高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.1 简单几何体的结构、三视图和直观图课件 文 北师大版.ppt

8 1简单几何体的结构 三视图和直观图 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 简单几何体的结构特征 1 旋转体 圆柱可以由绕其一边所在直线旋转得到 圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到 圆台可以由直角梯形绕所在直线或等腰梯形绕上 下底中点连线所在直线旋转得到 也可由平行于底面的平面截圆锥得到 球可以由半圆或圆绕所在直线旋转得到 知识梳理 矩形 直径 直角边 直角腰 2 多面体 棱柱的侧棱都 上 下底面是的多边形 棱锥的底面是任意多边形 侧面是有一个公共顶点的三角形 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到 其上 下底面是多边形 2 直观图画直观图常用画法 其规则是 1 在已知图形中建立直角坐标系xoy 画直观图时 它们分别对应x 轴和y 轴 两轴交于点o 使 x o y 它们确定的平面表示水平平面 平行且相等 全等 相似 斜二测 45 2 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于和的线段 3 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的 3 三视图 1 主 俯视图 主 左视图 俯 左视图 前后对应 x 轴 y 轴 长对正 高平齐 宽相等 2 在三视图中 需要画出所有的轮廓线 其中 视线所见的轮廓线画实线 看不见的轮廓线面虚线 3 同一物体放置的位置不同 所画的三视图可能不同 4 清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的 并注意它们的组成方式 特别是它们的交线位置 1 常见旋转体的三视图 1 球的三视图都是半径相等的圆 2 水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形 3 水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形 4 水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形 2 斜二测画法中的 三变 与 三不变 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 2 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 3 夹在两个平行的平面之间 其余的面都是梯形 这样的几何体一定是棱台 几何画板展示 几何画板展示 几何画板展示 4 正方体 球 圆锥各自的三视图中 三视图均相同 5 用两平行平面截圆柱 夹在两平行平面间的部分仍是圆柱 6 菱形的直观图仍是菱形 1 教材改编 下列说法正确的是a 相等的角在直观图中仍然相等b 相等的线段在直观图中仍然相等c 正方形的直观图是正方形d 若两条线段平行 则在直观图中对应的两条线段仍然平行 考点自测 答案 解析 由直观图的画法规则知 角度 长度都有可能改变 而线段的平行性不变 2 2016 宝鸡千阳中学二模 已知某几何体的三视图如图所示 单位长度 cm 则此几何体的表面积是 由三视图可知 该几何体为三棱柱 三棱柱的表面积为5个面的面积之和 又因为底面是等腰直角三角形 直角边长为2 棱柱的高为3 答案 解析 几何画板展示 3 教材改编 如图 直观图所表示的平面图形是 答案 解析 a 正三角形b 锐角三角形c 钝角三角形d 直角三角形 由直观图中 a c y 轴 b c x 轴 还原后原图ac y轴 bc x轴 直观图还原为平面图形是直角三角形 故选d 4 2016 广州模拟 已知某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则该几何体的体积是 cm3 答案 解析 98 由三视图可知 该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥 故几何体的体积是6 3 6 3 5 4 98 5 一个几何体的三视图如图所示 其中左视图与俯视图均为半径是2的圆 则这个几何体的体积是 答案 解析 8 题型分类深度剖析 题型一简单几何体的结构特征 例1给出下列命题 棱柱的侧棱都相等 侧面都是全等的平行四边形 在四棱柱中 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 存在每个面都是直角三角形的四面体 棱台的侧棱延长后交于一点 其中正确命题的序号是 答案 解析 不正确 根据棱柱的定义 棱柱的各个侧面都是平行四边形 但不一定全等 正确 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱 又垂直于底面 正确 如图 正方体abcd a1b1c1d1中的三棱锥c1 abc 四个面都是直角三角形 正确 由棱台的概念可知 思维升华 1 解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义 真正把握几何体的结构特征 可以根据条件构建几何模型 在几何模型中进行判断 2 解决本类题目的技巧 三棱柱 四棱柱 三棱锥 四棱锥是常用的几何模型 有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析 跟踪训练1 1 以下命题 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面 一个平面截圆锥 得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为a 0b 1c 2d 3 答案 解析 命题 错 因为这条边若是直角三角形的斜边 则得不到圆锥 命题 错 因为这条腰必须是垂直于两底的腰 命题 对 命题 错 必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以 故选b 2 给出下列四个命题 有两个侧面是矩形的图形是直棱柱 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 底面为正多边形 且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为 答案 解析 对于 平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形 故 错 对于 对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明 如图 故 错 对于 若底面不是矩形 则 错 由线面垂直的判定 侧棱垂直于底面 故 正确 综上 命题 不正确 题型二简单几何体的三视图 命题点1已知几何体 识别三视图 例2沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示 则该几何体的左视图为 答案 解析 由已知中几何体的直观图 我们可得左视图首先应该是一个正方形 故d不正确 中间的棱在左视图中表现为一条对角线 故c不正确 而对角线的方向应该从左上到右下 故a不正确 例3 2016 全国乙卷 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是 命题点2已知三视图 判断几何体的形状 答案 解析 a 17 b 18 c 20 d 28 由该几何体的三视图可知 这个几何体是把一个球挖掉它的得到的 如图所示 设该球的半径为r 则 r3 得r 2 所以它的表面积为4 22 4 22 3 22 17 故选a 命题点3已知三视图中的两个视图 判断第三个视图 例4 2016 石家庄质检 一个三棱锥的主视图和俯视图如图所示 则该棱锥的左视图可能为 答案 解析 由题图可知 该几何体为如图所示的三棱锥 其中平面acd 平面bcd 故选d 几何画板展示 思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略 1 由几何体的直观图求三视图 注意主视图 左视图和俯视图的观察方向 注意看到的部分用实线表示 不能看到的部分用虚线表示 2 由几何体的部分视图画出剩余的部分视图 先根据已知的一部分三视图 还原 推测直观图的可能形式 然后再找其剩下部分三视图的可能形式 当然作为选择题 也可将选项逐项代入 再看看给出的部分三视图是否符合 3 由几何体的三视图还原几何体的形状 要熟悉柱 锥 台 球的三视图 明确三视图的形成原理 结合空间想象将三视图还原为实物图 跟踪训练2 1 2016 全国丙卷 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某多面体的三视图 则该多面体的表面积为 答案 解析 2 如图是一几何体的直观图 主视图和俯视图 则该几何体的左视图为 答案 解析 由直观图 主视图和俯视图可知 该几何体的左视图应为面pad 且ec投影在面pad上 故b正确 几何画板展示 例5 1 已知正三角形abc的边长为a 那么 abc的平面直观图 a b c 的面积为 题型三空间几何体的直观图 答案 解析 如图 所示的实际图形和直观图 o c oc a 在图 中作c d a b 于d 则c d o c a 所以s a b c a b c d a a a2 故选d 由 可知 a b ab a 2 如图 矩形o a b c 是水平放置的一个平面图形的直观图 其中o a 6cm o c 2cm 则原图形是 a 正方形b 矩形c 菱形d 一般的平行四边形 答案 解析 oa oc 故四边形oabc是菱形 故选c 思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x 轴或y 轴平行 原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线 原图中的曲线段可以通过取一些关键点 作出在直观图中的相应点后 用平滑的曲线连接而画出 跟踪训练3如图是水平放置的某个三角形的直观图 d 是 a b c 中b c 边的中点且a d y 轴 a b a d a c 三条线段对应原图形中的线段ab ad ac 那么a 最长的是ab 最短的是acb 最长的是ac 最短的是abc 最长的是ab 最短的是add 最长的是ad 最短的是ac 答案 解析 a d y 轴 根据斜二测画法规则 在原图形中应有ad bc 又ad为bc边上的中线 所以 abc为等腰三角形 ad为bc边上的高 则有ab ac相等且最长 ad最短 典例将正方体 如图1所示 截去两个三棱锥 得到如图2所示的几何体 则该几何体的左视图为 空间几何的三视图 现场纠错系列9 确定几何体的三视图要正确把握投影方向 可结合正方体确定点线的投影位置 要学会区分三视图中的实虚线 错解展示 现场纠错 纠错心得 几何画板展示 解析结合正方体中各顶点投影 左视图应为一个正方形 中间两条对角线 答案c 返回 解析左视图中能够看到线段ad1 应画为实线 而看不到b1c 应画为虚线 由于ad1与b1c不平行 投影为相交线 故应选b 答案b 返回 课时作业 1 牟合方盖 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体 它由完全相同的四个曲面构成 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 好似两个扣合 牟合 在一起的方形伞 方盖 其直观图如图1 图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线 当其主视图和左视图完全相同时 它的主视图和俯视图分别可能是 答案 解析 a a bb a cc c bd b d 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当主视图和左视图完全相同时 牟合方盖 相对的两个曲面正对前方 主视图为一个圆 俯视图为一个正方形 且两条对角线为实线 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2016 全国甲卷 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积为 答案 解析 a 20 b 24 c 28 d 32 由三视图可知 组合体的底面圆的面积和周长均为4 圆锥的母线长l 4 所以圆锥的侧面积为s锥侧 4 4 8 圆柱的侧面积s柱侧 4 4 16 所以组合体的表面积s 8 16 4 28 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 如图所示 下列几何体各自的三视图中 有且仅有两个视图相同的是a b c d 答案 解析 由几何体的结构可知 只有圆锥 正四棱锥两个几何体的主视图和左视图相同 且不与俯视图相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 2015 北京 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥最长棱的棱长为 答案 解析 根据三视图 可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥v abcd 其中vb 平面abcd 且底面abcd是边长为1的正方形 vb 1 所以四棱锥中最长棱为vd 连接bd 易知bd 在rt vbd中 vd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 2016 抚顺模拟 一只蚂蚁从正方体abcd a1b1c1d1的顶点a处出发 经正方体的表面 按最短路线爬行到达顶点c1位置 则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a b c d 由点a经正方体的表面 按最短路线爬行到达顶点c1位置 共有6种展开方式 若把平面abb1a1和平面bcc1b1展开到同一个平面内 在矩形中连接ac1会经过bb1的中点 故此时的主视图为 若把平面abcd和平面cdd1c1展开到同一个平面内 在矩形中连接ac1会经过cd的中点 此时主视图会是 其他几种展开方式对应的主视图在题中没有出现或者已在 中 故选d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 如图所示 四边形a b c d 是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图 在斜二测直观图中 四边形a b c d 是一直角梯形 a b c d a d c d 且b c 与y 轴平行 若a b 6 d c 4 a d 2 则原平面图形的面积为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点p是上底面a1b1c1d1内一动点 则三棱锥p abc的主视图与左视图的面积的比值为 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 如图所示 点o为正方体abcd a b c d 的中心 点e为平面b bcc 的中心 点f为b c 的中点 则空间四边形d oef在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的 填出所有可能的序号 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 空间四边形d oef在平面dcc d 上的投影是 在平面bcc b 上的投影是 在平面abcd上的投影是 故填 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 某几何体的三视图如图所示 1 判断该几何体是什么几何体 解答 2 画出该几何体的直观图 直观图如图所示 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 2