高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 理 新人教版.ppt

4 1任意角 弧度制及任意角的三角函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 任意角 定义 角可以看成平面内绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 分类 角按旋转方向分为 和 2 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 构成的角的集合是s 3 象限角 使角的顶点与重合 角的始边与重合 那么 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限角 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 1 角的概念 知识梳理 一条射线 图形 正角 负角 零角 k 360 k z 原点 x轴的非负半轴 1 定义 把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 用符号rad表示 读作弧度 正角的弧度数是一个 负角的弧度数是一个 零角的弧度数是 2 弧度制 半径 正数 负数 0 2 角度制和弧度制的互化 180 rad 1 rad 1rad 3 扇形的弧长公式 l 扇形的面积公式 s r 任意角 的终边与单位圆交于点p x y 时 sin cos tan x 0 三个三角函数的初步性质如下表 3 任意角的三角函数 y x r r 如下图 设角 的终边与单位圆交于点p 过p作pm x轴 垂足为m 过a 1 0 作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点t 4 三角函数线 mp om at 几何画板展示 1 三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号 一全正 二正弦 三正切 四余弦 2 任意角的三角函数的定义 推广 设p x y 是角 终边上异于顶点的任一点 其到原点o的距离为r 则 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 锐角是第一象限的角 第一象限的角也都是锐角 2 角 的三角函数值与其终边上点p的位置无关 3 不相等的角终边一定不相同 4 终边相同的角的同一三角函数值相等 5 若 0 则tan sin 6 若 为第一象限角 则sin cos 1 1 角 870 的终边所在的象限是a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 考点自测 答案 解析 由 870 1080 210 知 870 角和210 角终边相同 在第三象限 2 教材改编 已知角 的终边与单位圆的交点为m y 则sin 等于 答案 解析 答案 解析 4 已知在半径为120mm的圆上 有一段弧长是144mm 则该弧所对的圆心角的弧度数为 rad 答案 解析 1 2 5 函数y 的定义域为 答案 解析 由三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影所示 几何画板展示 题型分类深度剖析 题型一角及其表示 例1 1 若 k 180 45 k z 则 在a 第一或第三象限b 第一或第二象限c 第二或第四象限d 第三或第四象限 答案 解析 当k 2n n z 时 2n 180 45 n 360 45 为第一象限角 当k 2n 1 n z 时 2n 1 180 45 n 360 225 为第三象限角 所以 为第一或第三象限角 故选a 2 已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内 不包括边界 则角 用集合可表示为 答案 解析 思维升华 1 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角 2 利用终边相同的角的集合s 2k k z 判断一个角 所在的象限时 只需把这个角写成 0 2 范围内的一个角 与2 的整数倍的和 然后判断角 的象限 跟踪训练1 1 终边在直线y 上的角的集合是 答案 解析 答案 解析 3 题型二弧度制 例2 1 2016 成都模拟 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长 则其圆心角的弧度数是 答案 解析 设圆半径为r 则圆内接正方形的对角线长为2r 2 已知扇形的圆心角是 半径是r 弧长为l 若 100 r 2 求扇形的面积 解答 由题意知l 2r 20 即l 20 2r 若扇形的周长为20 求扇形面积的最大值 并求此时扇形圆心角的弧度数 解答 当r 5时 s的最大值为25 即扇形面积的最大值为25 此时扇形圆心角的弧度数为2rad 思维升华 应用弧度制解决问题的方法 1 利用扇形的弧长和面积公式解题时 要注意角的单位必须是弧度 2 求扇形面积最大值的问题时 常转化为二次函数的最值问题 利用配方法使问题得到解决 3 在解决弧长问题和扇形面积问题时 要合理地利用圆心角所在的三角形 跟踪训练2 1 将表的分针拨快10分钟 则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 答案 解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转 为负角 故a b不正确 又因为拨快10分钟 故应转过的角为圆周的 2 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长 则其圆心角的弧度数为 答案 解析 如图 等边三角形abc是半径为r的圆o的内接三角形 则线段ab所对的圆心角 aob 作om ab 垂足为m 在rt aom中 ao r aom 题型三三角函数的概念 命题点1三角函数定义的应用 答案 解析 2 点p从 1 0 出发 沿单位圆逆时针方向运动弧长到达q点 则q点的坐标为 答案 解析 由三角函数定义可知q点的坐标 x y 满足 命题点2三角函数线 例4函数y lg 2sinx 1 的定义域为 答案 解析 如图 在单位圆中作出相应的三角函数线 思维升华 1 利用三角函数的定义 已知角 终边上一点p的坐标可求 的三角函数值 已知角 的三角函数值 也可以求出点p的坐标 2 利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍 结合三角函数的周期性写出角的范围 跟踪训练3 1 已知角 的终边经过点 3a 9 a 2 且cos 0 sin 0 则实数a的取值范围是a 2 3 b 2 3 c 2 3 d 2 3 答案 cos 0 sin 0 角 的终边落在第二象限或y轴的正半轴上 解析 2 满足cos 的角 的集合为 答案 解析 作直线x 交单位圆于c d两点 连接oc od 则oc与od围成的区域 图中阴影部分 即为角 终边的范围 故满足条件的角 的集合为 典例 1 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于c 2 1 时 的坐标为 数形结合思想在三角函数中的应用 思想与方法系列6 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想 利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集 2 2017 合肥调研 函数y lg 3 4sin2x 的定义域为 2 sin2 1 cos2 思想方法指导 答案 解析 几何画板展示 几何画板展示 1 如图所示 过圆心c作x轴的垂线 垂足为a 过p作x轴的垂线与过c作y轴的垂线交于点b 因为圆心移动的距离为2 所以劣弧 2 即圆心角 pca 2 所以xp 2 cb 2 sin2 yp 1 pb 1 cos2 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 但是角度制与弧度制不能混用 所以只有答案c正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若 是第三象限角 则下列各式中不成立的是a sin cos 0b tan sin 0c cos tan 0d tan sin 0 答案 解析 是第三象限角 sin 0 cos 0 tan 0 则可排除a c d 故选b 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2017 九江质检 若390 角的终边上有一点p a 3 则a的值是 答案 解析 5 给出下列各函数值 sin 1000 cos 2200 tan 10 其中符号为负的是a b c d 答案 解析 sin 1000 sin80 0 cos 2200 cos 40 cos40 0 tan 10 tan 3 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a 1b 1c 3d 3 答案 解析 由 2k k z 及终边相同的概念知 角 的终边在第四象限 又角 与角 的终边相同 所以角 是第四象限角 所以sin 0 tan 0 所以y 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 在直角坐标系中 o是原点 a 1 将点a绕o逆时针旋转90 到b点 则b点坐标为 答案 解析 依题意知oa ob 2 aox 30 box 120 设点b坐标为 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设扇形半径为r 弧长为l 二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由 是第三象限角 知为第二或第四象限角 综上知为第二象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 在 0 2 内 使sinx cosx成立的x的取值范围为 答案 解析 如图所示 找出在 0 2 内 使sinx cosx的x值 根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 11 一个扇形oab的面积是1cm2 它的周长是4cm 求圆心角的弧度数和弦长ab 解答 设扇形的半径为rcm 弧长为lcm 如图 过o作oh ab于h 则 aoh 1rad ah 1 sin1 sin1 cm ab 2sin1 cm 圆心角的弧度数为2rad 弦长ab为2sin1cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 已知角 终边上一点p p到x轴的距离与到y轴的距离之比为3 4 且sin 0 求cos 2tan 的值 解答 又 sin 0 的终边只可能在第三 第四象限 若点p位于第三象限 可设p 4k 3k k 0 1 2 3 4