数学史09复习

数学史复习一、 分期问题1、 中国数学史的分期；p16-292、 外国数学史的分期；p30-513、 代数学发展的分期；p664、 几何学发展的分期；p1435、 古中国“0”的使用阶段；p566、 人类对自然数认识的几个阶段。P527、 数系的扩张。P68-76二、 数学史上的重大事件1、 古代数学的起源（1） 文献来源p30、古代几何起源的方式p15、著名的古埃及纸草书有几份？它的内容有何特征？著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。、巴比伦泥板是什么？它在数学史上的地位如何？巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干而未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔画，故称之为楔形文字泥板书。从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。它们分别属公元前2100年代苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据推测这些数表是用来运算和解题的。这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆内，并且被一一编号，巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了巴比伦数学的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。（2） 两种数学传统。P32、 古希腊数学家德莫克利特的数学原子论的基本观点p1893、 古希腊三大尺规作图问题（1） 问题及其解释 p150（2） 发现的新问题。P31 最终解决介绍；p1514、 三、四次方程的求根式解得问题（1） 有关数学家介绍 p84（2） 公式推导（3） 卡尔丹的大法p855、 五次和五次以上代数方程根式不可解性（1） 有关数学家及其相应的贡献p86（2） 代数基本定理对于n次多项式方程，如果把不可能的（复数根）考虑在内，并包括重根，则应有n个根。荷兰数学家吉拉德1629年提出来的。（3） 群概念产生的意义。答：（1）伽罗瓦在18291831年间完成的几篇论文中，提出的群的概念来解决方程根式可解性问题，通过引进全新的群的概念，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决。群概念的提出可以看成是近世代数的发端，不仅是因为它解决了方程根式可解这一数学难题，而且更重要的是它导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。19世纪后半叶，数学家们又认识到，“群”可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群。在这样定义的群中，集合元素本身的具体内容无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系。这样建立起来的一般群论是描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具。代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生。它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象的“对象”的运算关系，19世纪中叶以后，这种抽象的“对象”层出不穷，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础.6、 解析几何的产生（1） 产生年代(16世纪末17世纪初) ，创立者（国籍、主要著作,符号引进p107）、解析几何基本思想解析几何基本思想：（p184）在平面内引进所谓“坐标”的概念。借助这种坐标概念，把平面上的点和有序实数对（x,y）之间建立一一对应的关系，即：每一对实数（x,y）都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标（x,y）。这样，可以将一个代数方程f (x,y)=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。 （2）费马大定理：关于x、y、z的不定方程，对于任意大于2的自然数n无非零整数解。（3）产生的意义首先，解析几何的创立使数、形统一起来，引入变量，加速微积分的发展。第二，解析几何的创立在数学中，形成了一套双面的工具，几何概念用代数表示，代数表达式用几何解释。第三，解析几何使量的概念更加抽象。如古希腊人将分别看成线段，面积和体积，而解析几何将它们以及它们的代数运算的结果都看作线段，克服了古希腊人的局限性。 第四，解析几何的创立为科学的数学化提供了用力的工具。解析几何创立之后，许多学科都出现数学化的要求，甚至有人强调，任何一门学科如果没有数学的表述，那么它将不能成为一门科学。第五、解析几何的产生为数学思想的发展开辟了新的天地。首先，开辟了用代数语言研究几何问题的新思路；其次，提出的高位空间的理论，是现代数学及其重要的思想；再次，现代数学中有两个极具发展活力的学科泛函分析和代数几何，从某种意义讲，就是解析几何的直接延续。（4）笛卡儿、费马创立解析几何的目的、方法不同。费马通过坐标法把几何曲线与代数方程联系起来，从而把几何学与代数学联系起来，并且还提出了作为研究轨迹的普遍适用的一般方法。特别是强调轨迹用方程表示，利用韦达的字母代数的思想方法，获得重要的技术性成就，这已经非常接近现代解析几何的核心思想。但是，费马的思想方法不够成熟之处，也是显而易见的。这主要因为，他把自己的工作仅仅局限在继承古希腊的思想观念上，只不过是重新表述阿波罗尼的工作，在技术性上有所突破而已，所以人们把费马的工作称为“坐标几何”。笛卡儿创立解析几何的思想基础有三个方面，即：哲学研究、自然科学研究、科学知识应用研究。他决心摒弃中世纪的经院哲学，创立为实践服务的哲学，在自然科学的研究中，探求科学的方法论，使人能够科学地解释自然现象，并成为大自然的主宰者。为此，他以数学为基础，用以演绎为核心的方法论，建立哲学和其它自然科学。笛卡儿的解析几何的基本思想，主要体现在用代数解决几何作图问题，逐渐形成用方程表示曲线的思想。笛卡儿的解析几何的方法，关键是解除了韦达的代数方程要求齐次的限制，通过引入坐标和变量，把几何的点和代数的数联系起来，并且把相互关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。7、微积分的产生（1）促使微积分产生的主要科学问题p191（2） 十七世纪上半叶（3） 年代 创立者（国籍、主要著作p37） 符号的创立莱布尼茨于 1646 年出生在德国的莱比锡，其主要数学成就有：从数列的阶差入手发明了微积分；论述了积分与微分的互逆关系；引入积分符号；首次引进 “函数”一词；发明了二进位制，开始构造符号语言，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。 7、 非欧几何的产生（1） 产生的原因 p162 p159（2） 创立者（国籍、主要著作）（3） 产生的意义非欧几何的创立解决了长期关于欧氏几何中平行公设的争议，引起人们对数学本质的深入探讨。随着非欧几何的产生，引起数学家们对几何基础的研究，从而从根本上改变人们的几何观念，扩大了几何学研究的对象，使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空间，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。非欧几何的产生，引起了一些重要数学分支的产生。如数的概念、分析基础、数学基础、数理逻辑等，公理化方法也获得进一步的完善。非欧几何的创立，为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，而相对论动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。9、印度最重要的数学成就 p3510、数学史上的三次数学危机。第一次数学危机无理数的发现 （第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有非凡地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证实才是可靠的。从此希腊人开始从 “自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。）第二次数学危机无穷小是零吗 （直到19世纪，柯西具体而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决，第二次数学危机的解决使微积分更完善。）第三次数学危机罗素悖论的产生 （引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题，导致无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统）的产生。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。）11、数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。 答：一，逻辑主义学派，代表人物是罗素和怀特黑德，主要观点是：数学仅仅是逻辑的一部分，全部数学可以由逻辑推导出来。 二，形式主义学派，代表人物是希尔伯特，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。 三，直觉主义学派，代表人物是布劳维尔，主要观点是：数学不同于数学语言，数学是一种思维中的非语言的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，而不是公理和命题。 三、 重要著作 （1）九章算术 作者 主要内容 p21 相关概念（方程p118、阳马、堑堵、鳖臑p170） 九章算术是我国古代的一本传世数学名著，一直作为我国传统数学的代表作。九章算术是以应用问题集的形式表述的，一共收入 246 个问题，分为九章，分别为方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。标志着中国传统数学的知识体系已初步形成，对中国数学的发展的历史作用如同几何原本对西方数学影响一样。 （2）几何原本 作者 A、主要内容p146 欧几里德的几何原本是一本及其伟大的经典著作，是几何学建立的标志，它的伟大意义在于它是用公理化方法建立起演绎得数学体系的最早典范。公理化方法的主要精神是从尽可能少的几条公理以及若干原始概念出发，推导出尽可能多的命题，欧几里德在几何原本中用公理化方法对当时的数学知识作了系统化，理论化的总结.近代数学就是按照原本所提供的方式发展起来的。 （3）周髀算经 .作者 主要内容 天文著作 主要贡献 介绍勾股定理p21 p165.赵爽 勾股弦方图 p165 （4）数书九章.作者 相关概念（大衍求一术（中国剩余定理）主要贡献 p124、174.中国剩余定理:是指关于一次同余组求解的剩余定理。这是我国南宋数学家秦九韶提出的，称之为“大衍求一术”。四、数学家介绍 国籍 重要著作 主要贡献1、阿基米德 p32阿基米德生活在古希腊亚历山大前期，代表著作有：论球与圆柱，圆的度量，劈锥曲面与回转椭圆体，论螺线，平面图形，数沙器，抛物线图形求积法等，阿基米德的主要成就有：用力学方法求出球体积，抛物或弓形的面积，托球体、抛物或旋转体截体和球缺体积；用穷竭法求出圆面积和一系列曲边形面积与体积；得到的近似值为22/7。 2、阿波罗尼斯 p323、花拉子米 p80,81花拉子米是九世纪阿拉伯数学家，代表著作有：代数学和印度的计算术；主要贡献有：提出“还原”与“对消”的解方程的基本变形法则；给出了一次和二次方程的一般解法，用几何方法给出证明；给出了四则运算的定义和法则。 ) ( 均没有正整数解4、韦达 p87 5、牛顿 p 376、莱布尼兹 p 37 7、欧拉 p38瑞士数学家、物理学家、天文学家，主要著作无限小分析引论以及随后发表的微分学积分学是微积分史上历程碑式的著作，数学符号：是他引进的。8、纳皮尔 p29、威尔斯特拉斯 p4710、康托尔 p4711、黎曼 p47 主要是非欧几何12、希尔伯特 （1）明确提出选择和组织公理系统的原则：相容性、独立性 完备性ap46（2）希尔伯特给出的欧几里得几何学的公理体系框架结构如下： 基本元素（点，直线，平面） 基本概念 基本关系（结合，顺序，合同） 结合公理（1 8） 顺序公理（1 4） 公 理 合同公理（1 5） 平行公理（1） 连续公理（1 2）（3）数学回顾 23个问题p4613、克莱因 p242 埃尔朗根纲领答：德国数学家克莱因所阐述的几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。14、斐波拉契 p3515、刘徽 p19（1）刘徽的重要数学成就反映在他作的九章算术注和海岛算经中，他的主要贡献主要在如下几个方面：创造了割圆术，运用朴素得极限思想计算圆面积及圆周率(徽率3.14)；建立了重差术；重视逻辑推理，同时又注意几何直观的作用。（2） 割圆术：用圆内接正多边形逐步逼近圆。这是我国数学家刘徽提出来的，并用于作为计算圆的周长、面积以及圆周率的方法基础。（3） 牟合方盖：在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分就是牟合方盖。这是我国魏晋时期数学家刘徽为推导球体积公式而构造的一个几何体。16、祖冲之p20 p172 缀术 圆周率17、祖暅 p20 p172 缀术六卷 祖暅原理18 秦九韶数书九章p124的主要数学内容： 大衍求一术、数字高次方程的近似根求法、三斜求积公式、线性方程组解法19、朱士杰 p12620、贾宪 P 121四、 主要学派1、古希腊数学学派简介。公元前600年公元前330年，在古希腊形成了著名的七大学派。他们是先后在爱奥尼亚地区的泰勒斯学派、毕达哥拉斯学派、埃利亚学派、哲人学派和在雅典地区的柏拉图学派、欧多克斯学派、亚里士多德学派。这些哲学家和科学家们思想深邃，以探索自然奥秘为目的进行数学研究或者指导数学研究。把数学从以往的经验形态上升为理论形态，为后来的数学发展奠定了基础。，1、爱奥尼亚学派 代表人物 主要贡献2、毕达哥拉斯学派 代表人物 主要贡献 （1）以“万物皆数”为最高信条，发展论证数学。（2）研究内容：勾股定理与勾股形数，多边形数、不可公度量，正多边形作图（3）可公度量：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。这样的两条线段为“可公度量”，即有公共度量的度量单位。这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反映。3、柏拉图学派 p144五、 古典法解题1、 刘徽的割圆术求圆面积、“徽率”（152）2、 刘徽与祖暅的球体积公式推导。首先，刘徽构造了一个新的立体图形牟