高考数学一轮复习 8.4垂直关系及空间角课件.ppt

课标版理数 8 4垂直关系及空间角 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的判定方法 i 定义法 ii 利用判定定理 一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直 则该直线和此平面垂直 2 直线与平面垂直的性质 i 直线垂直于平面 则垂直于平面内 任意一条直线 ii 垂直于同一直线的两平面 平行 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定方法 i 定义法 ii 利用判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线 则这两个平面垂直 2 平面与平面垂直的性质两平面垂直 则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面 3 空间角 1 异面直线所成的角设a b是两条异面直线 经过空间中任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的 锐角或直角叫做异面直线a b所成的角 或夹角 2 斜线和平面所成的角平面的一条斜线和 它在平面内的射影所成的锐角 3 二面角的平面角从二面角的棱上一点 在两个半平面内分别作 垂直于棱的射线 则 两射线所成的角叫做二面角的平面角 4 空间距离 1 点到面的距离作点到面的垂线 点到垂足的距离即为点到平面的距离 在三棱锥中用等体积法求解 向量法 求点m到平面 的距离 d n为平面 的法向量 a为平面 上一点 ma为过a点的斜线段 2 线到面的距离 在直线上任取一点转化为点到面的距离 3 面到面的距离 转化为点到面的距离 同上线面距离 注意 空间角与空间距离问题利用空间向量解决较为方便 在下一节重点讲解 1 给出下列三个命题 直线a b为异面直线 的充分非必要条件是 直线a b不相交 直线a垂直于直线b 的充分非必要条件是 直线a垂直于直线b在平面 内的射影 直线a垂直于平面 的必要非充分条件是 直线a垂直于平面 内的无数条直线 其中正确的命题个数是 a 0b 1c 2d 3 答案b对于 a b不相交时 a b可以平行或异面 不一定能推出a b异面 错 对于 只有a在平面 内时才成立 错 对于 a垂直于平面 内的无数条直线 当这无数条直线都平行时 a不一定垂直于 而当a 时 a一定能垂直于 内的无数条直线 正确 故选b 2 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab bc aa1 abc 90 点e f分别是棱ab bb1的中点 则直线ef和bc1所成的角是 a 45 b 60 c 90 d 120 答案b取b1c1的中点g a1b1的中点h 连结fg eg hg eh 则fg bc1 则 efg或其补角就是所求的角 设ab bc aa1 2a 易得ef a fg a eg a 利用余弦定理可求得cos efg 故所求角为60 故选b 3 如图 o为正方体abcd a1b1c1d1的底面abcd的中心 则下列直线中与b1o垂直的是 a a1db aa1c a1d1d a1c1答案d易知ac 平面bb1d1d a1c1 ac a1c1 平面bb1d1d 又b1o 平面bb1d1d a1c1 b1o 故选d 4 p为 abc所在平面外一点 且pa pb pc两两垂直 则下列命题 pa bc pb ac pc ab ab bc 其中正确的个数是 答案3解析如图所示 pa pc pa pb pc pb p pa 平面pbc 又 bc 平面pbc pa bc 同理 pb ac pc ab 但ab不一定垂直于bc 5 如图 四棱锥v abcd中 底面abcd是边长为2的正方形 侧棱长均为 则二面角v ab c的平面角为 答案60 解析取ab cd的中点e f 连结ve ef vf va vb vab为等腰三角形 ve ab 四边形abcd是正方形 bc ab 又 ef bc ef ab ef ve e vef为二面角v ab c的平面角 vab vdc ve vf 2 又ef bc 2 vef为等边三角形 vef 60 即二面角v ab c的平面角为60 典例1 2014湖南 19 12分 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 ac bd o a1c1 b1d1 o1 四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形 1 证明 o1o 底面abcd 2 若 cba 60 求二面角c1 ob1 d的余弦值 线面垂直的判定与性质 解析 1 证明 因为四边形acc1a1为矩形 所以cc1 ac 同理dd1 bd 因为cc1 dd1 所以cc1 bd 而ac bd o 因此cc1 底面abcd 由题设知 o1o c1c 故o1o 底面abcd 2 解法一 如图 过o1作o1h ob1于h 连结hc1 由 1 知 o1o 底面abcd 所以o1o 底面a1b1c1d1 于是o1o a1c1 又因为四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 所以四边形a1b1c1d1是菱形 因此a1c1 b1d1 从而a1c1 平面bdd1b1 所以a1c1 ob1 于是ob1 平面o1hc1 进而ob1 c1h 故 c1ho1是二面角c1 ob1 d的平面角 不妨设ab 2 因为 cba 60 所以ob oc 1 ob1 在rt oo1b1中 易知o1h 2 而o1c1 1 于是c1h 故cos c1ho1 即二面角c1 ob1 d的余弦值为 解法二 因为四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等 所以四边形abcd是菱形 因此ac bd 又由 1 知o1o 底面abcd 从而ob oc oo1两两 垂直 如图 以o为坐标原点 ob oc oo1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系o xyz 不妨设ab 2 因为 cba 60 所以ob oc 1 于是相关各点的坐标为o 0 0 0 b1 0 2 c1 0 1 2 易知 n1 0 1 0 是平面bdd1b1的一个法向量 设n2 x y z 是平面ob1c1的法向量 则即取z 则x 2 y 2 所以n2 2 2 设二面角c1 ob1 d的大小为 易知 是锐角 于是cos cos 故二面角c1 ob1 d的余弦值为 证明线面垂直的方法 一是利用线面垂直的判定定理 二是利用面面垂直的性质定理 三是利用平行线法 若两条平行线中一条垂直于这个平面 则另一条也垂直于这个平面 解题时 注意线线 线面与面面关系的相互转化 另外 在证明线线垂直时 要注意题中隐含的垂直关系 如等腰三角形的底边上的高 中线和顶角的角平分线三线合一 矩形的内角 直径所对的圆周角 菱形的对角线互相垂直 直角三角形 直角梯形等等 1 1如图 p是 abc所在平面外一点 pa 平面abc abc 90 ae pb于e af pc于f 求证 1 bc 平面pab 2 ae 平面pbc 3 pc 平面aef 证明 1 pa 平面abc bc 平面pab 2 ae 平面pab 由 1 知 ae 平面pbc 3 pc 平面pbc 由 2 知 pc 平面aef 典例2 2014福建 17 13分 在平面四边形abcd中 ab bd cd 1 ab bd cd bd 将 abd沿bd折起 使得平面abd 平面bcd 如图 1 求证 ab cd 2 若m为ad中点 求直线ad与平面mbc所成角的正弦值 解析 1 证明 平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd ab 平面abd ab bd 面面垂直的判定与性质 ab 平面bcd 又cd 平面bcd ab cd 2 过点b在平面bcd内作be bd 如图 由 1 知ab 平面bcd 又be 平面bcd ab be 以b为坐标原点 分别以 的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 依题意 得b 0 0 0 c 1 1 0 d 0 1 0 a 0 0 1 m 则 1 1 0 0 1 1 设平面mbc的法向量为n x0 y0 z0 则即取z0 1 得平面mbc的一个法向量为n 1 1 1 设直线ad与平面mbc所成角为 则sin cos 即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为 面面垂直的证明方法 1 证明两个平面垂直 主要的途径 利用面面垂直的定义 即两平面相交 如果它们所成的二面角是直二面 角 就说这两个平面垂直 利用面面垂直的判定定理 即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面垂直 2 利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法 在先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线在图中存在 则可通过线面垂直来证明面面垂直 若这样的直线不存在 则可通过作辅助线来解决 而作辅助线则应有理论根据并有利于证明 不能随意添加 3 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 2 1如图所示 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 平面bdm 平面eca 2 平面dea 平面eca 则mn ec mn bd 点n在平面bdm内 ec 平面abc ec bn 又易知ca bn bn 平面eca bn 平面bdm 平面bdm 平面eca 2 由 1 易知mn bd 故四边形mnbd是平行四边形 故dm bn 又bn 平面eca dm 平面eca 又dm 平面dea 平面dea 平面eca 证明 1 取ca的中点n 连结mn bn 典例3 1 2013山东 4 5分 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面垂直 体积为 底面是边长为的正三角形 若p为底面a1b1c1的中心 则pa与平面abc所成角的大小为 a b c d 2 2014课标 19 12分 如图 三棱柱abc a1b1c1中 侧面bb1c1c为菱形 ab b1c 证明 ac ab1 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 空间角 答案 1 b解析 1 如图 设p0为底面abc的中心 连结pp0 由题意知 pp0 为直三棱柱的高 pap0为pa与平面abc所成的角 s abc 2 sin60 三棱柱的体积v pp0 pp0 又p0为底面abc的中心 则 ap0 等于正 abc高的 又易知 abc的高为 ap0 1 在rt pap0中 tan pap0 pap0 故选b 2 连结bc1 交b1c于点o 连结ao 因为侧面bb1c1c为菱形 所以b1c bc1 且o为b1c及bc1的中点 又ab b1c 所以b1c 平面abo 由于ao 平面abo 故b1c ao 又b1o co 故ac ab1 因为ac ab1 且o为b1c的中点 所以ao co 又因为ab bc 所以 boa boc 故oa ob 从而oa ob ob1两两互相垂直 以o为坐标原点 的方向为x轴正方向 为单位长 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 因为 cbb1 60 所以 cbb1为等边三角形 又ab bc 则a b 1 0 0 b1 c 设n x y z 是平面aa1b1的法向量 则即所以可取n 1 设m是平面a1b1c1的法向量 则同理可取m 1 则cos 又易知二面角a a1b1 c1为锐二面角 所以二面角a a1b1 c1的余弦值为 1 异面直线所成的角 1 平移直线法是求异面直线所成角的常用方法 其基本思路是通过平移直 线 把异面问题化归为共面问题来解决 具体步骤如下 平移 平移异面直线中的一条或两条 作出异面直线所成的角或其补角 认定 证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角 计算 求该角的值 常利用解三角形 取舍 异面直线所成的角的取值范围是 当所作的角为钝角时 应取它的补角作为两条异面直线所成的角 2 当直线与平面斜交时 求斜线与平面所成的角 常有以下步骤 1 构造 作出或找到斜线与其射影所成的角 2 设定 论证所作或找到的角为所求的角 3 计算 常用解三角形的方法求解 4 结论 回答斜线和平面所成的角的值 可以将其总结为 作 找 证 算 答四个步骤 2 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围 3 作二面角的平面角的方法 方法一 定义法 在二面角的棱上找一特殊点 在两个半平面内分别作过特殊点且垂直于棱的射线 如图 aob为二面角 l 的平面角 方法二 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角即为二面角的平面角 图 如图 aob为二面角 l 的平面角 方法三 垂线法 过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的垂线 过垂足作棱的垂线 利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 如图 abo为二面角 l 的平面角 图 图 3 1如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd为正方形 且pa ad 2 e f分别为棱ad pc的中点 1 求异面直线ef和pb所成角的大小 2 求证 平面pce 平面pbc 3 求二面角e pc d的大小 解析以直线ab为x轴 直线ad为y轴 直线ap为z轴建立空间直角坐标系 如图所示 则a 0 0 0 b 2 0 0