R1上的Fourier变换与Rn上的Fourier变换

R1上的Fourier变换与Rn上的Fourier变换摘要：本文分别给出了一维和n维的Fourier变换的定义，并较系统的给出了Fourier变换分别在一维和n维的性质。并讨论了Fourier变换在一维和n维中的区别和联系。关键词：R1上的Fourier变换 Rn上的Fourier变换一、 引言在数学中常用变换的方法来简化问题或运算，如在线性代数中的坐标变换；在积分中的变量代换使积分运算化简；在复变函数论中的保角变换，可使复杂的区域变换为较简单的区域，使某些问题容易解决。由此可见，变换的思想是数学中简化问题的常用方法。其中，积分变换的理论和方法是简化问题的一种重要而有效的数学方法，它不仅应用于许多数学分支，而且在物理与工程技术上都有广泛的应用，特别在自动控制和电信技术上，积分变换是分析问题的重要而有效的手段。积分变换就是通过积分的方法，把一个函数变换为另一个函数。最常用的积分变换有傅里叶(Fourier)变换与拉普拉斯(laplace)变换。本文着重讨论了傅里叶变换分别在一维和n维的定义和性质，以及它们之间的区别与联系。二、 正文2.1 R1上的Fourier变换的定义对定义在区间(-,+)上的实自变量t的函数f(t)，乘以e-it，然后对t由-到+积分。若此广义积分收敛，则此积分确定了一个实变数的复值函数F()，即 F=-+f(t)e-itdt （2.1.1）这样，式（2.1.1）中的积分给出了函数f(t)与另一个函数F的对应规律，这种对应规律叫积分变换。这里的积分变换，称作Fourier变换，用记号Ff(t)表示。即Fft=F=-+f(t)e-itdt 。函数F称为函数f(t)的像函数，或称为函数f(t)的傅里叶变换的结果，也简称为f(t)的傅里叶变换。反之，我们称f(t)为F的像原函数或傅里叶逆变换。F的逆变换用记号F-1ft表示，所以由（2.1.1）式有 ft=F-1ft=12-+F()eitd （2.1.2）对于定义在0,+)上的单侧函数f(t)，可以把f(t)延拓为(-,+)上的偶函数或奇函数，从而使其满足傅里叶积分定理的条件，则有以下结论：当f(t)延拓为(-,+)上的偶函数时，有 Fft=Fc=20+f(t)costdt （2.1.3）称为Fourier余弦变换。其相应的逆变换为 ft=10+F()costd （2.1.4）当f(t)延拓为(-,+)上的奇函数时，有 Fft=Fs=20+f(t)sintdt （2.1.5）称为Fourier正弦变换。其相应的逆变换为 ft=10+F()sintd （2.1.6）特别地，当函数f(t)为定义在(-,+)上的偶函数时，其对应的Fourier变换为 Fft=Fc （2.1.7）当f(t)为定义在(-,+)上的奇函数时，其对应的Fourier变换为 Fft=-iFs （2.1.8）2.2 R1上的Fourier变换的性质2.2.1 线性性质设f1(t)与f2(t)为任意的两个函数，a、b为任意常数，则 Faf1t+bf2(t)=aFf1t+bFf2(t) （2.2.1）2.2.2 对称性若Fft=F()，则作为t的函数F(t)的像函数为2f(-)，即 FFt=2f(-) （2.2.2）2.2.3 相似性设Fft=F，b0，则 Ffbt=1bF(b) （2.2.3）特别，取b=-1，就得翻转公式 Ff-t=F(-) （2.2.4）2.2.4 位移性质1、平移后的像函数设Fft=F，t0为实常数，则 Fft-t0=e-it0F() （2.2.5）2、像函数的平移设Fft=F，为实常数，则 Ffteit=F- （2.2.6）2.2.5 微分性质1、导数的像函数设f连续且在(-,+)上分段光滑,lim|t|ft=0，则当f和f为绝对可积时，有 Fft=iFf(t) （2.2.7）如果f和它的前n-1阶导数连续，第n阶导数分段连续，f及其直到n阶导数都绝对可积，并且当|t|时f和它的前n-1阶导数都趋于零，则 Ff(n)t=(i)nFf(t) n=0,1,2, （2.2.8）2、像函数的导数设Fft=F，则 ddF=-iFtft （2.2.9）一般地有 dndnF=(-i)nFtnft n=0,1,2, （2.2.10）2.2.6 积分性质若t的函数-tf(u)du满足傅里叶积分定理的条件，则 F-tfudu=1iF() （2.2.11）2.2.7 卷积与卷积定理含参变量t的积分-+f1uf2(t-u)du是t的函数，称作函数f1t与f2t的卷积函数，简称卷积，记作f1t*f2(t)，即 f1t*f2t=-+f1uf2(t-u)du （2.2.12）容易验证卷积满足交换律、结合律和对加法的分配率，即（1） f1*f2=f2*f1（2） f1*f2*f3=f1*(f2*f3)（3） f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3卷积定理 两个函数卷积的像函数，等于两个函数各自像函数的乘积，即 Ff1t*f2t=Ff1tFf2t （2.2.13）频谱卷积定理 两函数乘积的像函数，等于它们像函数卷积的12倍，即 Ff1tf2t=12Ff1t*Ff2t （2.2.14）不难把卷积定理推广到n重卷积的情况： Ff1t*f2t*fn(t)=Ff1tFf2tFfnt （2.2.15）Ff1tf2tfnt=1(2)n-1Ff1t*Ff2t*Ffnt （2.2.16）2 卷积定理提供了卷积计算的简便方法：化卷积计算为乘积运算。2.2.8 巴塞弗（Persevel）恒等式设Fft=F，Fgt=G，则 -+F()G()d=2-+f(t)g(t)dt （2.2.17）式中横线是共轭复数的记号。3特别地，当ft=gt时，有 -+|F|2d=2-+|ft|2dt （2.2.18）2.3 Rn上的Fourier变换的定义若要用傅里叶变换去解多维问题，首先必须将傅里叶变换的概念推广到多元函数去。n元函数f(x1,x2,xn)的傅里叶变换定义如下：F1,2,n=Ffx1,x2,xn=-+-+-+共n次fx1,x2,xn e-i1x1+2x2+nxndx1dx2dxn （2.3.1）此处假定f在n维空间Rn上连续可导并绝对可积。傅里叶逆变换公式为fx1,x2,xn=1(2)n-+-+-+共n次F1,2,n ei1x1+2x2+nxnd1d2dn （2.3.2）42.4 Rn上的Fourier变换的性质 Rn上Fourier变换的性质与R1上Fourier变换的性质类似。为表示方便n维函数fx1,x2,xn简记为f。2.4.1 线性性质设f1x1,x2,xn与f2x1,x2,xn为任意的两个n维函数，下面简记为f1和f2，a、b为任意常数，则 Faf1+bf2=aFf1+bFf2 （2.4.1）2.4.2 对称性若fx1,x2,xn的像函数是F1,2,n，则 FFx1,x2,xn=(2)nf-1,-2,-n （2.4.2）证明：由 fx1,x2,xn=1(2)n-+-+-+共n次F1,2,n ei1x1+2x2+nxnd1d2dn得f-x1,-x2,-xn=1(2)n-+-+-+共n次F1,2,n e-i1x1+2x2+nxnd1d2dn 将xk与k（k=1,2,n）互换得f-1,-2,-n=1(2)n-+-+-+共n次Fx1,x2,xn e-i1x1+2x2+nxndx1dx2dxn即 FFx1,x2,xn=(2)nf-1,-2,-n2.4.3 相似性设Ff(x1,x2,xn)=F1,2,n，b0，则 Ff(bx1,bx2,bxn)=1bnF(1b,2b,nb) （2.4.3）证明：令uk=bxk（k=1,2,n），则有当b0时，Ff(bx1,bx2,bxn)=-+-+-+共n次fbx1,bx2,bxn e-i1x1+2x2+nxndx1dx2dxn =1bn-+-+-+共n次fu1,u2,un e-i1u1b+2u2b+nunbdu1du2dun =1bnF(1b,2b,nb)同理可证当b0时，Ff(bx1,bx2,bxn)=1(-b)n-+-+-+共n次fu1,u2,un e-i1u1b+2u2b+nunbdu1du2dun =1(-b)nF(1b,2b,nb)综上所述， Ff(bx1,bx2,bxn)=1bnF(1b,2b,nb)2.4.4 位移性质1、平移后的像函数设Ff(x1,x2,xn)=F1,2,n，tk（k=1,2,n）为实常数，则Ff(x1-t1,x2-t2,xn-tn)=e-i(1t1+2t2+ntn)F1,2,n（2.4.4）证明：令uk=xk-tk（k=1,2,n），则有 Ff(x1-t1,x2-t2,xn-tn) =-+-+-+共n次f(x1-t1,x2-t2,xn-tn) e-i1x1+2x2+nxndx1dx2dxn =-+-+-+共n次f(u1,u2,un) e-i1u1+2u2+nun-i(1t1+2t2+ntn)du1du2dun =e-i(1t1+2t2+ntn)F1,2,n2、像函数的平移设Ff(x1,x2,xn)=F1,2,n，k(k=1,2,n)为实常数，则 Ffei(1x1+nxn)=F1-1,n-n （2.2.5）证明：Ffei(1x1+nxn)=-+-+-+共n次fei(1x1+nxn) e-i1x1+2x2+nxndx1dx2dxn =-+-+-+共n次fe-i1-1x1+n-1xndx1dx2dxn =F1-1,n-n2.4.5 微分性1、导数的像函数 Fxkf=ikFf k=1,2,n （2.4.6）一般地有 Fmxkmf=(ik)mFf k=1,2,n；m=1,2, （2.4.7） Fnxnx2x1f=(i)nk=1nkFf （2.4.8）2、像函数的导数 kFf=-iFxkf k=1,2,n （2.4.9）一般地有 mkmFf=(-i)mFxkmf k=1,2,n；m=1,2, （2.4.10） nn21Ff=(-i)nFk=1nxkf k=1,2,n （2.4.11） 以上各结论的证明比较麻烦，故证明在此被略去了。不过在证明上述结论的过程中，需要用到微分和积分交换顺序、积分交换顺序和分部积分法。所以函数f需要满足相应的条件。例如：在式2.4.8中要求f及其各阶偏导数在Rn上连续。2.4.6 积分性质若t的函数-tn-t2-t1f(x1,x2,xn)dx1dx2dxn满足傅里叶积分定理的条件，则 F-tn-t2-t1f(x1,x2,xn)dx1dx2dxn=1(i)nk=1nkF(1,2,n) （2.4.11）证明：设g(t1,t2,tn)=-tn-t2-t1f(x1,x2,xn)dx1dx2dxn 则由微分性质得Fntnt2t1g(t1,t2,tn)=(i)nk=1nkFg 而ntnt2t1g(t1,t2,tn)=f(x1,x2,xn)，所以 Ff=(i)nk=1nkF-tn-t2-t1f(x1,x2,xn)dx1dx2dxn 即F-tn-t2-t1f(x1,x2,xndx1dx2dxn=1(i)nk=1nkF(1,2,n)2.4.7 卷积性质 Ff1*f2=Ff1Ff2 （2.4.12）其中f1*f2=-+-+-+共n次f1x1,x2,xnf2x1-u,x2-u,xn-u dx1dx2dxn Ff1f2=1(2)nFf1*Ff2 （2.4.13） 一般地， Ff1*f2*fm=Ff1Ff2Ffm （2.4.14） Ff1f2fm=1(2)nmFf1*Ff2*Ffm （2.4.15）2.5 R1上的Fourier变换与Rn上的Fourier变换的区别一维的Fourier变换与n 维的Fourier变换无论是从定义或者是从相对应的性质作比较，都可以看出在形式上n维的Fourier变换要复杂一些。但是，在一维的Fourier变换中有两种特别的形式，分别是Fourier余弦变换和Fourier正弦变换。而在n维的Fourier变换中是没有的。R1上的Fourier变换与Rn上的Fourier变换的最大区别显然是在维数上。由于维数的不同，也就决定了它们的使用范围的不同。一维的Fourier变换解决的是一维的问题。若要Fourier变换去解多维问题，则需要用到n维的Fourier变换。2.6 R1上的Fourier变换与Rn上的Fourier变换的联系 首先，无论是利用一维的Fourier变换解决问题，还是利用n维的Fourier变换解决问题，均是把问题转化为积分方程求解。由前面一维Fourier变换的性质和n维Fourier变换的性质对比就可以看出，它们的性质非常的类似。n维Fourier变换的概念就是由一维Fourier变换的概念推广到多元函数上得到的。并且在n维Fourier变换中，令n=1，即可得到一维的Fourier变换的定义和性质。三、 小结虽然许多书都对Four