奥数训练之二次根式

1 二次根式二次根式 一 二次根式的两个非负性 1 被开方数非负的应用 a 0 例 1 已知 y 2 则 xy 32 xx23 例 2 已知 b 则 a2 ab b2 ba a 34 62 ba a 34 26 例 3 设 a b c 均为不小于 3 的实数 则 的最小值是 2 a1 b11 c 针对性训练 1 代数式 的最小值为 x1 x2 x 2 求 的值为 4 aa29 a31 2 a 2 结果非负 0 的应用a 例 1 已知 2x y 2 0 则 x y 的值为 4 x 针对性训练习 1 已知 x2 y2 4x 6y 13 0 则 x y m的值为 2 m 2 1 有最小值时 x 这个最小值为 110 x 1 有最小值时 x 这个最小值为 4 2 x 9 的最大值为 最小值为 2 4x 3 综合应用 8 例 1 已知 2003 a 求 a2001 aa 2000 例题 已知 3 5 7 其中 x 0 求 m 2 3的取值范围 xyxy 针对性练习 1 已知 实数 a 满足 a 则 a 20042的值为 a 20042005 a 2 4 一个非负数转化为另一个非负数的平方的应用 2 aa 例 1 填空 y 2 21 y 例 2 已知 2 x y z 求 x y z 的值 x1 y2 z 例 3 已知 a b2 4 2b 3 求 a 2b c 的值 11 c2 a 2 1 针对性练习 1 a b c 是实数 若 求的值14261412 cbacba bacacbcba 2 如果 那么 x y z 的值是多少 9214 zyxzyx 二 的应用 2 aa 拓展为 反过来 a 时要注意 a 符号ba 2 abbba 2 例 1 设 x 0 y 0 在 x y 1 化简 x y 3 xyyx3 例 2 若 2 则 x 的取值范围是 3 x 2 1 x 例 3 已知 x 则化简 2 23 x 2 441xx 3 2 2 1 x5 3 针对性练习 1 若 ab 0 则代数式应当化简为 ba 2 2 a化为最简二次根式是 a 1 3 根式 a 化简得 a 1 b 1 3 b 4 若 x 1 将化简得 2 1 22 412 xx 5 若数轴上表示 a 的点在原点左边 则化简 的结果是 2 2aa 6 的值等于 4 12001200019991998 例 1 当 0 x 2 时 2 2 4 2 x x 2 2 4 2 x x 例 2 162007200520032001 针对性练习 19892 11991199019891988 三 实数的比较大小 1 平方法 例 1 设 a b 1 c 比较 a b c 的大小10732 针对性练习 设 a b 374682 c52 d 比较 a b c d 的大小为 通过对上述问题的解决 你能得到怎样的规律 你能证明你的结论吗 2 倒数法 例题 已知 a b 比较 a b 的大小 1011009998 4 针对性练习 1 已知79 57 35 13 dcba 比较 a b c d 的大小为 通过对例题和习题的解决 你认为具有怎样特点的二次根式 在比较大小时 适合用倒数法 比较的结 果用怎样的规律 应用你总结的规律快速解决下面的问题 问题 设 a 1 aaqaap200612006 200612006 则 p q r s 中值最小的一个是 120062006 aar120062006 aas 3 化分子或分母相同比较另一个 例题 已知 比较 a b c 的大小a bc 1 b ac 1 c ab 1 4 化同底或同指比较大小 例题 比较 233 522 611的大小 5 根据数轴的位置比较大小 例题 已知 b 0 0 0 b 0 求的值 babbaa53 abba abba 32 针对性练习 1 已知 x y 那么的值为 23 23 23 23 22 11 yx 2 已知实数 a 满足 a 0 那么 332 aa 11aa 3 已知 0 且 x2 4x 4 0 求的值 22 xyxyxy 4 正数 m n 满足 m 求的值34424 nnmmn 20022 82 nm nm 5 n 为自然数 如果成立 求 n 的 nn nn x 1 1 nn nn y 1 1 199321972 22 yxyx 值 4 整体代入 包括 对称式整体代入 完全平方根式整体代入 构造已知整体代入 例 1 已知 a 1 且 a2 求的值14 1 2 aa a 1 12 例 2 设 a b 0 a2 b2 4ab 求的值 ba ba 例 3 已知 a b a b 求 ab 的值19911992 19911992 例 4 已知 a b 2 b c 2 求 a2 b2 c2 ab bc ac 的值 33 例 5 x y 求 x2 xy y2的值 1113 2 1 1113 2 1 例 6 已知 求的值 32 32 22 yxxyyx y x x y 针对性练习 1 已知 a b 求下列各式的值 32 1 32 1 1 2 a2 ab b2 3 a2b ab2 1 1 1 1 ba 2 已知 a 0 a0 则 a b 12 13 5 已知 求的值2 1 x x 1913 22 xx x xx x 5 平方法 例 1 已知 求 用 a 的代数式表示 a ax 1 xxx xxx 42 42 2 2 例 2 已知 x y 0 求的值 22 432yxyx y x 例 3 已知 求的值 41525 22 xx 22 1525xx 例 4 若 求的值2 8 1 8 1 2 2 1 a1 42 aaa 6 放缩法 例题 1 已知 x y 4 xy 1 求的值 x y y x 例题 求代数式的值638638 14 7 余式 或降次 法 例题 当 x 时 4x4 10 x3 12x2 27x 4 的值是 2 73 针对性练习 1 设 x 则 x 1 x 2 x 3 x 4 2 533 2 若 x 1 那么 3 12 423 2 2 xx xx 3 已知 x 那么的值为 12 1 1 4 5 2 5 4 3 23 xxx 4 已知 求多项式 2x5 2x4 53x3 57x 54 2003的值 2 111 2 1 x 5 已知 则 2 20021 x 2002 3 200220054xx A 0 B 1 C 4 D 4 1 8 制造有理化因式法 例题 已知 5 求的值 14 aaa26 9 勾股构造法 例 1 求代数式的最小值 9124 2 2 xx 例 2 已知 a b 均为正数且 a b 2 求 U 的最小值 14 22 ba 15 10 规律探索法 例题 化简 1009999100 1 4334 1 3223 1 212 1 例题 计算 22222222 11111111 111 1 12233420132014 计算 20112010 1 43 1 32 1 21 1 11 换元法 例题 化简 5225232 yyyy 奥数训练之二次根式检测题 1 设 则 x y 的大小关系是 20002001 x19992000 y A x y B x y C x y D 无法确定 2 当时 多项式的值是 2 19941 x 20013 199419974 xx A 1 B 1 C D 2001 2 2001 2 3 化简的值是 baab ba 2 A B C D ba ba ba ab 4 当 m 在可以取值范围内取不同的值时 代数式的最小值是 2 2427mm 16 A 0 B 5 C D 933 5 满足等式的整数解有yx2322 A 一组 B 两组 C 三组 D 四组 6 设正整数 a m n 满足 则这样的 a m n 的取值 nma 24 2 A 有一组 B 有两组 C 多于两组 D 不存在 7 已知 a 则的值等于 2 8 1 8 1 2 2 1 1 42 aaa A B C D 2 2 222 4 2 8 设 则 m 的整数部分为 15 m m 1 9 计算 2 200212004200320022001 10 若和互为相反数 则的值为 12 xx44 yy y x 11 已知 那么 2 15 x 5 3 1 x xx 12 化简 23 246623 13 设实数 x y z 满足 求 x y z 的值 3454 zyxzyx 14 已知 0 x 1 y 2 求的值44214442 2222 yyxxyxxyyx 15 设 11 11 11 11 kk kk y kk kk x k 为自然数 且 3x2 34xy 3y2 1000 17 求 k 的值 16 设 a 为的小数部分 b 为的小数部分 求的值5353 336336 ab 12 17 计算的值56145614 18 已知 求 xy 的值523 253 yxyx 19 计算 1212 aaaa 20 计算 532532532532 18 21 化简 6232 1223 22 化简 12862 23 12862 23 23 已知 x y 求代数式的值 23 23 23 23 2 2 yxxy yxxy 24 已知 m 0 n 0 求的值 5 3 nmnnmm nmnm nmnm 32 38 25 化简 7353357 3725 15533 5321 19 26 化简 235 6101528 27 已知 的整数部分为 a 其小数部分为 b 求的值 313 313 19198 2 bba 28 设 S 求与 S 最接