高考数学一轮复习 4.4解三角形课件.ppt

课标版理数 4 4解三角形 1 正弦定理 余弦定理 1 正弦定理 在 abc中 2r r为 abc外接圆半径 2 余弦定理a2 b2 c2 2bccosa b2 a2 c2 2accosb c2 a2 b2 2abcosc 推论 cosa cosb cosc 2 解三角形的类型 1 已知两角一边 用正弦定理 有解时 只有一解 2 已知两边及其一边的对角 用正弦定理 在 abc中 已知a b和角a时 解的情况如下 表中a为锐角时 a bsina无解 a为钝角或直角时 a b a b均无解 3 已知三边 用余弦定理 有解时 只有一解 4 已知两边及夹角 用余弦定理 必有一解 3 三角形面积设 abc的三边为a b c 对角为a b c 其面积为s 1 s ah h为bc边上的高 2 s absinc acsinb bcsina 4 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫做仰角 在水平线下方的角叫做俯角 如图a 2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角 如b点的方位角为 如图b 3 坡角 坡面与水平面所成的锐二面角 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 1 已知 abc中 a 1 b b 45 则角a等于 a 150 b 90 c 60 d 30 答案d在 abc中 由 得 解得sina a b a b a 30 故选d 2 在 abc中 a 60 ac 16 其面积为220 那么bc的长度为 a 25b 51c 49d 49答案d s abc ab acsin60 4ab 220 ab 55 由余弦定理 有bc2 162 552 2 16 55 cos60 2401 得bc 49 3 abc中 下列结论 a2 b2 c2 则 abc为钝角三角形 a2 b2 c2 bc 则 a为60 a2 b2 c2 则 abc为锐角三角形 a b c 1 2 3 则a b c 1 2 3 其中正确的个数为 a 1b 2c 3d 4答案a cosa 0 c为锐角 但 a和 b不一定为锐角 错误 a 30 b 60 c 90 a b c 1 2 错误 故选a 4 在 abc中 bc 2 ac b 则ab abc的面积是 答案3 解析由余弦定理 得ac2 bc2 ab2 2bc abcos ab 3 负值舍去 s abc ab bc sin 5 已知 abc中 三个内角a b c所对的边长分别为a b c 且a 1 b a 30 则c 答案1或2解析 a 1 b a 30 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa得1 3 c2 3c 即c2 3c 2 0 因式分解得 c 1 c 2 0 解得c 1或c 2 经检验都符合题意 所以c 1或2 6 abc的三个内角a b c所对边的长分别为a b c 已知c 3 c a 2b 则b的值为 答案解析由余弦定理c2 a2 b2 2abcosc得9 4b2 b2 2 2b2 cos 解得b 典例1 2014湖南 18 12分 如图 在平面四边形abcd中 ad 1 cd 2 ac 1 求cos cad的值 2 若cos bad sin cba 求bc的长 利用正 余弦定理解三角形 解析 1 在 adc中 由余弦定理 得cos cad 2 设 bac 则 bad cad 因为cos cad cos bad 所以sin cad sin bad 于是sin sin bad cad sin badcos cad cos badsin cad 在 abc中 由正弦定理 得 故bc 3 1 已知两边和一边的对角解三角形时 可有两解 一解 无解三种情况 应根据已知条件判断解的情况 主要是根据图形或由 大边对大角 作出判断 2 三角形中常见的结论 1 三内角和等于180 2 在三角形中大边对大角 反之亦然 3 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 1 1 2013北京 15 13分 在 abc中 a 3 b 2 b 2 a 1 求cosa的值 2 求c的值 解析 1 因为a 3 b 2 b 2 a 所以在 abc中 由正弦定理得 所以 故cosa 2 由 1 知cosa 所以sina 因为 b 2 a 所以cosb 2cos2a 1 所以sinb 在 abc中 sinc sin a b sinacosb cosasinb 所以c 5 典例2 1 2014课标 4 5分 钝角三角形abc的面积是 ab 1 bc 则ac a 5b c 2d 1 2 2014福建 12 4分 在 abc中 a 60 ac 4 bc 2 则 abc的面积等于 答案 1 b 2 2解析 1 s abc ab bcsinb 1 sinb sinb 若b 45 则由余弦定理得ac 1 abc为直角三角形 不符合题意 因此b 135 由余弦定理得ac2 ab2 bc2 2ab bccosb 1 2 2 1 与三角形面积有关的问题 5 ac 故选b 2 由 得sinb sina 1 b 90 故c 30 s abc ac bcsinc 4 2 2 有关三角形面积问题的求解方法 1 灵活运用正 余弦定理实现边角转化 2 合理运用三角函数公式 如同角三角函数的基本关系 二倍角公式等 3 灵活运用三角形的面积公式 s absinc bcsina acsinb 2 1已知在 abc中 ab bc 1 sinc cosc 则 abc的面积为 答案解析由sinc cosc得tanc 又c 0 所以c 根据正弦定理可得 2 所以sina 因为ab bc 所以a c 所以a 所以b 所以 abc为直角三角形 所以s abc 1 2 2 2013课标全国 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知a bcosc csinb 1 求b 2 若b 2 求 abc面积的最大值 解析 1 由已知及正弦定理得sina sinbcosc sinc sinb 又a b c 故sina sin b c sinbcosc cosbsinc 由 和c 0 得sinb cosb 又b 0 所以b 2 abc的面积s acsinb ac 由已知及余弦定理得4 a2 c2 2accos 又a2 c2 2ac 故ac 当且仅当a c时 等号成立 因此 abc面积的最大值为 1 典例3 2013江苏 18 16分 如图 游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径 一种是从a沿直线步行到c 另一种是先从a沿索道乘缆车到b 然后从b沿直线步行到c 现有甲 乙两位游客从a处下山 甲沿ac匀速步行 速度为50m min 在甲出发2min后 乙从a乘缆车到b 在b处停留1min后 再从b匀速步行到c 假设缆车匀速直线运行的速度为130m min 山路ac长为1260m 经测量 cosa cosc 1 求索道ab的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制 利用正 余弦定理解决实际应用问题 在什么范围内 解析 1 在 abc中 因为cosa cosc 所以sina sinc 从而sinb sin a c sin a c sinacosc cosasinc 由 得ab sinc 1040 m 所以索道ab的长为1040m 2 设乙出发t分钟后 甲 乙两游客距离为dm 此时 甲行走了 100 50t m 乙距离a处130tm 所以由余弦定理得d2 100 50t 2 130t 2 2 130t 100 50t 200 37t2 70t 50 因0 t 即0 t 8 故当t 时 d最小 所以乙出发分钟后 甲 乙两游客距离最短 3 由 得bc sina 500 m 乙从b出发时 甲已走了50 2 8 1 550 m 还需走710m才能到达c 设乙步行的速度为vm min 由题意得 3 3 解得 v 所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在 单位 m min 范围内 1 解三角形实际应用问题的一般步骤 审题 建模 求解 检验作答 2 解三角形应用题的两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 这时需作出 找出 这些三角形 先解能直接解的三角形 然后逐步解其他三角形 有时需设出未知量 利用几个三角形中边角所满足的关系列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 3 1为了在一条河上建一座桥 施工前在河两岸打上两个桥位桩a b 如图 以测算两点的距离 测量人员在岸边定出基线bc 测得bc 50m abc 105 bca 45 则可以计算出a b两点的距离为 a 50mb 50mc 25md m答案a 解析在 abc中 由正弦定理得 ab 50 m 3 2如图 一栋建筑物ab的高为 30 10 m 在该建筑物的正东方向有一个通信塔cd 在它们之间的地面点m b m d