8年级数学(上)培优辅导之四(直角三角形)

江山二中八年级数学 上 培优辅导之四江山二中八年级数学 上 培优辅导之四 直角三角形 直角三角形 班级班级 姓名姓名 勾股定理 及逆定理 C 90o c 为斜边 为斜边 a2 b2 c2 直角三角形是一类特殊三角形 有着丰富的性质 两锐角互余 角的关系 勾股定理 边的关 系 30 角所对的直角边等于斜边的一半 边角关系 这些性质在求线段的长度 证明线段倍分 关系 证明线段平方关系等方面有广泛的应用 勾股定理是现阶段线段计算 证明线段平方关系 的主要方法 运用勾股定理的逆定理 通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手 段 等腰三角形三边之比为 1 1 30o的直角三角形三边比为 1 223 30 例题求解例题求解 例 1 如图 以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边向内作等边 ABD 连结 DC 以 DC 为 边作等边 DCE B E 在 CD 的同侧 若 AB 则 BE 2 B C D A E 例 2 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正 方形拼成的一个大正方形 如图所示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三 角形的较短直角边为 a 较长直角边为 b 那么 a b 2的值为 例 3 如图 P 为 ABC 边 BC 上的一点 且 PC 2PB 已知 ABC 45 APC 60 求 ACB 的度数 B C A P 例 4 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D 设 AC b BC a AB c CD h 求证 1 2 3 以 为边的三角 222 111 hba hcba ba hhc 形是直角三角形 B C D A 例 5 一个直角三角形的边长都是整数 它的面积和周长的数值相等 这样的直角三角 形 是否存在 若存在 确定它三边的长 若不存在 说明理由 学历训练学历训练 1 如图 AD 是 ABC 的中线 ADC 45 把 ACD 沿 AD 对折 点 C 落在点 C 的 位 置 则 BC 与 BC 之间的数量关系是 BCD A C B C D A P 第 1 题 第 2 题 2 如图 ABC 是直角三角形 BC 是斜边 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后 能与 ACD 重 合 若 AP 3 则 PD 的长等于 3 如图 已知 AB 13 BC 14 AC 15 AD BC 于 D 则 AD 4 如图 四边形 ABCD 中 AB 3cm BC 4cm CD 12 DA 13cm 且 ABC 90 则四边形 ABCD 的面积是 cm2 B C D A B C D A 10 8 B C D A 第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 7 题 5 如图 一个长为 10 米的梯子 斜靠在墙上 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米 如果梯子 的顶端下滑 1 米 则梯子底端的滑动距离 米 6 如果一个三角形的一条边是另一条边的 2 倍 并且有一个角是 30 那么这个三角形的形状 是 A 直角三角形 B 钝角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 7 在四边形 ABCD 中 A 60 B D 90 BC 2 CD 3 则 AB 8 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 每个小格的顶点叫做格点 以格点为顶点分 别按下列要求画三角形 1 使三角形的三边长分别为 3 2 2 使三角形为钝角三角25 形且面积为 4 B C A N M 第 8 题 第 9 题 第 10 题 9 如图 在 ABC 中 AB AC A 120 MN 垂直平分 AB 求证 CM 2BM 10 如图 圆柱体的棱 AB 10 AE 2 CD 上 F 点 CF 6 圆柱底面周长为 16 1 如一只蚂蚁从 E 沿着外曲面爬到 F 求出最短路线的长 2 如 F 点在里面 蚂蚁从 E 爬到 F 求出最短路线 长 11 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB AC E F 分别是 BC 上两点 若 EAF 45 试推断 BE CF EF 之间的数量关系 并说明理由 12 如图 在 ABC 中 AB 5 AC 13 边 BC 上的中线 AD 6 则 BC 的长为 B C A F E BCD A BC A P 第 11 题 第 12 题 第 13 题 第 14 题 第 15 题 13 如图 设 P 是等边 ABC 内的一点 PA 3 PB 4 PC 5 求 APB 的度数 14 如图 一个的三边长均为正整数 已知它的一条直角边的长恰是 2015 那么这样的直角 三角形共有几个 说明过程 15 如图 用 3 个边长为 l 的正方形组成一个对称图形 则能将其完全覆盖的圆的最小半径 为 16 若 ABC 的三边 a b c 满足条件 求三角形cbacba262410338 222 的周长与面积 江山二中八年级数学 上 培优辅导之五 特殊三角形 班级 姓名 1 已知 ABC 两边 a 4 b 3 按以下条件分别求第三边 c 的长度范围 1 ABC 是直角三角形 2 ABC 是锐角三角形 3 ABC 是钝角三角形 2 如图 ACB 90 AD 是 CAB 的平分线 BC 4 CD 求 AC 的长 2 3 B C D A 3 如图 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 F F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求 DEF 的面积 BCD A F E 4 如图 在 ABC 中 AB AC 1 若 P 是 BC 边上的中点 连结 AP 求证 BP CP AB2一 AP2 2 若 P 是 BC 边上任意一点 上面的结论还成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 3 若 P 是 BC 边延长线上一点 线段 AB AP BP CP 之间有什么样的关系 请证明你的结论 B C A P 备用图 5 如图 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D AF 平分 CAB 交 CD 于 E 交 CB 于 F 且 EG AB 交 CB 于 G 求证 CF GB B C DA G F E 6 如图 ABC 是直角三角形 ABC 90 AB 4 ACB 30 D 在 BC 上 如 ADC 沿着 AD 对折 使得 C 点落在 E 处 且 CDDE 求 AEC 面积 7 如图 ABC 和 DBE 都是等腰直角三角形 且 A E F D 在一条直线上 BFAD 1 求证 ABE CBD 2 AD CD BF 之间有何数量关系 写出并证明你的结论 8 ABC ACB 90 分别以三边为边长向外作正 ADC 正 EBC 正 ABF 设它们的面积分别为 S1 S2 S3 1 直接写出 S1 S2 S3的数量关系 证明上述结论 2 将正 ADC 正 EBC 正 ABF 都改成半圆 结论成立吗 为什么 9 双正方形问题 以 ABC 的边 AC AB 向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE 过 A 作 ANBC 交 GE 于 M 求证 M 为 GE 中点 10 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 30 ADC 60 AD CD 求证 BD2 AB2 BC2 B C D A 11 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D E 在 BC 边上 取 DAE 45 1 如 BD 3 CE 4 求 DE 长 2 当 D 在 E 左边时 写出 BD DE CE 之间 的等量关系 并证明 江山二中八年级数学 上 培优辅导自测三 特殊三角形 班级 姓名 1 直角三角形有两条边的长为 6 8 那么第三边上的中线长是 2 如等边三角形的边长为 4 那么它的面积是 面积为 16的等边三 3 角形的边长是 3 如图 CAB 45o P 是 CAB 内部一点 AP 4 M N 分别在 AB AC 上 那么 PMN 的周长为 第 3 题 第 4 题 第 5 题 4 一只蚂蚁从圆柱体的 B 点绕着侧面一圈爬到棱 AB 中点 C 处 如 AB 10 圆柱体的 底面周长为 12 那么蚂蚁爬行的最短路程为 5 Rt ABC 的斜边 AB 10 AC 8 将 BC 沿 BD 对折 C 点落在 AB 边的 E 点 那么 折痕 BD S ABD 6 ABC 的边 AB 20 AC 15 BC 上高 AD 12 则 ABC 的面积为 7 如图 ABC 是等腰直角三角形 AB BC D 是斜边 AC 的中点 F F 分别 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 CF 3 AE 4 1 求 EF 的长 2 求证 四边 形 BEDF 面积是一个定值 并求出定值 8 如图 ABC 是等边三角形 延长 BA 到 D 点 延长 BC 到 E 点 使 AD BE 连接 CD CE 求证 CD CE 9 ABC 是等腰直角三角形 C 是直角顶点 将 AC 沿着 AD 对折 使得 C 点落在 E 点 再将 BDE 沿 DE 对折 B 落在 F 点 设 DE a 对于下列结果 DF 平分 ADE BC 2 a AF FD BDE 周长 BC2 1 正确的结论有 填序号 2 选一个结论加以证明 10 ABC 和 DBE 都是等腰直角三角形 B 是直角顶点 D 在 AC 边上 如 AD 3 CD 4 求四边形 ADBE 的面积与周长 江山二中八年级数学 上 培优辅导之六 专题练习 班级 姓名 专题一专题一 几何中的多值问题 分类讨论 几何中的多值问题 分类讨论 1 直角三角形有两条边的长为 6 8 那么第三边上的中线长是 2 直角三角形有两条边的长为 5 12 那么斜边边上的中线长是 3 用直角边为 3 4 的两个直角三角形拼成一个凸四边形 该四边形周长为 4 等腰三角形有两边的长为 4 和 6 那么它的周长为 面积为 5 等腰三角形 ABC AB AC P 在射线 CB 上 PD AB 于 D PE AC 于 E BF AC 于 F 则 PD PE BF 间的等量关系为 6 平面上依次四点 A B C D 且 AB 3 BC 12 CD 13 AD 4 A Rt 则由 A B C D 四点依次连接得到的图形面积为 7 ABC 的边 AB 26 AC 25 BC 上高 AD 24 则 ABC 的面积为 8 等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成 12 和 9 两部分 则它的底边长为 9 在 ABC 中 已知 AB AC 且过 ABC 某一顶点的直线可将 ABC 分成两个等腰三 角形 则 ABC 各内角的度数分别为 10 等腰三角形腰上的高等于腰的一半 这个等腰三角形的顶角度数为 11 一个等腰三角形某条边上的高等于其中一条边的一半 这个等腰三角形的顶角度数为 12 如图直线 m n 互相垂直 A B 分别在 n m 上 在 m 或 n 上找 C 点 使得 ABC 为等腰三角形 这样的点 C 可以有 个 12 题 13 题 13 Rt ABC 直角边长 AC 6 BC 8 P Q 同时分别从 A B 出发 经 C 点先后到达对方 的出发点 已知 P 点和 Q 点运动速度分别为每秒 1 和 2 个单位 作 PD DC QE DC 问 经过几秒钟 PDC 和 QEC 全等 专题二专题二 方程与勾股定理 代数几何相结合 方程与勾股定理 代数几何相结合 14 等腰三角形 ABC AB AC 5 BC 6 则腰上的高 15 直角 ABC C 90O AC 6 BC 8 以 BC 为直角边向外作直角 BCD 使得 DBC 是等腰三角形 则 CD 16 旗杆顶端垂下一条绳子 拖在地面的部分长度为 1 米 将绳子下端点沿地面向外拉 绳子拉直时 下端点与旗杆底端距离为 5 米 由此可知旗杆高 米 17 正方形 ABCD 内接一个正三角形 AEF E 在 BC 上 F 在 CD 上 如 AB 2 求 AE 18 ABC 三边 AB 3 AC 5 BC 7 求三角形面积和 A 度数 19 下图 ABC AB AC 4 A 120O P 沿 A B Q 沿 B C 同时出发 设 P Q 速度分别为 1 和 1 当 BPQ 为 Rt 时 求运动时间 2 当 BPQ 为等腰三3 角形时 求运动时间 20 如图将 AB 6 BC 8 的长方形沿 BD 对折 使得 C 点落在 C1 1处 求 AE 及 BED 面积 19 题 20 题 21 题 22 题 21 如图将 AB 6 BC 8 的长方形沿 EF 对折 使得 D 点落在 B 处 C 点落在 D1点 求 1 AE 2 BEF 面积 3 折痕 EF 22 如图长方形 ABCD AB 10 BC 8 P Q 同时分别从 A B 出发 沿 A B C D A 运动 当一个点先到达 A 点 另一个点就停止运动 设 P Q 每秒分别行 2 5 和 2 个单位 当 BPQ 为等腰三角形时 求出运动时间及 BQ 长度 专题三专题三 最短路线问题最短路线问题 优化思想 优化思想 1 如图 点 A B 与直线 m 的距离分别为 300m 和 100m 过 A B 作 m 垂线段 垂足为 C D 如 CD 300m 设 P 点在 m 上 则 AP BP 最短等于 2 如图 A B 在 4 5 网格交点处 小正方形边长为 1 在 m n 直线上找 C D 点 使 得四边形 ABCD 周长最短 这个最短距离等于 3 正方形 ABCD 边长为 4 E 是 CD 中点 设 F 在 AC 上 则 FD FE 最短 4 四边形 ABCD AB BC AD DC 2 D 120O E 是 AB 中的 设 F 在 AC 上 则 FE FB 最短 5 如图 长方形长宽高分别为 5 3 4 现在一只蚂蚁沿着外表面从 A 爬到 B 点 则最短 路程 6 如图 圆柱体侧棱 AB 10 AG 3 CF 2 圆柱底面周长为 24 如一只蚂蚁从 G 沿着表面爬 到 F 点 最短路线长 如 E 在上面圆周上 则蚂蚁沿着 G E F 爬到 F 点 最 短路线长 7 如图 从圆柱 B 处出发将绳子在面上绕一周半 另一端恰好在 C 点 如 AB 5 圆柱底面 周长为 8 则绳子最短长 8 如图 A B 是河岸两侧的两点 要在河上建一座桥 CD CD m 怎样建 使得 A 到 B 的路程最短 画出示意图 并写出画法 江山二中八年级数学 上 培优辅导之六 专题练习 班级 姓名 专题四专题四 动态探究问题 分类和转化思想 动态探究问题 分类和转化思想 1 已知两个共一个顶点的等腰 Rt ABC Rt