行等价转化 2 构造函数是求范围问题中的一种常用方法 解题过程中尽量采用分离常数的方法 转化为求函数的值域问题 审题路线图 规范解答 温馨提醒 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 方法与技巧 1 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题 要注意分类讨论和数形结合思想的应用 2 在讨论方程的根的个数 研究函数图象与x轴 或某直线 的交点个数 不等式恒成立等问题时 常常需要求出其中参数的取值范围 这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 最 值的应用 方法与技巧 3 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 失误与防范 1 函数f x 在某个区间内单调递增 则f x 0而不是f x 0 f x 0在有限个点处取到 2 利用导数解决实际生活中的优化问题 要注意问题的实际意义 1 已知函数f x ax3 bx2 c 其导函数y f x 的图象如图所示 则函数f x 的极小值是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析由y f x 的图象可知 当x 0时 函数取得极小值 f x 极小值 c c 2 2014 课标全国 改编 若函数f x kx lnx在区间 1 单调递增 则k的取值范围是 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 1 解析由于f x k f x kx lnx在区间 1 单调递增 f x k 0在 1 上恒成立 由于k 而0 1 所以k 1 即k的取值范围为 1 3 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 3 6 解析 f x 3x2 2ax a 6 由已知可得f x 0有两个不相等的实根 4a2 4 3 a 6 0 即a2 3a 18 0 a 6或a 3 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 若a 1 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 若0 a 1 则f x 0 f x 在 1 上单调递减 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 a 1 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 即2n 32 n 5 答案6 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 6 已知y f x 是奇函数 当x 0 2 时 f x lnx ax a 当x 2 0 时 f x 的最小值为1 则a 解析 f x 是奇函数 且当x 2 0 时 f x 的最小值为1 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 答案1 7 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c 解析设f x x3 3x c 对f x 求导可得 f x 3x2 3 令f x 0 可得x 1 易知f x 在 1 1 上单调递增 在 1 1 上单调递减 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 由题意知 f 1 0或f 1 0 若f 1 1 3 c 0 可得c 2 若f 1 1 3 c 0 可得c 2 答案 2或2 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 8 设函数f x kx3 3x 1 x r 若对于任意x 1 1 都有f x 0成立 则实数k的值为 解析若x 0 则不论k取何值 f x 0都成立 当x 0 即x 0 1 时 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 当x 0即x 1 0 时 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 因此g x min g 1 4 从而k 4 综上k 4 答案4 9 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 解由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 2ln2 2a 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 证明设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 10 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为y x3 x 8 0 x 120 已知甲 乙两地相距100千米 1 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 因此 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油17 5升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 设耗油量为h x 升 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 所以当x 80时 h x 取得极小值h 80 11 25 易知h 80 是h x 在 0 120 上的最小值 故当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 2 3 4 5 1 1 2014 辽宁改编 当x 2 1 时 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 则实数a的取值范围是 解析当x 0时 ax3 x2 4x 3 0变为3 0恒成立 即a r 当x 0 1 时 ax3 x2 4x 3 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 x 在 0 1 上递增 x max 1 6 a 6 2 3 4 5 1 当x 2 1 时 x 0 当x 1时 x 有极小值 即为最小值 a 2 综上知 6 a 2 答案 6 2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 由 1 得x x 2 ax在区间 0 上