高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第十节 圆锥曲线的综合问题课件 理.ppt

理数课标版 第十节圆锥曲线的综合问题 考点一定点 定值问题典例1 2016北京 19 14分 已知椭圆c 1 a b 0 的离心率为 a a 0 b 0 b o 0 0 oab的面积为1 1 求椭圆c的方程 2 设p是椭圆c上一点 直线pa与y轴交于点m 直线pb与x轴交于点n 求证 an bm 为定值 考点突破 解析 1 由题意得解得a 2 b 1 所以椭圆c的方程为 y2 1 2 证明 由 1 知 a 2 0 b 0 1 设p x0 y0 则 4 4 当x0 0时 直线pa的方程为y x 2 令x 0 得ym 从而 bm 1 ym 直线pb的方程为y x 1 令y 0 得xn 从而 an 2 xn 所以 an bm 4 当x0 0时 y0 1 bm 2 an 2 所以 an bm 4 综上 an bm 为定值 方法技巧1 定点问题的常见解法 1 根据题意选择参数 建立一个含参数的直线系或曲线系方程 经过分析 整理 对方程进行等价变形 以找出适合方程且与参数无关的坐标 该坐标对应的点即为所求定点 2 从特殊位置入手 找出定点 再证明该点符合题意 2 求定值问题常见的方法 1 从特殊情况入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 1 1已知椭圆c y2 1 a 1 的上顶点为a 右焦点为f 直线af与圆m x 3 2 y 1 2 3相切 1 求椭圆c的标准方程 2 若不过点a的动直线l与椭圆c交于p q两点 且 0 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 解析 1 圆m的圆心为 3 1 半径r 由题意知a 0 1 f c 0 则直线af的方程为 y 1 即x cy c 0 由直线af与圆m相切 得 解得c2 2 所以a2 c2 1 3 故椭圆c的标准方程为 y2 1 2 解法一 由 0 知ap aq 从而直线ap与坐标轴不垂直 由a 0 1 可设直线ap的方程为y kx 1 k 0 则直线aq的方程为y x 1 k 0 将y kx 1代入椭圆c的方程 y2 1中 整理 得 1 3k2 x2 6kx 0 解得x 0或x p 即p 将上面p的坐标中的k换成 得q 直线l的方程为y 化简得直线l的方程为y x 因此直线l过定点 解法二 由 0知ap aq 从而直线pq与x轴不垂直 故可设直线l的方程为y kx t t 1 将其与椭圆方程联立得 消去y 整理得 1 3k2 x2 6ktx 3 t2 1 0 设p x1 y1 q x2 y2 则 由 0 得 x1 y1 1 x2 y2 1 1 k2 x1x2 k t 1 x1 x2 t 1 2 0 将 代入 得t 直线l过定点 考点二最值与范围问题典例2 2016课标全国 20 12分 已知椭圆e 1的焦点在x轴上 a是e的左顶点 斜率为k k 0 的直线交e于a m两点 点n在e上 ma na 1 当t 4 am an 时 求 amn的面积 2 当2 am an 时 求k的取值范围 解析 1 设m x1 y1 则由题意知y1 0 当t 4时 e的方程为 1 a 2 0 1分 由已知及椭圆的对称性知 直线am的倾斜角为 因此直线am的方程为y x 2 2分 将x y 2代入 1得7y2 12y 0 解得y 0或y 所以y1 4分 因此 amn的面积s amn 2 5分 2 由题意 t 3 k 0 a 0 将直线am的方程y k x 代入 1得 3 tk2 x2 2 tk2x t2k2 3t 0 7分 由x1 得x1 故 am x1 8分 由题设 直线an的方程为y x 同理可得 an 9分 由2 am an 得 即 k3 2 t 3k 2k 1 当k 时上式不成立 因此t 10分 t 3等价于 0 即 0 11分 由此得或解得 k 2 因此k的取值范围是 2 12分 方法技巧圆锥曲线中的最值 范围 问题类型较多 解法灵活多变 但总体上主要有两种方法 一是几何法 即通过利用曲线的定义 几何性质以及平面几何中的定理 性质等进行求解 二是代数法 即把要求最值 范围 的几何量或代数表达式表示为某个 些 变量的函数 然后利用函数方法 不等式方法等进行求解 2 1 2014北京文 19 14分 已知椭圆c x2 2y2 4 1 求椭圆c的离心率 2 设o为原点 若点a在直线y 2上 点b在椭圆c上 且oa ob 求线段ab长度的最小值 解析 1 由题意 知椭圆c的标准方程为 1 所以a2 4 b2 2 从而c2 a2 b2 2 因此a 2 c 故椭圆c的离心率e 2 设点a b的坐标分别为 t 2 x0 y0 其中x0 0 因为oa ob 所以 0 即tx0 2y0 0 解得t 又 2 4 所以 ab 2 x0 t 2 y0 2 2 y0 2 2 4 4 4 0 4 因为 4 0 4 且当 4时等号成立 所以 ab 2 8 故线段ab长度的最小值为2 考点三圆锥曲线中的探索性问题典例3 2015北京 19 14分 已知椭圆c 1 a b 0 的离心率为 点p 0 1 和点a m n m 0 都在椭圆c上 直线pa交x轴于点m 1 求椭圆c的方程 并求点m的坐标 用m n表示 2 设o为原点 点b与点a关于x轴对称 直线pb交x轴于点n 问 y轴上是否存在点q 使得 oqm onq 若存在 求点q的坐标 若不存在 说明理由 解析 1 由题意得解得a2 2 故椭圆c的方程为 y2 1 设m xm 0 因为m 0 所以 1 n 1 因为直线pa的方程为y 1 x 所以xm 即m 2 存在 因为点b与点a关于x轴对称 所以b m n 设n xn 0 则xn 存在点q 0 yq 使得 oqm onq 等价于 存在点q 0 yq 使得 即yq满足 xm xn 因为xm xn n2 1 所以 xm xn 2 所以yq 或yq 故在y轴上存在点q 使得 oqm onq 点q的坐标为 0 或 0 方法技巧 1 探索性问题通常采用 肯定顺推法 其步骤如下 假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 列出与该元素相关的方程 组 若方程 组 有实数解 则元素存在 否则 元素不存在 2 反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法 3 1在平面直角坐标系xoy中 经过点 0 且斜率为k的直线l与椭圆 y2 1有两个不同的交点p和q 1 求k的取值范围 2 设椭圆与x轴正半轴 y轴正半轴的交点分别为a b 是否存在常数k 使得向量 与共线 如果存在 求k的值 如果不存在 请说明理由 解析 1 由已知条件知 直线l的方程为y kx 代入椭圆方程得 kx 2 1 整理得x2 2kx 1 0 直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于 8k2 4 4k2 2 0 解得k 即k的取值范围为 2