数学物理方法题集

数学物理方法（第四版）梁昆淼 编（高等教育出版社）主讲教师：张华永参考教材：1. 数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社，2007年4月.2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业出版社，2006年7月.3. 复变函数论方法（第六版）， 拉夫连季耶夫 等 编，高等教育出版社， 2006年1月4. 特殊函数论，王竹溪，郭敦仁 编， 北京大学出版社第一章：复变函数1.1 复数与复数运算1. 复数的基本概念 复数的定义：形如的数称为复数（complex number），记做，其中实数和分别称为复数的实部(real part)和虚部(imaginary part)，记作，。当时，称为纯虚数；当时，为实数；时，称为复数，它既是实数又是纯虚数。 复数平面：在直角坐标平面上，把复数用坐标为的点来表示，这个直角坐标平面叫做复数平面。图1-1如图1-1，复数平面上的轴和轴分别叫做实轴和虚轴。复数与复数平面上的点一一对应。 复数的矢量表示：如图1-1，在复数平面上作矢量，矢量与复数一一对应，复数可用复数平面上的矢量来表示。复数的实部和虚部分别为矢量的直角坐标分量。 复数在极坐标系中的表示：如图1-1，在复数平面上建立极坐标系，取轴的正半轴为极轴，坐标原点为极点，则可得复数的对应点的极坐标，包括极径和极角。复数的模：复数对应点的极坐标的极径或矢量的长度称为复数的模，记做。复数的辐角：复数对应点的极坐标的极角或矢量与轴正方向的夹角称为的辐角，记做。一个复数的辐角可以取无穷多个值，并且彼此相差的整数倍，通常把满足条件的一个特定值称为辐角的主值，表示为，则的任意辐角可表示为：复数的辐角没有明确意义。 复数的三角式： 复数的指数式： 共轭复数：复数的共轭复数为，两个复数关于实轴对称 复数与相等的充要条件：2. 复数的运算 复数与的和： 1）交换率：2）结合率： 复数与的差： 可以验证：，复数和差的几何意义：如图1-2，1-3，遵循矢量加减的平行四边形法则图1-2图1-3从复数和差的几何意义可得： ， 复数与的积：1）交换率：2）结合率：3）分配率：可以验证：1. 2. 3. 复数与相乘，可先按普通的代数法则将与相乘，再用来代替，具体乘积如下： 4. 复数与它共轭的乘积：5. 复数与的积的三角与指数形式：如图1.4为复数积的几何意义图1-4 复数与的商: 可以验证：1. 2. 复数与的商的三角和指数形式： 如图1.5为复数商的几何意义图1-5注：复数的差、商分别为复数和、积的逆运算，可由和、积的定义推出，即： ， 复数的次乘方： 可得复数次乘方的二项式定理： 复数的次乘方的三角与指数形式： 复数的次方根： 复数的次方根的三角和指数形式：有个不同的值，当取其它整数时，将重复出现上述个值复数的次方根的几何意义：个方根是以原点为中心，为半径的圆的内接正边形的个顶点。例题1.1 用复数的三角表示式计算解：例题1.2 解方程解：将方程因式分解得：，所以有及。所以原方程的根为和3. 复数的无限远点图1-6复数球：如图1-6，把一个球放在复数平面上，球的南极跟复数平面相切于原点，在复数平面上任取一点，它与球的北极的连线跟球面相交于点，这样复数平面上模为有限的复数跟球面上除点以外的点就一一对应起来，这个球就叫作复数球。 无限远点：复数平面上的点沿任一曲线向无限远移动，它在复数球上的对应点相应的沿着圆上某一曲线逼近点，因此可以把复数平面上的无限远看作一点，它与复数球上的北极相对应，记作无限远点，它的模为无限大，它的辐角没有明确意义。复数平面上的点，包括无限远点与复数球上的点一一对应。1.2复变函数1. 基本概念邻域：以复数为圆心，以任意小的正实数为半径作一圆，则圆内所有点均满足，称圆内所有点的集合为的邻域。去心邻域: 。内点：对于点集，若及其邻域均属于点集，则称为点集的内点外点：对于点集，若及其邻域均不属于点集，则称为点集的外点边界点及边界：对于点集，若在的邻域内，既有属于的点，也有不属于的点，则称为点集的边界点。所有边界点的全体构成边界线。图1-7如图1-7，点为点集的内点，点为集的外点，点为点集边界点。开集：对于点集，每个属于的点都是其内点，则称点集为开集 区域：对于点集，如果满足下面的两个性质，则称点集为复数平面上的一个区域1. 开集性，即点集全由内点组成2. 具有连通性，即对于点集，其中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全部属于点集如图1-8，1-9所示的圆形区域：；环形区域： 图1-8 图1-9 闭区域：区域及其边界所组成的点集称为闭区域，用表示。如图1-10所示的圆形闭区域：图1-102. 复变函数复变函数：若在复数平面上存在一个点集，对于中的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则说在点集上定义了一个复变函数，记作：，点集叫作函数的定义域令：，并将代入，则有：所以：复变函数可以归结为一对二元实变函数的有序组合，复变函数的许多性质可由实变函数的性质直接推广。例题1.3 已知复变函数，把代入则有： 所以有：， 如果已知，也可求出的表达式把，代入，经化简可求出：复变函数的几何意义： 映射图1-11如图1-11，把的值安置在一个复数平面上，的值安置在另一个复数平面上，复变函数可看做是平面上的点集到平面上的点集的一个映射。单值函数：对于每一个点都只有一个确定的点与之相对应，则称复变函数为单值函数。多值函数：对于每一个点有一些确定的点与它相对应，则称函数为多值函数。单叶函数或一一函数：如果函数是单值函数，并且对于定义域中的两个不同的点，也对应着中的两个不同的点，则称函数为单叶函数或一一函数。3. 复变函数的极限和连续性 复变函数的极限：如果对任意一个，总可找到一个，使得所有在的邻域内的点，其所对应的点都在的邻域内，即如果有不等式（本身可以除外），必可得出，我们说当时，函数的极限存在且为，表示为：注：由定义可见，极限值与的方式无关，换句话说，当以不同的方式趋近于时，如果函数的极限值不一样，则其极限不存在。如果令：，则复变函数的极限等价为如下两个极限：，特别当时，称函数在点连续，记作： ，极限的性质：若两复变函数的极限，存在，则有：， 例题1.4. 判定下面函数的连续性解：当时，有理分式的分母不为零，把函数表示为的形式，容易判断函数是连续的而当时，取，则，于是有：，可以看出当取不同的值时，极限有不同值，因此时，函数极限不存在，也更谈不上函数在点的连续性。4. 复变函数的幂级数 复变项级数：复变项级数的各项是的函数。如果在某个区域（或曲线）上所有的点，复变项级数都收敛，即部分和序列的极限存在，就称复变项级数在区域（或曲线）上收敛。把部分和序列表示为，则有：这样把复变项级数的收敛问题归结为两个实变项级数。复变项级数在区域（或曲线）上收敛的必要条件：简单证明：设复变项级数收敛，有，同时有所以有：复变项级数在区域（或曲线）上收敛的充要条件（柯西判据）：在区域（或曲线）上的点，对于任意给定的小数，必有存在，使得时，有，其中为任意正整数。如果与无关，则称复变项级数在区域（或曲线）上一致收敛。绝对收敛：如果复变项级数各项的模组成的级数收敛，则称复变项级数绝对收敛。容易由柯西判据证明：绝对收敛的复变项级数也必是收敛的。简单证明：设复变项级数绝对收敛，即收敛。由柯西判据可知对于任意给定的小数，必有存在，使得时，有如下不等式成立：，其中为任意正整数。已知，所以有结论：对于任意给定的小数，必有存在，使得时，有不等式，符合柯西判据，则有复变项级数收敛。绝对且一致收敛的一个判别法：如果对于区域（或曲线）上所有各点，复变项级数各项的模，而正的常数项级数收敛，则复变项级数在区域（或曲线）上绝对且一致收敛。两个绝对收敛复变项级数的乘积：如果两个复变项级数，绝对收敛，则有：即两绝对收敛级数逐项乘积得到的级数等于两个级数的乘积。如图1-12为乘积项的说明：图1-12 幂级数：其中：系数和固定点都是复常数，是一个复变量幂级数收敛的比值判别法（达朗贝尔判别法）：考虑幂级数各项的模组成的正项级数：如果，则有正项级数收敛，即幂级数绝对收敛。如果，则幂级数某项后面项的模会越来越大，幂级数必发散。令，由时幂级数绝对收敛，可得：时，幂级数绝对收敛。由时幂级数发散可得：时，幂级数发散。幂级数的收敛圆和收敛半径：由幂级数收敛的达朗贝尔判别法可知： 图1-13如图1-13，以为圆心，以为半径作一个圆。对于满足条件，即在圆内的点都是绝对收敛点；满足条件，即在圆外的点都是发散点。我们把把这个圆称为幂级数的收敛圆，圆的半径称为收敛半径。幂级数在收敛圆的圆周上是否收敛得另行判断。幂级数收敛的根式判别法（柯西判别法）：如果，则幂级数绝对收敛如果，则幂级数某一项后面项的模大于1，因而级数发散。用与幂级数收敛的达朗贝尔判别法相同的步骤，可得收敛半径的根式判别法（柯西判别法）： 例题1.5 求幂级数，的收敛半径解：由达朗贝尔判别法判断的收敛半径： 由达朗贝尔判别法判断的收敛半径： 复变函数的幂级数： 指数函数的幂级数定义：1) 当取实数时，有：2) 由达朗贝尔判别法可知其收敛半径为：3) 指数函数的级数相乘（相除）法则： 令，由上式可得：把用代替，用代替，可得：三角函数的幂级数定义： 可以看出：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数 欧拉公式：因为，所以有：5初等复变函数：由以及欧拉公式可得：指数函数：1) 特别地，当时，对于任意实数，有。2）因为，所以指数函数有纯虚数周期3）指数函数的几何特性：图1-14已知指数函数：，可得到：，对于，当，的几何特性如图1-14，平面上的条形区域对应于 平面上除去正实轴以外的所有点由有的周期可知，每增加，即在平面上每增加一个条形区域，在平面上多旋转一周。例题1.6 计算的值.解： 三角函数：由欧拉公式可得: , 定义： 1）因为，所以，具有实周期2）可求得： 可以验证：，完全可以大于1，为无界函数。3） 双曲线函数： ， ， 因为，所以，有纯虚数周期注意：双曲函数与三角函数的关系为，对数函数：指数函数的反函数，当有指数函数，则称复数为的对数函数，记作设：， 则可得：，所以有： 复变函数通常取为自变量，为函数值，则可写出对数函数：辐角不能唯一确定，可以取无穷多个值，并且彼此相差的整数倍，所以对于每一个给定的，对数函数有无限多个值，为多值函数。当时，的值称为对数主值，表示为：。是一个单值函数图1-15如图1-15， 由对数函数可知平面上除去正实轴以外的点与平面上的条形区域对应，在平面上每围绕原点多旋转一周，函数值增加例题1.7 由例题1.7可以看出负数时，对数函数仍有意义。幂函数：一般指数函数：由于对数函数的多值性，幂函数和一般指数函数在一般情况下为多值函数。对数函数取主值时，幂函数和一般指数函数取主值。反三角函数：如果，则称为的反正弦函数，记作从中解出：所以有：把作为自变量，为函数值，可得：同理可得反余弦函数：反正切函数：例题1.7 计算下列函数值（1）， （2） 解：（1） （2）1.3复变函数的导数复变函数的导数：设函数是在区域上定义的单值函数，对于上的某点，如果极限存在，则称函数在点处可导，此极限叫作函数在点处的导数，表示为: 可证明：函数在点可导，则在点也是连续的由于在点可导，则可表示为，其中表示，为的无穷小量。两边取极限可得：复变函数可导的充要条件：复变函数可导的充要条件是偏导数，存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即，证明：1. 必要性：由于求极限与趋近于零的方式无关，所以沿着平行于实轴的直线趋近于零和沿着平行于虚轴的直线趋近于零时导数相同如图1-16，当沿着平行于实轴的直线趋近于零时图1-16如图1-16，当沿着平行于虚轴的直线趋近于零时比较两式可得: 2. 充分性：由于偏导数，存在、连续，所以函数 和在点处可微，则有:由导数的定义可得：其中：考虑柯西-黎曼条件：，则有：所以导数为：证毕。由柯西-黎曼条件可把复变函数的导数表示为四种等价的形式复变函数的导数定义在形式上跟实变函数导数的定义一样，因而实变函数论中关于导数的规则和公式大多数情况下可应用于复变函数。柯西-黎曼条件的极坐标形式：考虑（1），（4）和柯西-黎曼条件可得：考虑（2），（3）和柯西-黎曼条件可得：可得柯西-黎曼条件的极坐标形式：导数的极坐标形式：由（1），（2）可得：，代入求导公式可得：复变函数的求导法则： 复合函数求导：反函数求导：若是函数的反函数，且，则有：常见复变函数的导数： 证明： 设，则有：证明：设，把代入可得显然的实部的偏导数和，虚部的偏导数和连续，且满足柯西-黎曼条件，即，所以函数可导，且有如下导数证明：方法1. 已知为指数函数的反函数，由反函数求导法则可得：把自变量换成常用的，可得：方法2. 设由求导的极坐标表示式可得：可得：证明幂函数的导数：设，由复合函数求导法则可得：1.4解析函数 解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数在点及其邻域内处处可导，那么称在点解析。如果在区域内每一点都解析，那么称在内解析，或称为内的一个解析函数。注：在某点解析在该点可导该点连续该点有极限区域解析区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数.例题1.8 讨论函数的可导性及解析性解：由可得，可得偏导数：，它们均存在且连续在点，满足柯西-黎曼条件，所以在点函数可导。在以外的点虽然函数的偏导数存在且连续，但不满足柯西-黎曼条件，所以不可导，也不解析。总结：由于只有在点函数可导，而解析函数不是针对函数在一些孤立点上的性质，所以函数在整个复数平面上处处不解析。解析函数的性质：1. 若函数在区域上解析，则曲线 (等线)与曲线 (等线)相互正交，其中， 为常数证明: 曲线的法向矢量为：曲线的法向矢量为： 和的点积：证毕2. 若函数在区域上解析，则，均为上的调和函数注：若函数在区域上有二阶连续偏导数，并且满足二维拉普拉斯方程，则称为在区域上的调和函数证明： ，是同一复变函数的实部和虚部，并且都是调和函数，它们又称为共轭调和函数。设给定二元调和函数，作为解析函数的实部，由柯西-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。设二元函数的全微分式为：考虑柯西-黎曼条件可得：的三种计算方法：（1） 曲线积分法：全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求出（2） 凑全微分显式法：把凑成全微分的显式，求出。（3） 不定积分法例题1-10 已知解析函数的实部，求虚部和这个解析函数容易验证为调和函数：由柯西-黎曼条件可得： 所以有：(1) 曲线积分法： 图1-17取如图1-17所示的积分路径，可求出积分其中为积分常数。(2) 凑全微分显式法：所以有; (3) 不定积分法： ，把视为参数，对积分可得：对求偏导数与向比较可得：所以由可得：所以有：