复变函数第一章学习指导

复变函数第一章学习指导一 知识结构1. 2. 学习要求:了解复数定义及其几何意义；熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数；理解复变函数的极限与连续。内容提要:复数是用有序数对定义的，其中为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，。 正如所有实数构成的集合用表示，所有复数构成的集合用表示，即 复数的四则运算定义为 复数的四则运算满足以下运算律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 称为的共轭复数，记为。称为的模，记为。共轭复数满足 复数的三角式 （其中） 复数的三角式 由此得如下关系式 对于复数，它的次方根为。点的邻域为复数集合，记为. 点的去心邻域为复数集合，记为。无穷远点的邻域为复数集合，记为.开集：所有点为内点的集合；开集的余集我们称为闭集.区域：1、是开集； 2、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于。 对于区域，若中任意一条简单闭曲线的内部仍属于，则称为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。复变函数的定义：设，如果对于中任意以点，有确定的复数同它对应，则称在上定义了一个复变函数，记为.复变函数的定义类似于数学分析中实函数的定义，不同的是前者是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。注1、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个和对应；注2、同样可以定义函数的定义域与值域；注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数。复变函数的极限：设函数在集合上确定，是的一个聚点，是一个复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称为函数当趋于时的极限，记作： 复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即且复变函数连续性的定义：如果成立，则称在处连续；如果在中每一点连续，则称在上连续。 如果，在处连续的充要条件为：四.典型例题例1 设，求 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。解为求，在分子分母同乘，再利用，得 例2 求复数的模解令，有由共轭复数的运算结果得例3 求解，故有 例4 设，求解因，故于是，的四个四次方根为 例5 试确定不等式所确定的点集是什么图形？解法1 （按复数几何意义和辐角定义分析）先考虑满足等式 的点的集合.因为 又和分别是始点在和而终点在的向量与正实轴的夹角（根据本书规定：主辐角的范围为，故上述描述成立）.因此等式表示到两定点的张角之差等于定数的点的集合.由平面几何的定理知，这是缺了点和的两个圆弧.见图1.10所示，图中两个圆弧实际上只有实线圆弧才是所确定的点集；虚线圆弧是所确定的点集.再考虑等式 确定的点集.实际上，此点集是虚轴上点以上，点以下的点的全体。从图中看出可见，该点集和图1.10中实线圆弧将整个平面分为两半. 容易验证，左边的部分除去圆域（即图中淡灰色）为不等式所确定的点集.解法2 根据辐角定义得出，由由题意得到 注意到，在的角度区域，正切函数是单增的，对上述不等式两边均取正切得到由此得到 或 注意到 是以（1，0）为圆心，以为半径的圆周，所以满足题给条件的是图1.10中灰色的部分. 根据题给辐角不等式，对于，其辐角不满足要求.例 6研究下列函数在点的连续性.（1）（2） 解（1），又因为，故函数连续.（2），又因为，故函数连续.1. 证明不等式（1）， （2）证明：（1）设设，则故同理: (2).由（）（）（）由（1）2、证明：（1）、，并作图。（2）、。证明：设，则(1) ，所以 (2) 所以，3、证明：设、是两复数。如果和都是实数，那么和或者都是实数，或者是一对共轭复数。证明：设由于和为实数，所以若，因此和为实数；若，所以，即。4、求复数的实部与虚部。解：所以，。5、设、实、是两复数，求证（1）、；（2）；（3）、，并说明其几何意义。证明：(1)、(2)、因为，所以 ，所以(3)、，所以，几何意义如图，平行四边形的对角线的平方和2乘以起两边的平方和.6、设，证明。证明：，因为 （算术-几何平均不等式）所以 ，所以 .7、试证：分别以、及、为顶点的两个三角形相似的必要与充分条件是。证明： 所以， 同理，有，所以 即三角形的三边成比例，所以相似，反之，若三角形相似，则对应三边成比例，对应角相等，可以证明 ，所以结论成立。8、如果，且，证明、是内接于单位圆的一个正三角形。证明：由于，所以它们在单位圆上；又因为，故如图，则与的夹角和与的夹角相等；同理，与的夹角和与的夹角相等；与的夹角和与的夹角相等；因此，容易证明，、的夹角为120度，所以结论成立。9、求证：证明：，所以 ，故 .11、设，证明：如果，那么 ；如果，那么（1）、；（2）、；（3）、；（4）、。证明：，所以，因此；(1)、，所以即 ，所以 ；(2)、由上面的讨论，有：，即 (3)、 ，所以， ； 所以 ；(4)、类似于(3)，可以证明结论。14、满足下列条件的点所组成的点集是什么？如果是区域，是单连通区域还是多连通区域：（1）、； 解：直线，不是区域；（2）、；解：半平面，单连通无界区域；（3）、； 解：，圆心在i，半径为的闭圆盘，有界闭区域；（4）、；解：椭圆，不是区域；（5）、； 解：半射线，不是区域；（6）、；解：