复变函数教学大纲

复变函数教学大纲说 明复变函数是高等院校数学与应用数学专业及信息专业的一门重要基础课，它的理论和方法对于其它专业学科，如物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用，通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关理论和实际问题的能力。本大纲根据武汉大学出版社出版的“面向21世纪本科生教材”复变函数（路见可、钟寿国、刘士强主编）编写而成。本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法,例如，对复积分强调以Cauchy定理为基础，Cauchy型积分为工具，略去多值函数的积分问题等等。某些加*号的内容，教师可根据实际情况适当取舍，某些注有*号的定理，可只述而不证，或略去不讲。本课程教学总时数为68学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致为3：1。本大纲所列内容的顺序和括号内的学时数仅供参考，教师可适当调整。教学内容安排上可根据实际情况做适当调整。大纲 内 容 和 要 求第一章 复数和复函数（4学时）一、内容介绍1、复数域、复数的几何表示、球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面2、复变函数，极限与连续，同伦概念、区域的连通性，辐角函数3、复数列与复级数，复函数列和复函数项级数二、重点、难点内容：1、重点：区域的连通性，同伦概念。2、难点：复球面，同伦概念，扩充复平面上区域的连通性。三、教学基本要求：1、了解内容：球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面。2、基本掌握：复数域、复数的几何表示、复变函数，极限与连续、复数列与复级数、复函数列和复函数项级数、同伦概念。3、熟练掌握：区域的连通性，辐角函数。四、教学建议：由于学生在代数课程里对复数理论已有所学习，这里复数理论不求完整，只作简要复习。第二章 解析函数基础（13学时）一、内容介绍1、导数的定义，Cauchy-Riemann条件，可导的充要条件、导数时的几何意义（等伸长性、保角性、保形性）.2、解析函数的概念,复函数在D上解析的充分必要条件.3、单值函数（多项式函数、有理函数、指数函数、三角函数和双曲函数）的解析性。4、多值函数（对数函数、幂函数和根式函数）的解析性。5、初等多值函数的单值分枝问题。6、有理函数的对数的解析分枝的讨论。7、有理函数的方根的解析分枝的讨论。8、反三角函数和反双曲函数解析分枝的简介。二、重点、难点内容：1、重点：解析函数的概念、导数时的几何意义、初等多值函数的分枝问题2、难点：解析函数的概念、初等多值函数的分枝问题。三、教学基本要求：1、了解内容：反三角函数和反双曲函数解析分枝。2、基本掌握：导数时的几何意义、初等多值函数的分枝问题、多项式和有理函数、指数函数、三角函数和双曲函数的解析性。3、熟练掌握：Cauchy-Riemann条件、解析函数的概念、复函数在D上解析的充分必要条件、有理函数的对数的解析分枝、有理函数的方根的解析分枝。四、教学建议：对多值函数的分枝问题应加强，由于反三角函数和反双曲函数解析分枝问题比较复杂，建议根据概念和理论只作简要说明。第三章 复 积 分（10学时）一、内容介绍1、复积分的概念：定义、利用定义计算、复积分的基本性质。2、基本定理：Cauchy定理（定理3.1）、单连通域上的Cauchy定理（定理3.2）及其推广（定理3.3）、多连通区域上的Cauchy定理（定理3.4）、原函数。3、基本公式：Cauchy积分公式、Cauchy型积分的概念、Cauchy导数公式，无穷可微性、Cauchy不等式、Morera定理。4、反常复积分：反常复积分的定义、Cauchy主值积分、高阶奇异积分。二、重点、难点内容：1、重点：基本定理、原函数、Cauchy积分公式、Cauchy型积分的概念、Cauchy导数公式，无穷可微性、Cauchy不等式、Morera定理。2、难点：Cauchy积分公式、Cauchy导数公式，无穷可微性、Cauchy不等式、Morera定理及应用。三、教学基本要求：1、了解内容：反常复积分的定义、Cauchy主值积分、高阶奇异积分。2、基本掌握： Cauchy不等式、Morera定理。4、熟练掌握：基本定理、原函数、Cauchy积分公式、Cauchy型积分的概念、Cauchy导数公式，无穷可微性。四、教学建议：由于Cauchy积分定理（定理3.1）的证明较为复杂及课时限制，建议只作证明思路的分析和说明。对多值函数的积分、反常复积分的定义、Cauchy主值积分、高阶奇异积分在课时允许的情况下可酌情处理。第四章 解析函数的级数理论（13学时）一、内容介绍1、一般理论：复函数项级数的逐项积分和逐项求导、复幂级数及其和函数（收敛半径、收敛域及其和函数的性质）。2、泰勒展式及惟一性定理：解析函数的泰勒展式（泰勒定理）、解析函数幂级数展式的惟一性、幂级数在收敛圆周上的性质。3、解析函数的惟一性：解析函数零点及阶的概念、解析函数零点的抉择性、解析函数的惟一性定理。4、最大模原理。5、罗朗展式及孤立奇点：“双向”幂级数的概念及性质、解析函数的罗朗展式及展开式的惟一性、求罗朗展式的方法。6、解析函数的孤立奇点：孤立奇点的分类、解析函数在孤立奇点邻域内的性质、解析函数在无穷远邻域内的性质。7、整函数和亚纯函数。二、重点、难点内容：1、重点：解析函数的泰勒展式、解析函数零点的抉择性、解析函数的惟一性定理、最大模原理、解析函数的罗朗展式及展开式的惟一性、求罗朗展式的方法、解析函数在孤立奇点邻域内的性质、解析函数在无穷远邻域内的性质。2、难点：解析函数零点的抉择性、解析函数的惟一性定理、罗朗展式的求法、解析函数在孤立奇点邻域内的性质、解析函数在无穷远邻域内的性质、整函数和亚纯函数。三、教学基本要求：1、了解内容：毕卡定理。2、基本掌握：复函数项级数的逐项积分和逐项求导、复幂级数及其和函数、解析函数在无穷远邻域内的性质。3、熟练掌握：解析函数的泰勒展式（泰勒定理）、解析函析幂级数展式的惟一性、解析函数零点的抉择性、解析函数的惟一性定理、最大模原理、罗朗展式的求法、孤立奇点的分类、解析函数在孤立奇点邻域内的性质、整函数和亚纯函数。四、教学建议：由于学生在数学分析课程里对函数项级数的逐项积分和逐项求导、幂级数的收敛半径、收敛域及其和函数的性质比较熟悉，这里对复函数项级数的理论不求完整，只作简要讲述。第五章 留数理论（10学时）一、内容介绍1、留数的概念、留数的计算方法、无穷远点处的留数及计算、边界点处的留数。2、留数定理及其推广：留数定理（定理5.1，定理5.2）、推广的留数定理。3、留数定理应用于积分计算：单值解析函数的应用（型1、型2、型3）、多值解析函数的应用（型4、型5、型6）、高阶奇异积分的应用。4、辐角原理和儒歇定理：辐角原理、推广的辐角原理、儒歇定理。二、重点、难点内容：1、重点：留数的概念、留数的计算方法、无穷远点处的留数及计算、留数定理、推广的留数定理、留数定理应用于积分计算、辐角原理和儒歇定理。2、难点：留数的计算方法、留数定理、推广的留数定理、留数定理应用于积分计算、辐角原理和儒歇定理。三、教学基本要求：1、了解内容：边界点处的留数、多值解析函数的应用（型4、型5、型6）、高阶奇异积分的应用、推广的辐角原理。2、基本掌握：无穷远点处的留数及计算、推广的留数定理、辐角原理和儒歇定理。3、熟练掌握：留数的概念、留数的计算方法、留数定理、单值解析函数的应用（型1、型2、型3）。四、教学建议：如果课时紧，对边界点处的留数及多值解析函数的应用（型4、型5、型6）、高阶奇异积分的应用、推广的辐角原理视情况进行删减。第六章 解析开拓（4学时）一、内容介绍1、解析开拓的概念和方法：基本概念、透弧开拓、对称原理、幂级数开拓。2、完全解析函数及单值性定理：完全解析函数和黎曼面、单值性定理。二、重点、难点内容：1、重点：基本概念、透弧开拓、对称原理、幂级数开拓。2、难点：透弧开拓、对称原理、幂级数开拓、完全解析函数和黎曼面、单值性定理。三、教学基本要求：4、了解内容：完全解析函数和黎曼面、单值性定理。5、基本掌握：幂级数开拓。6、熟练掌握：基本概念、透弧开拓、对称原理。四、教学建议：如果课时紧，对完全解析函数及单值性定理视情况进行删减。第七章 共形映照（12学时）一、内容介绍1、分式线性映照：共形性、映照群、不动点、三对对应点决定分式线性映照、保圆周及侧、保对称点、三个特殊的分式线性映照。2、共形映照的一般理论：单叶解析函数的性质、黎曼映照定理、边界对应定理。3、几个初等函数的映照：指数与对数函数映照、幂函数映照、儒可夫斯基函数映照、余弦函数映照。4、综合实例：已知函数求映照区域、已知对应区域求映照函数。二、重点、难点内容：1、重点：分式线性映照、共形映照的一般理论。2、难点：共形映照的一般理论、已知函数求映照区域、已知对应区域求映照函数。三、教学基本要求：1、 了解内容：单叶解析函数的性质、黎曼映照定理、边界对应定理、儒可夫斯基函数映照、余弦函数映照。2、 基本掌握：指数与对数函数映照、幂函数映照、已知函数求映照区域、已知对应区域求映照函数。3、熟练掌握：分式线性映照。四、教学建议：如果课时紧，对边界对应定理、儒可夫斯基函数映照、余弦函数映照、已知函数求映照区域、已知对应区域求映照函数视情况进行删减。第八章 调和函数（2学时）一、内容介绍1、调和函数的概念及其性质：调和函数与解析函数的关系、极值原理、波阿松公式及均值公式。2、狄里克莱问题：一般的狄里克莱问题、波阿松积分的性质、圆域上的狄里克莱问题、上半平面的狄里克莱问题。3、许瓦兹克里斯多菲公式：一般公式、举例。二、重点、难点内容：1、重点：调和函数的概念及其性质：调和函数与解析函数的关系、极值原理、波阿松公式及均值公式。2、难点：极值原理、波阿松公式及均值公式、狄里克莱问题、许瓦兹克里斯多菲公式。三、教学基本要求：1、 了解内容：一般的狄里克莱问题、波阿松积分的性质、圆域上的狄里克莱问题、上半平面的狄里克莱问题、许