高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 不等式选讲课件 理 新人教版.ppt

不等式选讲 1 绝对值不等式 1 定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当 时 等号成立 2 定理2 如果a b c是实数 那么 a c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 ab 0 a b b c 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c c 0 2 ax b c c 0 c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法方法一 利用绝对值不等式的 求解 体现数形结合思想 方法二 利用 求解 体现分类讨论思想 方法三 通过构建函数 利用函数的图象求解 体现函数与方程思想 几何意义 零点分段法 易错提醒 1 忽略条件致误 应用绝对值不等式的性质求函数的最值时 一定要注意等号成立的条件 特别是多次使用不等式时 必须使等号同时成立 2 不能准确去掉绝对值号致误 在去掉绝对值号时 不能正确分类 导致解题失误 3 忽略对分母符号的判断致误 在使用作商比较法时 易忽视对分母的符号进行判断而致误 热点考向一绝对值不等式的解法命题解读 主要考查绝对值不等式的解法以及分类讨论和转化与化归的数学思想 典例1 2015 全国卷 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 解题导引 1 利用零点分段法将不等式f x 1化为一元一次不等式组来解 2 将f x 化为分段函数 求出f x 与x轴围成三角形的顶点坐标 即可求出三角形的面积 根据题意列出关于a的不等式 即可解出a的取值范围 规范解答 1 当a 1时 不等式f x 1化为 x 1 2 x 1 1 0 当x 1时 不等式化为x 4 0 无解 当 10 解得0 解得1 x1的解集为 x x 2 2 由题设可得 f x 所以函数f x 的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为a b 2a 1 0 c a a 1 abc的面积为 a 1 2 由题设得 a 1 2 6 故a 2 所以a的取值范围为 2 规律方法 1 用零点分段法解绝对值不等式的步骤 1 求零点 2 划区间 去绝对值号 3 分别解去掉绝对值的不等式 组 4 取每个结果的并集 注意在分段时不要遗漏区间的端点值 2 图象法求解不等式用图象法 数形结合可以求解含有绝对值的不等式 使得代数问题几何化 既通俗易懂 又简洁直观 是一种较好的方法 变式训练 2016 全国卷 已知函数f x 2x a a 1 当a 2时 求不等式f x 6的解集 2 设函数g x 2x 1 当x r时 f x g x 3 求a的取值范围 解析 1 当a 2时 f x 2x 2 2 解不等式 2x 2 2 6得 1 x 3 因此f x 6的解集为 x 1 x 3 2 当x r时 f x g x 2x a a 1 2x 2x a 1 2x a 1 a a 所以当x r时 f x g x 3等价于 1 a a 3 当a 1时 等价于1 a a 3 无解 当a 1时 等价于a 1 a 3 解得a 2 所以a的取值范围是 2 加固训练 已知函数f x x 3 5 g x x 2 2 1 求不等式f x 2的解集 2 若不等式f x g x m 3有解 求实数m的取值范围 解析 1 由f x 2 得 x 3 7 所以 7 x 3 7 所以 4 x 10 所以不等式f x 2的解集为 4 10 2 因为f x g x m 3有解 所以 x 3 x 2 m有解 因为 x 3 x 2 x 3 x 2 5 所以 5 x 3 x 2 5 所以m 5 即m的取值范围是 5 热点考向二绝对值不等式的恒成立问题命题解读 主要考查绝对值不等式的性质 常和绝对值不等式的解法交汇命题 典例2 2016 哈尔滨二模 设函数f x x 1 2x 1 1 求不等式f x 2的解集 2 若 x r 不等式f x a x 恒成立 求实数a的取值范围 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成三个小题 讨论当x 0时 不等式成立的情况 当x 0时 分离变量a 把所求问题转化为求最值问题 利用绝对值不等式的性质求最值 规范解答 1 由f x 2得或或解得x 0或x 所以原不等式的解集为 x x 0或x 2 当x 0时 f x 2 a x 0 原不等式恒成立 当x 0时 原式等价转换为 a恒成立 即a 因为当且仅当 0 即 x 1时取等号 所以a 1 母题变式 1 若本例题的条件不变 当不等式f x a恒成立时 试求a的取值范围 解析 f x x 1 2x 1 则f x f 从而a 2 若本例题条件变为 已知函数f x x a 2 x b a 0 b 0 的最小值为1 试求 1 a b的值 2 的最小值 解析 1 f x 其图象如图所示 因此 f x 的最小值是f b a b 依题意 有a b 1 2 a 0 b 0 且a b 1 当且仅当时 上式取等号 又a b 1 故当且仅当a 1 b 2 时 有最小值3 2 规律方法 求含绝对值号函数的最值的两种方法 1 利用 a b a b a b 求解 2 将函数化为分段函数 数形结合求解 变式训练 2016 揭阳二模 设a r f x x a 1 a x 1 解关于a的不等式f 2 0 2 如果f x 0恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 方法一 f 2 2 a 2 1 a 不等式f 2 2或 所以所求不等式的解集为 方法二 由f 2 解集为 2 f x x a 1 a x 因为f x 0恒成立 故有解得0 a 1 加固训练 已知函数f x x 3 x 2 k 1 若f x 3恒成立 求k的取值范围 2 当k 1时 解不等式f x 3x 解析 1 由题意 得 x 3 x 2 k 3 对 x r恒成立 即 x 3 x 2 min 3 k 又 x 3 x 2 x 3 x 2 1 所以 x 3 x 2 min 1 3 k 解得 k 2 2 当k 1时 不等式可化为f x x 3 x 2 16 解得 x 此时不等式解集为2 解得 x 此时不等式解集为2 x 3 此时不等式解集为2 4 此时不等式解集为x 3 综上 原不等式的解集为 热点考向三不等式的证明命题解读 主要考查利用比较法比较大小 利用综合法 分析法证明不等式 典例3 2016 重庆二模 设不等式 2x 1 2 解题导引 1 利用作差比较法比较大小 2 先利用不等式的性质得到h3 再利用不等式的放缩得h3 8 规范解答 1 m x 00 所以ab 1 a b 2 因为所以h3 8 所以h 2 规律方法 证明不等式的基本方法证明不等式的传统方法有 比较法 综合法 分析法 1 比较法有作差比较法和作商比较法两种 2 用综合法证明不等式时 主要是运用基本不等式证明 一方面要注意基本不等式成立的条件 另一方面要善于对式子进行恰当的转化 变形 3 如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显 可考虑用分析法 4 综合法往往是分析法的相反过程 其表述简单 条理清楚 当问题比较复杂时 通常把分析法和综合法结合起来使用 以分析法寻找证明的思路 而用综合法叙述 表达整个证明过程 变式训练 2016 石家庄一模 已知函数f x x x 1 1 若f x m 1 恒成立 求实数m的最大值m 2 在 1 成立的条件下 正实数a b满足a2 b2 m 证明 a b 2ab 解析 1 由已知可得 f x 所以f x min 1 所以只需 m 1 1 解得 1 m 1 1 所以0 m 2 所以实数m的最大值m 2 2 方法一 综合法因为a2 b2 2ab 所以ab 1 所以 1 当且仅当a b时取等号 又因为 所以 所以当且仅当a b时取等号 由 得 所以所以a b 2ab 方法二 分析法因为a 0 b 0 所以要证a b 2ab 只需证 a b 2 4a2b2 即证a2 b2 2ab 4a2b2 因为a2 b2 m 所以只要证2 2ab 4a2b2 即证2 ab 2 ab 1 0 即证 2ab 1 ab 1 0 因为2ab 1 0 所以只需证ab 1 下证ab 1 因为2 a2 b2 2ab 所以ab 1成立 所以a b 2ab 加固训练 2016